1、考研数学一（概率与数理统计）-试卷 19及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A，B 是两个随机事件，且 0P(A)1，P(B)0，P(BlA)=P(B|A)，则必有( )（分数：2.00）A.P(A|B)=P(A|B)B.P(A|B)P(A|B)C.P(AB)=P(A)P(B)D.P(AB)P(A)P(B)3.下列事件中与 A互不相容的事件是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.连续抛掷一枚硬币，第 k次(kn)正面向上在第 n次抛掷时出
2、现的概率为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.设随机变量 X的密度函数为 （分数：2.00）A.与 a无关随 的增大而增大B.与 a无关随 的增大而减小C.与 无关随 a的增大而增大D.与 无关随 a的增大而减小6.设 F 1 (x)与 F 2 (x)分别是随机变量 X 1 与 X 2 的分布函数，为使 F(x)=aF 1 (x)一 bF 2 (x)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.设随机变量 X 1 与 X 2 相互独立，其分布函数分别为 则 X 1 +X 2 的分布函数 F(x)=( ) （分数：2.00）A.B.C
3、.D.8.设随机变量 X和 Y相互独立同分布，已知 PX=k=p(1一 p) k一 1 ，k=1，2，0p1，则 PXY的值为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.设随机变量 X的方差存在，并且满足不等式 P|XE(X)|3 （分数：2.00）A.D(X)=2B.P|XE(x)|3C.D(X)2D.P|XE(X)|310.设 X是一随机变量，E(X)=，D(X)= 2 (， 2 0 常数)，则对任意常数 C必有( )（分数：2.00）A.E(XC) 2 =E(X) 2 一 C 2 B.E(XC) 2 =E(X一 ) 2 C.E(XC) 2 E(X 一 ) 2 D.E(XC) 2 E(X
4、 一 ) 2 11.假设 X 1 ，X 2 ，X 10 是来自正态总体 N(0， 2 )的简单随机样本，Y 2 = （分数：2.00）A.X 2 一 2 (1)B.Y 2 2 (10)C.D.12.总体均值 置信度为 95的置信区间为 ，其含义是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：10，分数：20.00)13.将一枚硬币重复掷五次，则正、反面都至少出现两次的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_14.已知 X，Y 为随机变量且 PX0，Y0= ，PX0=PY0= （分数：2.00）填空项 1:_15.已知随机变量 X的概率分布为 PX=k= （分数：2.00）填空
5、项 1:_16.设离散型随机变量 X的概率函数为 Px=i=p i+1 ，i=0，1，则 p= 1（分数：2.00）填空项 1:_17.设二维随机变量(X，Y)的分布函数为 (2x+1)(2y 一 1)，其中 (x)为标准正态分布函数，则(X，Y)N( 1)（分数：2.00）填空项 1:_18.设随机变量 X与 Y相互独立，且均服从区间0，3上的均匀分布，则 PmaxX，Y1= 1（分数：2.00）填空项 1:_19.已知随机变量 X的分布函数 F(x)在 x=1处连续，且 F(1)= 若 Y= （分数：2.00）填空项 1:_20.设随机变量 X和 Y相互独立，且 XN(0，1)，YN(0，
6、2)，则 E(X 2 +Y)= 1（分数：2.00）填空项 1:_21.假设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 2n 独立同分布，且 E(X i )=D(X i )=1(1i2n)，如果 （分数：2.00）填空项 1:_22.设总体 X一 P()，则来自总体 X的样本 X 1 ，X 2 ，X n 的样本均值 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_24.已知连续型随机变量 X的概率密度 f(x)为 （分数：2.00）_25.设随机变量 X与 Y相互独立，下表列出了二维随机变量(X，Y)联合
7、分布率及关于 X和关于 Y的边缘分布率中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处 （分数：2.00）_26.编号为 1，2，3 的三个球随意放人编号为 1，2，3 的三个盒子中，每盒仅放一个球，令 （分数：2.00）_27.设随机变量 X和 Y的概率分布分别为 （分数：2.00）_28.已知样本观测值为 x 1 ，x 2 ，x n ，设 a及 b0 为常数，作变换 证明： () （分数：2.00）_29.设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）_30.设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）_31.已知总体 X的密度函数为 （分数：2.00）_32.在某段公路上，观测每 15s内通过的汽车
8、辆数，得到数据如下： （分数：2.00）_考研数学一（概率与数理统计）-试卷 19答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A，B 是两个随机事件，且 0P(A)1，P(B)0，P(BlA)=P(B|A)，则必有( )（分数：2.00）A.P(A|B)=P(A|B)B.P(A|B)P(A|B)C.P(AB)=P(A)P(B) D.P(AB)P(A)P(B)解析：解析：根据题设条件可知，无论事件 A发生与否，事件 B发生的概率都相同，即事件 A的发生
9、与否不影响事件 B发生的概率，因此可以确认 A与 B是相互独立的，应该选 C3.下列事件中与 A互不相容的事件是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：4.连续抛掷一枚硬币，第 k次(kn)正面向上在第 n次抛掷时出现的概率为( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析： 依据题意，总共抛掷 n次，其中有 k次出现正面，余下的为 n一 k次反面第 n次必是正面向上，前 n一 1次中有 n一 k次反面，k 一 1次正面(如图 1一 3所示)根据伯努利公式，所以概率为5.设随机变量 X的密度函数为 （分数：2.00）A.与 a无关随 的增大而增大B.与 a无关随 的增大而
10、减小C.与 无关随 a的增大而增大 D.与 无关随 a的增大而减小解析：解析：概率 PX+a(a0)，显然与 a有关，固定 随 a的增大而增大，因而选 C 事实上，由于 1= 一 + f(x)dx=A + e 一 x dx=Ae 一 6.设 F 1 (x)与 F 2 (x)分别是随机变量 X 1 与 X 2 的分布函数，为使 F(x)=aF 1 (x)一 bF 2 (x)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：对任何 x，为保证 F(x)0，a 与一 b均应大于 0，又 F(+)=aF(+)一 bF(+)=ab=1，故选项 A
11、正确7.设随机变量 X 1 与 X 2 相互独立，其分布函数分别为 则 X 1 +X 2 的分布函数 F(x)=( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：根据题意知 X 1 为离散型随机变量，其分布律为 8.设随机变量 X和 Y相互独立同分布，已知 PX=k=p(1一 p) k一 1 ，k=1，2，0p1，则 PXY的值为( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：9.设随机变量 X的方差存在，并且满足不等式 P|XE(X)|3 （分数：2.00）A.D(X)=2B.P|XE(x)|3C.D(X)2D.P|XE(X)|3 解析：解析：因为事件|XE(X)|3是事件|X
12、E(x)|3的对立事件，且题设 P|XE(X)|3，因此一定有 P|XE(X)|3 ，选项 D正确进一步分析，满足不等式 P|XE(X)|3 的随机变量，其方差既可能不等于 2，亦可以等于 2，因此选项 A与 C都不能选若 X服从参数n=8，p=05 的二项分布，则有 E(X)=4，D(X)=2但是 P|XE(X)|3=P|X 一 4|3=PX=0+PX=1+PX=7+PX=8=10.设 X是一随机变量，E(X)=，D(X)= 2 (， 2 0 常数)，则对任意常数 C必有( )（分数：2.00）A.E(XC) 2 =E(X) 2 一 C 2 B.E(XC) 2 =E(X一 ) 2 C.E(X
13、C) 2 E(X 一 ) 2 D.E(XC) 2 E(X 一 ) 2 解析：解析：因为 E(xC) 2 =E(X一 + 一 C) 2 =E(X) 2 +2(C)E(X)+( 一 C) 2 ， 考虑到 E(X一 )=E(X)一 =0，因此得 E(XC) 2 =E(X) 2 +(C) 2 E(X 一 ) 2 故选 D11.假设 X 1 ，X 2 ，X 10 是来自正态总体 N(0， 2 )的简单随机样本，Y 2 = （分数：2.00）A.X 2 一 2 (1)B.Y 2 2 (10)C. D.解析：解析：根据题设知，XN(0， 2 )，X i N(0， 2 )， 且相互独立，由 2 分布，t分布，
14、F 分布的典型模式知，选项 A、B 不成立，事实上， 12.总体均值 置信度为 95的置信区间为 ，其含义是( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：根据置信区间的概念，应选 C均值 是一个客观存在的数，说“ 以 95的概率落入区间二、填空题(总题数：10，分数：20.00)13.将一枚硬币重复掷五次，则正、反面都至少出现两次的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：该试验为独立重复试验序列概型，记 A=“正、反面都至少出现两次”，X 为将硬币投掷五次正面出现的次数，则 ，而 Y=5一 X为 5次投掷中反面出现的次数，那么 A=2X5，2
15、Y5 =2X5，25 一 X5 =2X5，0X3 =X=2X=3， 所以 P(A)=PX=2+PX=3=14.已知 X，Y 为随机变量且 PX0，Y0= ，PX0=PY0= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：首先分析事件的关系，用简单事件运算去表示复杂事件，后应用概率性质计算概率 由于A=max(X，Y)0=X，Y 至少有一个大于等于 0=X0Y0，所以 P(A)15.已知随机变量 X的概率分布为 PX=k= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：16.设离散型随机变量 X的概率函数为 Px=i=p i+1 ，i=0，1，
16、则 p= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于 PX=0+PX=1=p+p 2 =1，所以 p 2 +p一 1=0，解得 17.设二维随机变量(X，Y)的分布函数为 (2x+1)(2y 一 1)，其中 (x)为标准正态分布函数，则(X，Y)N( 1)（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：(X，Y)的分布函数为 (2x+1)(2y 一 1)，所以可知 X，Y 独立 由正态分布XN(， 2 )的标准化可知 18.设随机变量 X与 Y相互独立，且均服从区间0，3上的均匀分布，则 PmaxX，Y1= 1（分数：2.00）填空项
17、 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据题设可知，X 与 Y具有相同的概率密度19.已知随机变量 X的分布函数 F(x)在 x=1处连续，且 F(1)= 若 Y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据离散型随机变量期望公式计算由于 F(x)在 x=1处连续，故 E(Y)=aPX1+6PX=1+cPX1 =a1 一 PX1+bPX=1+cPX1 =a1 一 F(1)+bF(1)一 F(1一 0)+cF(1一 0)20.设随机变量 X和 Y相互独立，且 XN(0，1)，YN(0，2)，则 E(X 2 +Y)= 1（分数：2.00）填空项 1:_
18、（正确答案：正确答案：1）解析：解析：因为 X和 Y相互独立，所以 X 2 与 Y相互独立，E(X 2 +Y)=E(X 2 )+E(Y)，由于 XN(0，1)，所以 E(X)=0，D(X)=1，因此 E(X 2 )=D(X)+E 2 (X)=1，YN(0，2)，故 E(Y)=0，所以 E(X 2 +Y)=121.假设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 2n 独立同分布，且 E(X i )=D(X i )=1(1i2n)，如果 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：记 Z i =X 2i 一 X 2i一 1 ，则 Z i (1in)独立同分布，且 E(Z i )=
19、0，D(Z i )=2由独立同分布中心极限定理可得，当 n充分大时， 22.设总体 X一 P()，则来自总体 X的样本 X 1 ，X 2 ，X n 的样本均值 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据分布的可加性可知，当 X 1 ，X 2 独立时，有 X 1 +X 2 P(2)，同理，X 1 ，X 2 ，X n 为相互独立且同为 P()分布时，有 三、解答题(总题数：10，分数：20.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：24.已知连续型随机变量 X的概率密度 f(x)为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案
20、： )解析：25.设随机变量 X与 Y相互独立，下表列出了二维随机变量(X，Y)联合分布率及关于 X和关于 Y的边缘分布率中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.编号为 1，2，3 的三个球随意放人编号为 1，2，3 的三个盒子中，每盒仅放一个球，令 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求出 X i 的分布，而后再求得联合分布的部分值，从而求得联合分布 如果将3个数的任一排列作为一个基本事件，则基本事件总数为 3!=6，PX 1 =1=P1号球落入 1号盒 又 PX 1 =1，X 2 =1=P1号球落入 1号盒，2 号球落入
21、 2号盒= 依次可求得(X 1 ，X 2 )的联合分布为 )解析：27.设随机变量 X和 Y的概率分布分别为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由于 P(X 2 =Y 2 )=1，因此 P(X 2 Y 2 )=0 由 P(X=0，Y=1)=0，因此 P(X=1，Y=1)=p(X=1，Y=1)+P(X=0，Y=1)=P(Y=1)= 再由 P(X=1，Y=0)=0 可知 P(X=0，Y=0)=p(X=1，Y=0)+P(X=0，Y=0)=P(Y=0)= 同理，由 P(X=0，Y=一 1)=0可知 P(X=1，Y=1)=P(X=1，Y=一1)+P(X=0，Y=一 1)=P(Y=一 1)=
22、这样，就可以写出(X，Y)的联合分布如下： )解析：28.已知样本观测值为 x 1 ，x 2 ，x n ，设 a及 b0 为常数，作变换 证明： () （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据变换 可得 x i =by i +a，i=1，2，n ()将上式代入 x i 均值观测值计算公式，有 ()将 x i =by i +a代入 x i 的方差的观测值计算公式，有 )解析：29.设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：总体 X的数学期望是 )解析：30.设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记似然函数为 L()，则 )解析：31.已知总体 X的密度函数为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：32.在某段公路上，观测每 15s内通过的汽车辆数，得到数据如下： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如果总体服从泊松分布 P()，则其概率函数为 利用最大似然估计求得参数 的估计值为 =18 原假设为总体 X服从泊松分布 XP(18)，备择假设为不服从泊松分布XP(18)，如果原假设成立，概率函数为 列表计算统计量 2 的观测值如下： )解析：
