1、考研数学一（概率与数理统计）-试卷 20 及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设总体 X 服从正态分布 N(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n (n1)是取自总体的简单随机样本，样本均值为 （分数：2.00）A.与 及 n 都有关B.与 及 n 都无关C.与 无关，与 n 有关D.与 有关，与 n 无关3.设 X 1 ，X 2 ，X n (n1)是来自总体 N(0，1)的简单随机样本，记 （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 X 1 ，X 2
2、 ，X 8 是来自总体 N(2，1)的简单随机样本，则统计量 （分数：2.00）A. 2 (2)B. 2 (3)C.t(2)D.t(3)5.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 XN(0，1)的简单随机样本，则统计量 （分数：2.00）A.Y 2 (n 一 1)B.Yt(n 一 1)C.YF(n，1)D.YF(1，n 一 1)6.设随机变量 XF(n，n)，记 p 1 =PX1)，p 2 =PX1，则 ( )（分数：2.00）A.p 1 p 2B.p 1 p 2C.p 1 =p 2D.p 1 ，p 2 大小无法比较7.设 X 1 ，X 2 ，X 8 和 Y 1 ，Y 2 ，Y 10 分别
3、是来自正态总体 N(-1，4)和 N(2，5)的简单随机样本，且相互独立，S 1 2 ，S 2 2 分别为这两个样本的方差，则服从 F(7，9)分布的统计量是 ( )（分数：2.00）A.B.C.D.8.设总体 XN(a， 2 )，YN(b， 2 )相互独立分别从 X 和 Y 中各抽取容量为 9 和 10 的简单随机样本，记它们的方差为 S Y 2 和 S Y 2 ，并记 （分数：2.00）A.S X 2B.S Y 2C.S 12 2D.S XY 29.设 x 1 ，x 2 ，x n 是来自总体 XN(， 2 )(， 2 都未知)的简单随机样本的观察值，则 2 的最大似然估计值为 ( )（分数
4、：2.00）A.B.C.D.10.设总体 XP()( 为未知参数)，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，其均值与方差分别为 （分数：2.00）A.-1B.0C.D.1二、填空题(总题数：6，分数：12.00)11.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_12.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_13.设随机变量 X 的数学期望EX=75，方差 DX=5，由切比雪夫不等式估计得 PX 一 75k005，则 k= 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设 X 1 ，X 2 ，X n ，是相互独立的随机变量序列
5、，且都服从参数为 的泊松分布，则 （分数：2.00）填空项 1:_15.设总体 XP()，X 1 ，X 2 ，X n 是来自 X 的简单随机样本，它的均值和方差分别为 和S 2 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_16.设总体 X 和 y 相互独立，且分别服从正态分布 N(0，4)和 N(0，7)，X 1 ，X 2 ，X 8 和 Y 1 ，Y 2 ，Y 14 分别来自总体 X 和 Y 的简单随机样本，则统计量 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_18.设 X，Y 是相互独立的随机变
6、量，它们都服从参数为 n，p 的二项分布，证明：Z=X+Y 服从参数为2n，p 的二项分布（分数：2.00）_19.设 ， 是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知 的分布律为 （分数：2.00）_20.设随机变量 X 与 Y 相互独立，都服从均匀分布 U(0，1)求 Z=XY的概率密度及 （分数：2.00）_21.设(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_22.设随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_23.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，且 X i 服从参数为 i 的指数分布，其密度为 （分数：2.00）_24.设 X 关于 Y 的条件概率密度为 而
7、Y 的概率密度为 求 （分数：2.00）_25.设(X，Y)服从 G=(x，y)x 2 +y 2 1)上的均匀分布，试求给定 Y=y 的条件下 X 的条件概率密度函数 f XY (xy)（分数：2.00）_26.设试验成功的概率为 ，失败的概率为 （分数：2.00）_27.市场上有两种股票，股票 A 的价格为 60 元股，每股年收益为 R 1 元，其均值为 7，方差为 50股票B 的价格为 40 元股，每股年收益为 R 2 元，其均值为 32，方差为 25，设 R 1 和 R 2 互相独立某投资者有 10 000 元，拟购买 s 1 股股票 A，s 2 股股票 B，剩下的 s 3 元存银行，设
8、银行 1 年期定期存款利率为 5，投资者希望该投资策略的年平均收益不少于 800 元，并使投资收益（分数：2.00）_28.设随机变量服从几何分布，其分布律为 PX=k)=(1 一 p) k-1 ，0p1，k=1，2，求 EX 与DX（分数：2.00）_29.设随机变量 X 的概率密度为 已知 （分数：2.00）_30.设(X，Y)的概率密度为 求 （分数：2.00）_31.在长为 L 的线段上任取两点，求两点距离的期望和方差（分数：2.00）_32.设 X，Y 是两个相互独立且均服从正态分布 （分数：2.00）_33.设随机变量 X 与 Y 独立同分布，均服从正态分布 N(， 2 )，求：(
9、1)max(X，Y的数学期望；(2)minX，Y的数学期望（分数：2.00）_考研数学一（概率与数理统计）-试卷 20 答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设总体 X 服从正态分布 N(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n (n1)是取自总体的简单随机样本，样本均值为 （分数：2.00）A.与 及 n 都有关B.与 及 n 都无关C.与 无关，与 n 有关 D.与 有关，与 n 无关解析：解析：由题设， (0，1)，于是 所以比值3.设 X 1
10、 ，X 2 ，X n (n1)是来自总体 N(0，1)的简单随机样本，记 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析： 4.设 X 1 ，X 2 ，X 8 是来自总体 N(2，1)的简单随机样本，则统计量 （分数：2.00）A. 2 (2)B. 2 (3)C.t(2) D.t(3)解析：解析：5.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 XN(0，1)的简单随机样本，则统计量 （分数：2.00）A.Y 2 (n 一 1)B.Yt(n 一 1) C.YF(n，1)D.YF(1，n 一 1)解析：解析：由总体 XN(0，1)知 ，且它们相互独立，所以6.设随机变量 XF(n，n)，记 p 1
11、 =PX1)，p 2 =PX1，则 ( )（分数：2.00）A.p 1 p 2B.p 1 p 2C.p 1 =p 2 D.p 1 ，p 2 大小无法比较解析：解析：由 XF(n，n)知 ，所以7.设 X 1 ，X 2 ，X 8 和 Y 1 ，Y 2 ，Y 10 分别是来自正态总体 N(-1，4)和 N(2，5)的简单随机样本，且相互独立，S 1 2 ，S 2 2 分别为这两个样本的方差，则服从 F(7，9)分布的统计量是 ( )（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：8.设总体 XN(a， 2 )，YN(b， 2 )相互独立分别从 X 和 Y 中各抽取容量为 9 和 10 的简单随机样
12、本，记它们的方差为 S Y 2 和 S Y 2 ，并记 （分数：2.00）A.S X 2B.S Y 2C.S 12 2D.S XY 2 解析：解析： 9.设 x 1 ，x 2 ，x n 是来自总体 XN(， 2 )(， 2 都未知)的简单随机样本的观察值，则 2 的最大似然估计值为 ( )（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：在 未知时， 2 的最大似然估计值为 10.设总体 XP()( 为未知参数)，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，其均值与方差分别为 （分数：2.00）A.-1B.0C. D.1解析：解析：要使 是 的无偏估计量，应有 ，二、填空题(总题
13、数：6，分数：12.00)11.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：12.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：13.设随机变量 X 的数学期望EX=75，方差 DX=5，由切比雪夫不等式估计得 PX 一 75k005，则 k= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：10）解析：解析：14.设 X 1 ，X 2 ，X n ，是相互独立的随机变量序列，且都服从参数为 的泊松分布，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确
14、答案：(x)）解析：解析：由列维一林德伯格中心极限定理即得15.设总体 XP()，X 1 ，X 2 ，X n 是来自 X 的简单随机样本，它的均值和方差分别为 和S 2 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：16.设总体 X 和 y 相互独立，且分别服从正态分布 N(0，4)和 N(0，7)，X 1 ，X 2 ，X 8 和 Y 1 ，Y 2 ，Y 14 分别来自总体 X 和 Y 的简单随机样本，则统计量 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：17，分数：34.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明
15、过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.设 X，Y 是相互独立的随机变量，它们都服从参数为 n，p 的二项分布，证明：Z=X+Y 服从参数为2n，p 的二项分布（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.设 ， 是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知 的分布律为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 的可能值为 1，2，3，Y 的可能值为 1，2，3 以此类推可求出(X，Y)的分布律及边缘分布列如下： )解析：20.设随机变量 X 与 Y 相互独立，都服从均匀分布 U(0，1)求 Z=XY的概率密度及 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：U=XY 的密
16、度为 )解析：21.设(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：边缘密度为 )解析：22.设随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 Z 的分布函数为 F Z (z)，则 )解析：23.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，且 X i 服从参数为 i 的指数分布，其密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设 X 关于 Y 的条件概率密度为 而 Y 的概率密度为 求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(X，Y)的概率密度为 )解析：25.设(X，Y)服从 G=(x，y)x 2 +y 2 1)
17、上的均匀分布，试求给定 Y=y 的条件下 X 的条件概率密度函数 f XY (xy)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为(X，Y)服从 G=(x，y)x 2 +y 2 1)上的均匀分布，所以 )解析：26.设试验成功的概率为 ，失败的概率为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 X 表示所需试验次数，则 X 的可能取值为 2，3，于是 )解析：27.市场上有两种股票，股票 A 的价格为 60 元股，每股年收益为 R 1 元，其均值为 7，方差为 50股票B 的价格为 40 元股，每股年收益为 R 2 元，其均值为 32，方差为 25，设 R 1 和 R 2 互相独立某投资者有
18、 10 000 元，拟购买 s 1 股股票 A，s 2 股股票 B，剩下的 s 3 元存银行，设银行 1 年期定期存款利率为 5，投资者希望该投资策略的年平均收益不少于 800 元，并使投资收益（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设投资策略为(s 1 ，s 2 ，s 3 )，则该投资策略的收益为 平均收益及方差为：ES=s 1 7+s 2 32+(10 00060s 1 40s 2 )5，DS=50s 1 2 +25s 2 2 ，问题为求DS=50s 1 2 +25s 2 2 的最小值约束条件为：ES=s 1 7+s 2 32+(10 00060s 1 一 40s 2 )5800,用拉格
19、朗日乘数法求解该问题，令 L=50s 1 +25s 2 +(800 一 s 1 7s 2 32 一(10 00060s 1 一 40s 2 )5)，其中 是待定系数，最优解应满足的一阶条件为： 解此方程组得：s 1 =6356 元，s 2 =3814 元，s 3 =4 6608 元该投资策略的方差和标准差分别为：DS=506356 2 +253814 2 238 360， )解析：28.设随机变量服从几何分布，其分布律为 PX=k)=(1 一 p) k-1 ，0p1，k=1，2，求 EX 与DX（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.设随机变量 X 的概率密度为 已知 （分数
20、：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30.设(X，Y)的概率密度为 求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31.在长为 L 的线段上任取两点，求两点距离的期望和方差（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：以线段的左端点为原点建立坐标系，任取两点的坐标分别为 X，Y，则它们均在0，L上服从均匀分布，且 X，Y 相互独立 所以 )解析：32.设 X，Y 是两个相互独立且均服从正态分布 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 Z=X 一 Y，则 ZN(0，1)故 )解析：33.设随机变量 X 与 Y 独立同分布，均服从正态分布 N(， 2 )，求：(1)max(X，Y的数学期望；(2)minX，Y的数学期望（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 ，则 U 和 V 独立同服从正态分布 N(0，1)， )解析：
