1、考研数学一（概率与数理统计）-试卷 29及答案解析(总分：96.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：43，分数：96.00)1.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_2.设总体 X的概率密度为 又设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自 X的一个简单随机样本，求未知参数 的矩估计量 （分数：2.00）_3.设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）_4.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自对数级数分布 （分数：2.00）_5.设总体 X服从参数为 N和 p的二项分布，X 1 ，X 2 ，X n 为取自 X的样本，试求参数 N和 p的矩估计（分数：2.00）_6.设总体的分
2、布列为截尾几何分布 PX=k)= k-1 (1一 )，k=1，2，r，PX=r+1)= r ，从中抽得样本 X 1 ，X 2 ，X n 其中有 m个取值为 r+1，求 的极大似然估计（分数：2.00）_7.设总体 X服从正态分布 N(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 是其样本 (1)求 C使得 是 2 的无偏估计量； (2)求 k使得 （分数：2.00）_8.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 F(x；)的一个样本， (X 1 ，X n )是 的一个估计量，若 试证： （分数：2.00）_9.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自均匀分布在0，上的一个样本，试证：T n =max
3、X 1 ，X 2 ，X n 是 的相合估计（分数：2.00）_10.已知 X具有概率密度 （分数：2.00）_11.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X 3 是来自 X的样本，试证：估计量 （分数：2.00）_12.设 X 1 ，X 2 ，X n 为总体 X的一个样本，设 DX=，DX= 2 ，试确定常数 C，使 （分数：2.00）_13.设总体服从 U0，X 1 ，X 2 ，X n 为总体的样本 证明： （分数：2.00）_14.设从均值为 ，方差为 2 0 的总体中分别抽取容量为 n 1 ，n 2 的两个独立样本，样本均值分别为 证明：对于任何满足条件 a+b=1的常数 （分数
4、：2.00）_15.设 X 1 ，X 2 ，X n 独立同分布，X 1 的取值有四种可能，其概率分布分别为：p 1 =1一 ，p 2 = 一 2 ，p 3 = 2 一 3 ，p 4 = 3 ，记 Ni为 X 1 ，X 2 ，X n 中出现各种可能的结（分数：2.00）_16.设总体 XN( 1 ， 2 )，YN( 2 ， 2 )从总体 X，Y 中独立地抽取两个容量为 m，n 的样本X 1 ，X m 和 Y 1 ，Y n 记样本均值分别为 （分数：2.00）_17.设有 k台仪器，已知用第 i台仪器测量时，测定值总体的标准差为 i ，i=1，2，k，用这些仪器独立地对某一物理量 各观察一次，分别
5、得到 X 1 ，X 2 ，X k ，设仪器都没有系统误差，即 E(X i )=，i=1，2，k，试求： 1 , 2 k 应取何值，使用 估计 时， 是无偏的，并且 （分数：2.00）_18.某种零件的尺寸方差为 2 =121，对一批这类零件检查 6件得尺寸数据(毫米)：3256，2966，3164，3000，2187，3103设零件尺寸服从正态分布，问这批零件的平均尺寸能否认为是 3250 毫米(=005)（分数：2.00）_19.某批矿砂的 5个样品中镍含量经测定为 X()：325，327，324，326，324，设测定值服从正态分布，问能否认为这批矿砂的镍含量为 325(=001)?（分数
6、：2.00）_20.从一批轴料中取 15件测量其椭圆度，计算得 S=0025，问该批轴料椭圆度的总体方差与规定的 2 =0000 4 有无显著差别?(=005，椭圆度服从正态分布)（分数：2.00）_21.设某产品的指标服从正态分布，它的标准差为 =100，今抽了一个容量为 26的样本，计算平均值 1 580，问在显著性水平 =005 下，能否认为这批产品的指标的期望值 不低于 1 600（分数：2.00）_22.设X n 是一随机变量序列，X n 的密度函数为： 试证： （分数：2.00）_23.设 X 1 ，X 2 ，X n ，是独立同分布的随机变量序列，E(X i )=，D(X i )=
7、 2 ，i=1，2，令 （分数：2.00）_24.一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重量 50千克，标准差为 5千克，若用最大载重为 5吨的汽车承运，试用中心极限定理说明每辆车最多可装多少箱，才能保障不超载的概率大于 0977(2)=0977)（分数：2.00）_25.用概率论方法证明 （分数：2.00）_26.截至 2010年 10月 25日，上海世博会参观人数超过了 7 000万人游园最大的痛苦就是人太多假设游客到达中国馆有三条路径，沿第一条路径走 3个小时可到达；沿第二条路径走 5个小时又回到原处；沿第三条路径走 7个小时也回到原处假定游客总是等可能地在三条路径
8、中选择一个，试求他平均要用多少时间才能到达中国馆（分数：2.00）_27.设 X 1 ，X 2 ，X n 为一列独立同分布的随机变量，随机变量 N只取正整数且 N与K)独立，求证：（分数：2.00）_28.假设你是参加某卫视“相亲节目”的男嘉宾，现有 n位女嘉宾在你面前自左到右排在一条直线上，每两位相邻的女嘉宾的距离为 a(米)假设每位女嘉宾举手时你必须和她去握手，每位女嘉宾举手的概率均为 （分数：2.00）_29.对于任意二事件 A 1 ，A 2 ，考虑二随机变量 （分数：2.00）_30.假设有四张同样的卡片，其中三张上分别只印有 a 1 ，a 2 ，a 3 ，而另一张上同时印有 1 ,
9、2 , 3 现在随意抽取一张卡片，令 A k =卡片上印有 a k )。证明：事件 A 1 ，A 2 ，A 3 两两独立但不相互独立（分数：2.00）_某商品一周的需求量 X是随机变量，已知其概率密度为 （分数：4.00）(1).U 2 和 U 3 的概率密度 f k (x)(k=2，3)；（分数：2.00）_(2).接连三周中的周最大需求量的概率密度 f (8) (x)（分数：2.00）_31.设 X和 Y相互独立都服从 01分布：PX=1)=PY=1)=06试证明：U=X+Y，V=XY 不相关，但是不独立（分数：2.00）_32.假设 G=(x，y)x 2 +y 2 r 2 是以原点为圆心
10、，半径为 r的圆形区域，而随机变量 X和 y的联合分布是在圆 G上的均匀分布试确定随机变量 X和 Y的独立性和相关性（分数：2.00）_33.假设某季节性商品，适时地售出 1千克可以获利 s元，季后销售每千克净亏损 t元假设一家商店在季节内该商品的销售量 X千克是一随机变量，并且在区间(a，b)内均匀分布问季初应安排多少这种商品，可以使期望销售利润最大?（分数：2.00）_34.独立地重复进行某项试验，直到成功为止，每次试验成功的概率为 p假设前 5次试验每次的试验费用为 10元，从第 6次起每次的试验费用为 5元试求这项试验的总费用的期望值 a（分数：2.00）_35.利用列维一林德伯格定理
11、，证明：棣莫弗一拉普拉斯定理（分数：2.00）_某保险公司接受了 10 000辆电动自行车的保险，每辆车每年的保费为 12元若车丢失，则赔偿车主 1 000元假设车的丢失率为 0006，对于此项业务，试利用中心极限定理，求保险公司：（分数：6.00）(1).亏损的概率 ；（分数：2.00）_(2).一年获利润不少于 40 000元的概率 ；（分数：2.00）_(3).一年获利润不少于 60 000元的概率 （分数：2.00）_将 n个观测数据相加时，首先对小数部分按“四舍五入”舍去小数位后化为整数试利用中心极限定理估计：（分数：4.00）(1).试当 n=1500时求舍位误差之和的绝对值大于
12、15的概率；（分数：2.00）_(2).估计数据个数 n满足何条件时，以不小于 90的概率，使舍位误差之和的绝对值小于 10的数据个数n.（分数：2.00）_36.设 X是任一非负(离散型或连续型)随机变量，已知 的数学期望存在，而 0 是任意实数，证明：不等式 （分数：2.00）_37.设事件 A出现的概率为 p=05，试利用切比雪夫不等式，估计在 1000次独立重复试验中事件 A出现的次数在 450到 550次之间的概率 （分数：2.00）_设来自总体 X的简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X n ，总体 X的概率分布为其中 01分别以 v 1 ，v 2 表示 X 1 ，X 2 ，X n
13、中 1，2 出现的次数，试求（分数：6.00）(1).未知参数 的最大似然估计量；（分数：2.00）_(2).未知参数 的矩估计量；（分数：2.00）_(3).当样本值为 1，1，2，1，3，2 时的最大似然估计值和矩估计值（分数：2.00）_38.假设一批产品的不合格品数与合格品数之比为 R(未知常数)现在按还原抽样方式随意抽取的 n件中发现 k件不合格品试求 R的最大似然估计值（分数：2.00）_39.假设总体 X在区间0，上服从均匀分布，X 1 ，X 2 ，X n 是来自 X的简单随机样本，试求： (1)端点 的最大似然估计量； (2)端点 的 095 置信区间（分数：2.00）_考研数
14、学一（概率与数理统计）-试卷 29答案解析(总分：96.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：43，分数：96.00)1.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：2.设总体 X的概率密度为 又设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自 X的一个简单随机样本，求未知参数 的矩估计量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 的数学期望为 )解析：3.设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求矩估计： )解析：4.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自对数级数分布 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：5.设总体 X服从参数为 N和
15、 p的二项分布，X 1 ，X 2 ，X n 为取自 X的样本，试求参数 N和 p的矩估计（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：6.设总体的分布列为截尾几何分布 PX=k)= k-1 (1一 )，k=1，2，r，PX=r+1)= r ，从中抽得样本 X 1 ，X 2 ，X n 其中有 m个取值为 r+1，求 的极大似然估计（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：7.设总体 X服从正态分布 N(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 是其样本 (1)求 C使得 是 2 的无偏估计量； (2)求 k使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：8.设 X 1 ，
16、X 2 ，X n 是来自总体 F(x；)的一个样本， (X 1 ，X n )是 的一个估计量，若 试证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：9.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自均匀分布在0，上的一个样本，试证：T n =maxX 1 ，X 2 ，X n 是 的相合估计（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：T n =X (n) 的分布函数为 )解析：10.已知 X具有概率密度 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)先求矩估计 )解析：11.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X 3 是来自 X的样本，试证：估计量 （分数：2.00）_正确答案：(正
17、确答案： )解析：12.设 X 1 ，X 2 ，X n 为总体 X的一个样本，设 DX=，DX= 2 ，试确定常数 C，使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：13.设总体服从 U0，X 1 ，X 2 ，X n 为总体的样本 证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.设从均值为 ，方差为 2 0 的总体中分别抽取容量为 n 1 ，n 2 的两个独立样本，样本均值分别为 证明：对于任何满足条件 a+b=1的常数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.设 X 1 ，X 2 ，X n 独立同分布，X 1 的取值有四种可能，其概率分布分别为：
18、p 1 =1一 ，p 2 = 一 2 ，p 3 = 2 一 3 ，p 4 = 3 ，记 Ni为 X 1 ，X 2 ，X n 中出现各种可能的结（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 N i B(n，p i )，i=1，2，3，4，所以 E(N i )=np i ，从而有： 若使 T是 的无偏估计，即要求 )解析：16.设总体 XN( 1 ， 2 )，YN( 2 ， 2 )从总体 X，Y 中独立地抽取两个容量为 m，n 的样本X 1 ，X m 和 Y 1 ，Y n 记样本均值分别为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.设有 k台仪器，已知用第 i台仪器测量时，测定值
19、总体的标准差为 i ，i=1，2，k，用这些仪器独立地对某一物理量 各观察一次，分别得到 X 1 ，X 2 ，X k ，设仪器都没有系统误差，即 E(X i )=，i=1，2，k，试求： 1 , 2 k 应取何值，使用 估计 时， 是无偏的，并且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 下的最小值作拉格朗日函数：G(a 1 ，a 2 ，a k ，)=g(a 1 ，a 2 ，a k )+(a 1 +a 2 +a k 一 1) )解析：18.某种零件的尺寸方差为 2 =121，对一批这类零件检查 6件得尺寸数据(毫米)：3256，2966，3164，3000，2187，3103设零件尺寸服从正
20、态分布，问这批零件的平均尺寸能否认为是 3250 毫米(=005)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：问题是在 2 已知的条件下检验假设 H 0 ：=3250H 0 的拒绝域为Zz 1/2 ，其中 z 0.025 =196，故 )解析：19.某批矿砂的 5个样品中镍含量经测定为 X()：325，327，324，326，324，设测定值服从正态分布，问能否认为这批矿砂的镍含量为 325(=001)?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：问题是在 2 未知的条件下检验假设 H 0 ：=325H 0 的拒绝域为tt a/2 (4)故 )解析：20.从一批轴料中取 15件测量其椭圆度，计算得
21、 S=0025，问该批轴料椭圆度的总体方差与规定的 2 =0000 4 有无显著差别?(=005，椭圆度服从正态分布)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：S=0025，S 2 =0000 625，n=15，问题是检验假设 H 0 ： 2 =0000 4 (1)Ho： 2 = 0 2 =0000 4； (2)选统计量 2 并计算其值 )解析：21.设某产品的指标服从正态分布，它的标准差为 =100，今抽了一个容量为 26的样本，计算平均值 1 580，问在显著性水平 =005 下，能否认为这批产品的指标的期望值 不低于 1 600（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：问题是在 2 已知
22、的条件下检验假设 H 0 ：1 600；H 1 ：1600H 0 的否定域为 Z-z 2 其中 )解析：22.设X n 是一随机变量序列，X n 的密度函数为： 试证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对任意给定的 0，由于 )解析：23.设 X 1 ，X 2 ，X n ，是独立同分布的随机变量序列，E(X i )=，D(X i )= 2 ，i=1，2，令 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重量 50千克，标准差为 5千克，若用最大载重为 5吨的汽车承运，试用中心极限定理说明每辆车最多可装多少箱，才能
23、保障不超载的概率大于 0977(2)=0977)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 X i 是装运的第 i箱的重量，n 表示装运箱数，则 E(X i )=50，D(X i )=5 2 =25，且装运的总重量 Y=X 1 +X 2 +X n ，X n 独立同分布，E(Y)=50n，D(Y)=25n由列维一林德伯格中心极限定理知 YN(50n，25n)于是 )解析：25.用概率论方法证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设X n 为一独立同分布随机变量序列，每个 X i 服从参数为 1的泊松分布，则 由列维一林德伯格中心极限定理知： )解析：26.截至 2010年 10月 25
24、日，上海世博会参观人数超过了 7 000万人游园最大的痛苦就是人太多假设游客到达中国馆有三条路径，沿第一条路径走 3个小时可到达；沿第二条路径走 5个小时又回到原处；沿第三条路径走 7个小时也回到原处假定游客总是等可能地在三条路径中选择一个，试求他平均要用多少时间才能到达中国馆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设游客需要 X小时到达中国馆，则 X的可能取值为3，5+3，7+3，5+5+3，5+7+3，7+7+3，要写出 X的分布律很困难，所以无法直接求 EX为此令 Y=第一次所选的路径，即Y=i表示“选择第 i条路径”则 因为 E(XY=1)=3，E(XY=2)=5+E(X)，E(XY
25、=3)=7+E(X)，所以 )解析：27.设 X 1 ，X 2 ，X n 为一列独立同分布的随机变量，随机变量 N只取正整数且 N与K)独立，求证：（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.假设你是参加某卫视“相亲节目”的男嘉宾，现有 n位女嘉宾在你面前自左到右排在一条直线上，每两位相邻的女嘉宾的距离为 a(米)假设每位女嘉宾举手时你必须和她去握手，每位女嘉宾举手的概率均为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设按从左到右的顺序将女嘉宾编号为 1，2，nX 为已经握手的女嘉宾的编号，Y表示将要去握手的女嘉宾的编号，则 )解析：29.对于任意二事件 A 1 ，A 2 ，考虑二随机变量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 p i =P(A i )(i=1，2)，p 12 =P(A 1 A 2 )，而 是 X 1 和 X 2 的
