1、考研数学一（概率与数理统计）-试卷 3及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A、B 为两个随机事件，且 B （分数：2.00）A.P(A+B)=P(A)B.P(AB)=P(A)C.P(B|A)=P(B)D.P(B一 A)=P(B)一 P(A)3.设 A和 B为任意两不相容事件，且 P(A)P(B)0，则必有( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 A、B、C 为事件，P(ABC)0，则 P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)的充要条件是(
2、 )（分数：2.00）A.P(A|C)=P(4)B.P(B|C)=P(B)C.P(AB|C)=P(AB)D.P(B|AC)=P(B|C)5.设 f(x)是连续型随机变量 X的概率密度，则 f(x)一定是( )（分数：2.00）A.可积函数B.单调函数C.连续函数D.可导函数6.设随机变量 X与 Y相互独立，其概率分布为 （分数：2.00）A.X=YB.PX=Y=0C.Px=Y=D.PX=Y=17.设两个相互独立的随机变量 X和 Y分别服从正态分布 N(0，1)和 N(1，1)，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.设随机变量 X和 Y独立同分布，记 U=XY，V=X+Y，则随机变量
3、U与 V必然( )（分数：2.00）A.不独立B.独立C.相关系数不为零D.相关系数为零9.设随机变量 X与 Y相互独立，且方差 D(X)0，D(Y)0，则( )（分数：2.00）A.X与 X+Y一定相关B.X与 X+Y一定不相关C.X与 XY一定相关D.X与 XY一定不相关10.设随机变量序列 X 1 ，X 2 ，X n ，相互独立，则根据辛钦大数定律， （分数：2.00）A.有相同的期望B.有相同的方差C.有相同的分布D.服从同参数 p的 0一 1分布11.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自正态总体 N(0， 2 )的简单随机样本， 与 S 2 分别是样本均值与样本方差，则( ) （分
4、数：2.00）A.B.C.D.12.假设总体 X的方差 D(X)存在，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本，其均值和方差分别为 X，S 2 ，则 E(X 2 )的矩估计量是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：12，分数：24.00)13.已知事件 A与 B相互独立，P(A)=a，P(B)=b如果事件 C发生必然导致事件 A与 B同时发生，则事件A，B，C 均不发生的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_14.袋中有 50个乒乓球，其中 20个是黄球，30 个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 1（分
5、数：2.00）填空项 1:_15.设随机变量 X服从(0，2)上的均匀分布，则随机变量 Y=X 2 在(0，4)内的概率分布密度 F y (y)= 1（分数：2.00）填空项 1:_16.若在区间(0，1)上随机地取两个数 u，则关于 x的一元二次方程 x 2 一 2x+u=0 有实根的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_17.设随机变量 X的密度函数 （分数：2.00）填空项 1:_18.假设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 相互独立且都服从 0一 1分布：PX i =1=p，PX i =0=1一p(i=1，2，3，4，0p1)，已知二阶行列式 的值大于零的概率等于 （分
6、数：2.00）填空项 1:_19.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立同分布，E(X i )=，D(X i )=8(i=1，2，n)，则概率 （分数：2.00）填空项 1:_20.已知 （分数：2.00）填空项 1:_21.设二维随机变量(X，Y)服从 N(，； 2 ， 2 ；0)，则 E(XY 2 )= 1（分数：2.00）填空项 1:_22.设总体 X的概率密度函数为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_23.设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 XN(， 2 )的简单随机样本，记样本方差为 S 2 ，则 D(S 2 ) 1（分数：2.00）填空项 1:_24.设
7、总体 X的概率密度函数为 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：16.00)25.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_26.已知 P(A)=05，P(B)=07，则()在怎样的条件下，P(AB)取得最大值?最大值是多少?()在怎样的条件下，P(AB)取得最小值?最小值是多少?（分数：2.00）_27.设随机变量 X的概率密度为 （分数：2.00）_28.设随机变量 X与 Y相互独立，且 X服从参数为 p的几何分布，即 PX=m=pg m一 1 ，m=1，2，0p1，q=1 一 p，Y 服从标准正态分布 N(0，1)求： ()U=X+Y 的分
8、布函数； ()V=XY的分布函数（分数：2.00）_29.设随机变量 X的概率密度为 对 X独立地重复观察 4次，用 Y表示观察值大于 （分数：2.00）_30.灯泡厂从某日生产的一批灯泡中抽取 10个灯泡进行寿命试验，得到灯泡寿命(h)的数据如下：1050 1100 1080 1120 12001250 1040 1130 1300 1200求该日生产的整批灯泡的寿命均值及寿命方差的无偏估计值（分数：2.00）_31.已知总体 X是离散型随机变量，X 可能取值为 0，1，2 且 PX=2=(1一 ) 2 ，E(X)=2(1 一 )( 为未知参数) ()试求 X的概率分布； ()对 X抽取容量
9、为 10的样本，其中 5个取 1，3 个取 2，2 个取0，求 的矩估计值、最大似然估计值； ()求经验分布函数（分数：2.00）_32.进行 5次试验，测得锰的熔化点()如下：1269 1271 1256 1265 1254 已知锰的熔化点服从正态分布，是否可以认为锰的熔化点显著高于 1250?(取显著性水平 =001)（分数：2.00）_考研数学一（概率与数理统计）-试卷 3答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A、B 为两个随机事件，且
10、B （分数：2.00）A.P(A+B)=P(A) B.P(AB)=P(A)C.P(B|A)=P(B)D.P(B一 A)=P(B)一 P(A)解析：解析：如图 12所示，可见 A+B=AB=A AB=AB=B BA= 于是 P(A+B)=P(A)，P(AB)=P(B)，P(BA)=P( )=0，故选项 A正确C 选项只有当 P(A)=1时才成立3.设 A和 B为任意两不相容事件，且 P(A)P(B)0，则必有( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：因为4.设 A、B、C 为事件，P(ABC)0，则 P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)的充要条件是( )（分数：2.00）A.P
11、(A|C)=P(4)B.P(B|C)=P(B)C.P(AB|C)=P(AB)D.P(B|AC)=P(B|C) 解析：解析：P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)，指在 C发生的条件下，A 与 B独立，所以“在 C发生的条件下，A发生与否不影响 B发生的概率”，即 P(B|AC)=P(B|C)，故选择 D选项 A、B、C 分别是 A与 C、B 与C、AB 与 C独立的充要条件5.设 f(x)是连续型随机变量 X的概率密度，则 f(x)一定是( )（分数：2.00）A.可积函数 B.单调函数C.连续函数D.可导函数解析：解析：根据概率密度的定义，f(x)满足对任何实数 x，F(x)=Pxx= 一
12、 x f(t)dt，因此 f(x)一定是可积函数，但是 f(x)可以是分段函数，比如，a，b上的均匀分布随机变量 X属连续型，而其概率密度 f(x)在(一，+)内不是单调函数，且在 x=a，b 两点不连续，当然亦不可导，因此不能选B、C、D，选项 A正确6.设随机变量 X与 Y相互独立，其概率分布为 （分数：2.00）A.X=YB.PX=Y=0C.Px=Y= D.PX=Y=1解析：解析：因为随机变量 X和 Y可以取不同的值，所以排除选项 A，D又因为 X和 Y也可以取相同的值，所以排除选项 B，故选项 C正确7.设两个相互独立的随机变量 X和 Y分别服从正态分布 N(0，1)和 N(1，1)，
13、则( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由于 XN(0，1)与 YN(1，1)以及 X与 Y相互独立，得 X+YN(1，2)，XYN(一1，2) 因为，若 ZN(， 2 )，则必有 8.设随机变量 X和 Y独立同分布，记 U=XY，V=X+Y，则随机变量 U与 V必然( )（分数：2.00）A.不独立B.独立C.相关系数不为零D.相关系数为零 解析：解析：因为 Cov(U，V)=E(UV)一 E(U)E(V) =E(X 2 一 Y 2 )一 E(XY)E(X+Y) =E(X 2 )一 E(Y 2 )一E(X) 2 +E(Y) 2 =D(X)一 D(Y)=0 9.设随机变量 X
14、与 Y相互独立，且方差 D(X)0，D(Y)0，则( )（分数：2.00）A.X与 X+Y一定相关 B.X与 X+Y一定不相关C.X与 XY一定相关D.X与 XY一定不相关解析：解析：直接根据计算协方差来判断，已知 X与 Y独立，故 Cov(X，Y)=0， Coy(X，X+Y)=Coy(X，X)+Cov(X，Y)=D(X)0 所以 X与 X+Y一定相关，应选 A 又由于 Cov(X，XY)=E(X 2 Y)一 E(X)E(XY) =E(X 2 )E(Y)一 E 2 (X)E(Y) =E(X 2 )一 E 2 (X)E(Y) 故选项 C、D 有时成立，有时不成立10.设随机变量序列 X 1 ，X
15、 2 ，X n ，相互独立，则根据辛钦大数定律， （分数：2.00）A.有相同的期望B.有相同的方差C.有相同的分布D.服从同参数 p的 0一 1分布 解析：解析：由于辛钦大数定律除了要求随机变量 X 1 ，X 2 ，X n ，相互独立的条件之外，还要求 X 1 ，X 2 ，X n ，同分布与期望存在只有选项 D同时满足后面的两个条件，应选 D11.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自正态总体 N(0， 2 )的简单随机样本， 与 S 2 分别是样本均值与样本方差，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：根据正态总体抽样分布公式知12.假设总体 X的方差 D(X)存在，X
16、1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本，其均值和方差分别为 X，S 2 ，则 E(X 2 )的矩估计量是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：根据矩估计量的定义确定选项，因为 E(X 2 )=D(X)+E 2 (X)，而 D(X)与 E(X)矩估计量分别为 二、填空题(总题数：12，分数：24.00)13.已知事件 A与 B相互独立，P(A)=a，P(B)=b如果事件 C发生必然导致事件 A与 B同时发生，则事件A，B，C 均不发生的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1a)(1b)）解析：解析：14.袋中有 50个乒乓球，其中
17、20个是黄球，30 个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设事件 A=第一个人取出的球是黄色的，事件 B=第一个人取出的球是白色的，事件C=第二个人取出的球是黄色的，则有15.设随机变量 X服从(0，2)上的均匀分布，则随机变量 Y=X 2 在(0，4)内的概率分布密度 F y (y)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：首先求出在(0，4)上 Y的分布函数 F Y (y)当 0y4 时，有 16.若在区间(0，1)上随机地取两个数 u
18、，则关于 x的一元二次方程 x 2 一 2x+u=0 有实根的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设事件 A=“方程 x 2 2vx+u=0有实根”，因 u， 是从(0，1)中任意取的两个数，因此点(u，)与正方形区域 D内的点一一对应(如图 24所示)，其中 D=(u，)|0u1，01事件A=(u，)|(2) 2 4u0，(u，)D，阴影 D 1 满足事件 A，其中 D 1 =(u，)| 2 u，0u，1利用几何型概率公式，有 17.设随机变量 X的密度函数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：18.假设随机变
19、量 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 相互独立且都服从 0一 1分布：PX i =1=p，PX i =0=1一p(i=1，2，3，4，0p1)，已知二阶行列式 的值大于零的概率等于 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设 =X 1 X 4 一 X 2 X 3 ，则 P应使 P0=PX 1 X 4 一 X 2 X 3 0=PX 1 X 4 X 2 X 3 ，由于 X i 仅能取 1或 0，且相互独立，故事件X 1 X 4 X 2 X 3 =X 1 X 4 =1，X 2 X 3 =0，所以 =PX 1 =1，X 4 =1，X 2 =0，X 3 =0+PX 1
20、 =1，X 4 =1，X 2 =0，X 3 =1+PX 1 =1，X 4 =1，X 2 =1，X 3 =0=p 2 (1一 p) 2 +p 3 (1一 p)+p 3 (1一 p)=p 2 (1一 p 2 )=p 2 一 p 4 ，则 p 4 一 p 2 + 19.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立同分布，E(X i )=，D(X i )=8(i=1，2，n)，则概率 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：根据于随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立同分布，因此有 根据切比雪夫不等式，有 20.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确
21、答案：正确答案：*）解析：解析：因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以“ 1 + 2 ， 2 +2 3 ，X 3 +Y 1 线性相关” +2Y=0”，故所求的概率为 21.设二维随机变量(X，Y)服从 N(，； 2 ， 2 ；0)，则 E(XY 2 )= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 3 + 2）解析：解析：由于 =0，根据二维正态分布的性质可知随机变量 X，Y 独立，因此 E(XY 2 )=E(X)E(Y 2 )已知(X，Y)服从 N(，； 2 ， 2 ；0)，则 E(X)=，E(Y 2 )=D(Y)+E 2 (Y)= 2 + 2 ，故E(XY 2 )=( 2
22、 + 2 )= 3 + 2 22.设总体 X的概率密度函数为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：显然 E(S 2 )=D(X)，而 D(X)=EXE(X) 2 23.设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 XN(， 2 )的简单随机样本，记样本方差为 S 2 ，则 D(S 2 ) 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：24.设总体 X的概率密度函数为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：根据题意可知，三、解答题(总题数：8，分数：16.00)25.解答题解答应写出文字说
23、明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：26.已知 P(A)=05，P(B)=07，则()在怎样的条件下，P(AB)取得最大值?最大值是多少?()在怎样的条件下，P(AB)取得最小值?最小值是多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由于 ， 因此 P(AB)P(A)，P(AB)P(B)， 即 P(AB)minP(A)，P(B) 已知 P(A)=05，P(B)=07，所以 P(AB)minP(A)，P(B)=P(A)=05， P(AB)的最大值是05，P(AB)=P(A)=05 成立的条件是 AB=A，即 A )解析：27.设随机变量 X的概率密度为 （分数：2.00）_正
24、确答案：(正确答案：()根据题意可知随机变量 Y的取值区间为1，2，Y 的分布函数为 F(y)=PYy 当 y1 时，F(y)=0； 当 y2 时，F(y)=1； 当 1y2 时，F(y)=Pyy=JPy1+P1Yy =PX2+P1xy 所以 Y的分布函数为 ()根据概率的性质可得，PXy=1一 PxY=1 一 PX2= )解析：28.设随机变量 X与 Y相互独立，且 X服从参数为 p的几何分布，即 PX=m=pg m一 1 ，m=1，2，0p1，q=1 一 p，Y 服从标准正态分布 N(0，1)求： ()U=X+Y 的分布函数； ()V=XY的分布函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案
25、：()根据全概率公式有 )解析：29.设随机变量 X的概率密度为 对 X独立地重复观察 4次，用 Y表示观察值大于 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30.灯泡厂从某日生产的一批灯泡中抽取 10个灯泡进行寿命试验，得到灯泡寿命(h)的数据如下：1050 1100 1080 1120 12001250 1040 1130 1300 1200求该日生产的整批灯泡的寿命均值及寿命方差的无偏估计值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于样本均值 是总体均值 的无偏估计量，样本方差 S 2 是总体方差 2 的无偏估计量，因此该日生产的灯泡寿命均值 的无偏估计值为 该日生产的灯泡寿
26、命方差 2 的无偏估计值为 )解析：31.已知总体 X是离散型随机变量，X 可能取值为 0，1，2 且 PX=2=(1一 ) 2 ，E(X)=2(1 一 )( 为未知参数) ()试求 X的概率分布； ()对 X抽取容量为 10的样本，其中 5个取 1，3 个取 2，2 个取0，求 的矩估计值、最大似然估计值； ()求经验分布函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()设 X的概率分布为 PX=0=P 0 ，PX=1=p 1 ，PX=2=p 2 ，根据题设知 p 2 =(1) 2 ，又 E(X)=2(1)=0p 0 +1p 1 +2p 2 =p 1 +2p 2 =2(1)， 解得 p 1
27、=2(1一)一 2(1一 ) 2 =2(1 一 )，而 p 0 +p 1 +p 2 =1，所以 p 0 =1一 p 1 p 2 = 2 ，X 的概率分布为 ()根据定义求矩估计值、最大似然估计值，=E(x)=2(1 一 )，解得 于是 的矩估计量 将样本值代入得 的矩估计值为 )解析：32.进行 5次试验，测得锰的熔化点()如下：1269 1271 1256 1265 1254 已知锰的熔化点服从正态分布，是否可以认为锰的熔化点显著高于 1250?(取显著性水平 =001)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意，原假设和备择假设分别为 H 0 ：=1250，H 1 ：1250 根据已知数据计算得样本均值和标准差为 =1263，S765， 选取的 t统计量为 已知 0 =1250，n=5，并将样本均值和标准差代入得 )解析：
