1、考研数学一（概率与数理统计）-试卷 5及答案解析(总分：48.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设三事件 A，B，C 两两独立，则 A，B，C 相互独立的充分必要条件是：( )（分数：2.00）A.A与 BC独立B.AB与 AC 独立C.AB与 AC独立D.AB 与 AC 独立3.设 X 1 ，X 2 ，X 3 是随机变量，且 X 1 N(0，1)，X 2 N(0，2 2 )，X 3 N(5，3 2 )，p i =P-2X i 2)(i=1，2，3)，则( )（分数：2.00
2、）A.p 1 p 2 p 3B.p 2 p 1 p 3C.p 3 p 1 p 2D.p 1 p 3 p 24.设随机变量 Xt(n)(n1)，Y= （分数：2.00）A.Y 2 (n)B.Y 2 (n-1)C.YF(n，1)D.YF(1，n)二、填空题(总题数：7，分数：14.00)5.随机地向半圆 0y (a为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比，则原点与该点的连线与 x轴的夹角小于 （分数：2.00）填空项 1:_6.在区间(0，1)中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于 （分数：2.00）填空项 1:_7.设平面区域 D由曲线 （分数：2.00）填空项
3、1:_8.设随机变量 X与 Y相互独立，且均服从区间0，3上的均匀分布，则 PmaxX，Y1= 1（分数：2.00）填空项 1:_9.已知随机变量 X服从参数为 2的泊松分布，且随机变量 Z=3X-2，则 EZ= 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 XN(4，5)，YN(-2，9)，ZN(2，2)，则 P0X+Y-Z3= 1(34)=07734)（分数：2.00）填空项 1:_11.设 xF(n，n)，且 P(|X|A)=03，则 P(X1A)= 1(其中 A为一常数)（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：26.00)12.解
4、答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_13.设随机变量 X，Y 相互独立，其概率密度函数分别为 （分数：2.00）_14.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_15.设 X与 Y独立同分布，P(X=1)=p，(0p1)，p(X=0)=1-p，令 Z= （分数：2.00）_已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3件合格品和 3件次品，乙箱中仅装有 3件合格品，从甲箱中任取 3件产品放入乙箱后，求：（分数：4.00）(1).乙箱中次品件数 X的数学期望；（分数：2.00）_(2).从乙箱中任取一件产品是次品的概率（分数：2.00）_16.袋中装有黑白两种颜色的球
5、，黑球与白球个数之比为 3：2现从此袋中有放回地摸球，每次摸 1个，记 X为直至摸到黑、白两种颜色都出现为止所需要摸的次数，求 E(X)（分数：2.00）_17.已知线段 AB=4，CD=1，现分别独立地在 AB上任取点 A 1 ，在 CD上任取点 C 1 ，作一个以 AA 1 为底、CC 1 为高的三角形，设此三角形的面积为 S，求 P(S1)和 D(S)（分数：2.00）_18.对随机变量 X，Y，已知，EX 2 和 EY 2 存在，证明：E(XY) 2 E(X 2 )E(Y 2 )（分数：2.00）_19.设总体 X的概率分布为 其中参数 (0，1)未知，以 N i 表示来自总体 X的简
6、单随机样本(样本容量为 n)中等于 i的个数(i=1，2，3)试求常数 a 1 ，a 2 ，a 3 ，使 （分数：2.00）_设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自正态总体 N( 0 ， 2 )的简单随机样本，其中 0 已知， 2 0 未知 （分数：4.00）(1).求参数 2 的最大似然估计 （分数：2.00）_(2).计算 （分数：2.00）_20.设 Y=lnXN(， 2 )，而 X 1 ，X n 为取自总体的 X的简单样本，试求 EX的最大似然估计（分数：2.00）_21.测得两批电子器材的部分电阻值为： A 批：140，138，143，142，144，139； B 批：135，140
7、，142，136，135，140 设两批电子器材的电阻均服从正态分布，试在 =005 下检验这两批电子器材的平均电阻有无显著差异，(t 0975 (10)=22281，F 0975 (5，5)=715，下侧分位数，提示：先检验方差相等)（分数：2.00）_考研数学一（概率与数理统计）-试卷 5答案解析(总分：48.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设三事件 A，B，C 两两独立，则 A，B，C 相互独立的充分必要条件是：( )（分数：2.00）A.A与 BC独立 B.A
8、B与 AC 独立C.AB与 AC独立D.AB 与 AC 独立解析：解析：“两两独立”指 P(A)P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)；而“相互独立”指上述 3个式子，另加 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)共 4个式子成立，注意 P(ABC)=P(A(BC)，只有(A)可选3.设 X 1 ，X 2 ，X 3 是随机变量，且 X 1 N(0，1)，X 2 N(0，2 2 )，X 3 N(5，3 2 )，p i =P-2X i 2)(i=1，2，3)，则( )（分数：2.00）A.p 1 p 2 p 3 B.p 2 p 1 p 3C.p 3 p 1 p
9、2D.p 1 p 3 p 2解析：解析：P 1 =P-2X 1 2=(2)-(-2)=2(2)-1 P 2 =P-2X 2 2= =(1)-(-1)=2(1)-1 P 3 =P-2X 3 2= 这儿 ，是服从 N(0，1)分布的随机变量的分布函数，知(2)(1)，故 p 1 p 2 ； 又 (1)=08413，而 4.设随机变量 Xt(n)(n1)，Y= （分数：2.00）A.Y 2 (n)B.Y 2 (n-1)C.YF(n，1) D.YF(1，n)解析：解析：由 Xt(n)，得 X 2 F(1，n)，故 Y= 二、填空题(总题数：7，分数：14.00)5.随机地向半圆 0y (a为正常数)内
10、掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比，则原点与该点的连线与 x轴的夹角小于 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：记图 42 中半圆区域为 G， 阴影部分区域为 D，面积分别记为 S G 和 S D ，则 6.在区间(0，1)中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设这两个数分别为 x，y，则二维点(x，y)可能取的点为图 43 中的正方形内部(面积为 1)，而符合要求(即题中“两数之差的绝对值 ”)的点集合(x，y)：0x1，0y1， 为图中阴影部分 G，而 G的
11、面积为 ，故所求概率为7.设平面区域 D由曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 则关于 X的边缘密度 f X (x)= - + f(x，y)dy 当 x1 或 xe 2 时，f X (x)=0 当 1xe 2 时， 8.设随机变量 X与 Y相互独立，且均服从区间0，3上的均匀分布，则 PmaxX，Y1= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题意知 X与 Y的概率密度均为 则 PX1)=PY1= - 1 f(x)dx= 0 1 故 Pmax(X，y)1)=P)X1，Y1=P(X1)P(Y1= 9.已知随机变量 X服
12、从参数为 2的泊松分布，且随机变量 Z=3X-2，则 EZ= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：EX=2，EZ=E(3X-2)=3EX-2=32-2=410.设随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 XN(4，5)，YN(-2，9)，ZN(2，2)，则 P0X+Y-Z3= 1(34)=07734)（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：E(X+Y-Z)=EX+EY-EZ=4-2-2=0，D(X+Y-Z)=DX+DY+DZ=5+9+2=16，X+Y-ZN(0，16)，故 P(0X+Y-Z3= ）解析：11.设 xF(n，n)，且 P(|X|A)
13、=03，则 P(X1A)= 1(其中 A为一常数)（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：07）解析：解析：由 03=P(XA)，A=F 03 3(n，n)，1A=F 07 ，(n，n)，故 P(X1A)=07(本解是由下侧分位数表述的，若用上侧表示则类似，但答案相同)三、解答题(总题数：12，分数：26.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：13.设随机变量 X，Y 相互独立，其概率密度函数分别为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知，(X，Y)的联合密度为 而 Z的分布函数为 则 Z的概率密度为)解析：14.设二维随机变量(X，Y)的
14、概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：F(x，y)= - x du - y f(u，v)dv，故 x0 或 y0 时，F(x，y)=0；x1，y1 时，F(x，y)= 0 1 du 0 1 4uvdv=1：x1，0y1 时，F(x，y)= 0 1 du 0 1 4uvdv=y 2 (图中阴影部分即为积分区域，其余类似，不再画图)； )解析：15.设 X与 Y独立同分布，P(X=1)=p，(0p1)，p(X=0)=1-p，令 Z= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：P(Z=0)=P(X+Y=1)=P(X=0，Y=1)+P(X=1，Y=0)=2p(1-p) P(Z=1)=P
15、(X+Y=0)+P(X+Y=1)=P(X=0，Y=0)+P(X=1，Y=1)=(1-p) 2 +p 2 而 P(X=0，Z=0)=P(X=0，Y=1)=P(X=0)P(Y=1)=p(1-p) 如果P(X=0，Z=0)=P(x=0)P(Z=0)，则须 p(1-p)=(1-p)2p(1-p) 解得 p=12，不难验算出，p=12 时，P(X=0，Z=1)=P(X=0)P(Z=1)=14，P(X=1，Z=0)=P(X=1)P(Z=0)=14，P(X=1，Z=1)=P(X=1)P(Z=1=14。故知当且仅当 p=12 时，X 与 Z独立。)解析：已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3件合格品
16、和 3件次品，乙箱中仅装有 3件合格品，从甲箱中任取 3件产品放入乙箱后，求：（分数：4.00）(1).乙箱中次品件数 X的数学期望；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 可能取的值为 0，1，2，3 可算得：P(X=k)= ，k=0，1，2，3 或写成)解析：(2).从乙箱中任取一件产品是次品的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 A=从乙箱中任取一件产品是次品，由全概率公式得： )解析：16.袋中装有黑白两种颜色的球，黑球与白球个数之比为 3：2现从此袋中有放回地摸球，每次摸 1个，记 X为直至摸到黑、白两种颜色都出现为止所需要摸的次数，求 E(X)（分数：2.00）_
17、正确答案：(正确答案：记 A i =第 i次取白球)，P(AA i )=25，i=1，2，且诸 AA i 相互独立，P(X=k)=P(AA 1 A k-1 ) )解析：17.已知线段 AB=4，CD=1，现分别独立地在 AB上任取点 A 1 ，在 CD上任取点 C 1 ，作一个以 AA 1 为底、CC 1 为高的三角形，设此三角形的面积为 S，求 P(S1)和 D(S)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 AA 1 长度为 X，CC 1 ，长度为 Y，则知 X与 Y为二相互独立的随机变量，分别服从区间0，4和0，1上的均匀分布，(X，Y)的概率密度为 )解析：18.对随机变量 X，Y，
18、已知，EX 2 和 EY 2 存在，证明：E(XY) 2 E(X 2 )E(Y 2 )（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.设总体 X的概率分布为 其中参数 (0，1)未知，以 N i 表示来自总体 X的简单随机样本(样本容量为 n)中等于 i的个数(i=1，2，3)试求常数 a 1 ，a 2 ，a 3 ，使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 p 1 =1-，p 2 =- 2 ，p 3 = 2 ，则可知 N i B(n，p i )，EN i =np，i=1，23 且 DN 1 =np 1 (1-p 1 )=n(1-) 于是 ET= a i EN i = a i
19、np i =na 1 -(a 2 -a 1 )+(a 3 -a 2 ) 2 为使 T为 的无偏估计量，即要求 (0，1)时有 ET= 即na 1 +(a 2 -a 1 )+(a 3 -a 2 ) 2 = 比较系数即得： 故 a 1 =0，a 2 =a 3 =1n 又由N 1 +N 2 +N 3 =n，得： )解析：设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自正态总体 N( 0 ， 2 )的简单随机样本，其中 0 已知， 2 0 未知 （分数：4.00）(1).求参数 2 的最大似然估计 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意知，总体 X的概率密度为： f(x； 2 )= ，-x+ 似然函数
20、为 )解析：(2).计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 X 1 ，X 2 ，X n 独立同分布且 X 1 N( 0 ， 2 ) )解析：20.设 Y=lnXN(， 2 )，而 X 1 ，X n 为取自总体的 X的简单样本，试求 EX的最大似然估计（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：EX=Ee Y = ，令 Y i =lnX，i=1，2，n，Y 1 ，Y n 相当于取自总体Y中的样本，似然函数 )解析：21.测得两批电子器材的部分电阻值为： A 批：140，138，143，142，144，139； B 批：135，140，142，136，135，140 设两批电子器材的电阻
21、均服从正态分布，试在 =005 下检验这两批电子器材的平均电阻有无显著差异，(t 0975 (10)=22281，F 0975 (5，5)=715，下侧分位数，提示：先检验方差相等)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A、B 批电子器材的电阻值分别为总体 X和 Y，则 XN( 1 ， 1 2 )，YN( 2 ， 2 2 )，先检验，H 0 ： 1 2 = 2 2 ，拒绝域为 F= (n-1，m-1)并 F (n-1，m-1)，这儿 n=m=6，算得 S x 2 =56，S y 2 =92，F=06087， (n-1，m-1)=F 0025 (5，5)= =01399，故 (n-1，m-1)F (n-1，m-1)，接受 H 0 ；又检验 H 0 ： 1 = 2 ，拒绝域为： 这里 )解析：
