1、考研数学一（概率与数理统计）-试卷 6 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.以 A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件 （分数：2.00）A.“甲种产品滞销，乙种产品畅销”B.“甲、乙两种产品均畅销”C.“甲种产品滞销”D.“甲种产品滞销或乙种产品畅销”3.设 A，B，C 是任意三个事件，事件 D 表示 A，B，C 中至少有两个事件发生，则下列事件中与 D 不相等的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设当事件 A 与 B
2、 同时发生时，事件 C 必发生，则( )（分数：2.00）A.P(C)P(A)+P(B)一 1B.P(C)P(A)+P(B)一 1C.P(C)=P(AB)D.P(C)=P(AB)5.将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A 1 =掷第一次出现正面，A 2 =掷第二次出现正面，A 3 =正反面各出现一次，A 4 =正面出现两次，则事件( )（分数：2.00）A.A 1 ，A 2 ，A 3 相互独立B.A 2 ，A 3 ，A 4 相互独立C.A 1 ，A 2 ，A 3 两两独立D.A 2 ，A 3 ，A 4 两两独立6.假设 X 是只可能取两个值的离散型随机变量，Y 是连续型随机变量，则随机变量 X+
3、Y 的分布函数( )（分数：2.00）A.是连续函数B.是阶梯函数C.恰有一个间断点D.至少有两个间断点7.已知随机变量 X 在(1，2)上服从均匀分布，在 X=x 条件下 Y 服从参数为 x 的指数分布，则 E(XY)=( )（分数：2.00）A.0B.C.D.18.设(X，Y)为二维随机变量，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.若 X 与 Y 不相关，则 X 2 与 Y 2 不相关B.若 X 2 与 Y 2 不相关，则 X 与 Y 不相关C.若 X 与 Y 均服从正态分布，则 X 与 Y 独立和 X 与 Y 不相关等价D.若 X 与 Y 均服从 01 两点分布，则 X 与 Y 独
4、立和 X 与 Y 不相关等价9.假设随机变量 x 在区间一 1，1上均匀分布，则 U=arcsinX 和 V=arccosX 的相关系数等于( )（分数：2.00）A.一 1B.0C.05D.110.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n (n1)独立同分布，且其方差 2 0，令 则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.11.假设总体 X 服从正态分布 N(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体的简单随机样本(n1)，其均值为 ，如果 P|X|a=P| 一 |b，则比值 （分数：2.00）A.与 及 n 都有关B.与 及 n 都无关C.与 无关，与 n 有关D.与 有关，与 n
5、 无关12.已知总体 X 的期望 E(X)=0，方差 D(x)= 2 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，其均值为 X，则可以作出 2 的无偏估计量( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：10，分数：20.00)13.甲、乙两人轮流投篮，游戏规则规定为甲先开始，且甲每轮只投一次，而乙每轮连续投两次，先投中者为胜，设甲、乙每次投篮的命中率分别是 p 与 05，则 p= 1 时，甲、乙胜负概率相同（分数：2.00）填空项 1:_14.假设 X 服从参数 的指数分布，对 X 作三次独立重复观察，至少有一次观测值大于 2 的概率为（分数：2.00）填空项
6、1:_15.设随机变量 x 服从指数分布，E(X)=5，令 Y=minX，2，则随机变量 Y 的分布函数 F(y)= 1（分数：2.00）填空项 1:_16.设随机变量 X 的分布函数为 已知 P一 1X1= （分数：2.00）填空项 1:_17.设二维随机变量(X，Y)在 xOy 平面上由直线 y=x 与曲线 y=x 2 所围成的区域上服从均匀分布，则 （分数：2.00）填空项 1:_18.已知随机变量 X 与 y 的联合概率分布为 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_填空项 1:_填空项 1:_19.设 ， 是两个相互独立且均服从正态分布 （分数：2.00）填空项 1:_20.设
7、随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为 （分数：2.00）填空项 1:_21.设 X 1 ，X 2 ，X 6 是来自正态分布 N(0， 2 )的简单随机样本统计量 F= （分数：2.00）填空项 1:_22.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，X 的概率密度函数为 f(x)=一x+，则 的最大似然估计量 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_24.甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的如果甲船的停泊时间是一小时
8、，乙船的停泊时间是两小时，求它们中的任何一艘都不需要等候码头空出的概率（分数：2.00）_25.两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为 5 的指数分布首先开动其中一台，当其发生故障时停用，而另一台自行开动，试求两台记录仪无故障工作的总时间 T 的概率密度（分数：2.00）_26.袋中有 1 个红球，2 个黑球和 3 个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以 X，y，Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数()求 Px=1|Z=0；()求二维随机变量(X，Y)的概率分布（分数：2.00）_27.设以 X 表示某一推销员一天花费在汽油上的款项(以美元计)，以 Y 表示
9、推销员一天所得的补贴(以美元计)，已知 X 和 Y 的联合概率密度为 （分数：2.00）_28.已知二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_29.设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为 05kg，均方差为01kg，问 5000 只零件的总重量超过 2510kg 的概率是多少?（分数：2.00）_30.设总体 X 服从拉普拉斯分布： （分数：2.00）_31.设总体 X 的概率密度为 （分数：2.00）_32.设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机地抽取 36 位考生的成绩，算得平均成绩为 665 分，标准差为 15 分，问在显著性水平 00
10、5 下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 70 分?并给出检验过程 附：t 分布表 Pt(n)t p (n)=p （分数：2.00）_考研数学一（概率与数理统计）-试卷 6 答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.以 A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件 （分数：2.00）A.“甲种产品滞销，乙种产品畅销”B.“甲、乙两种产品均畅销”C.“甲种产品滞销”D.“甲种产品滞销或乙种产品畅销” 解析：解析：设 A 1 =甲种产品
11、畅销，A 2 =乙种产品滞销，则 A=A 1 A 2 ，由德摩根定律得 =甲种产品滞销乙种产品畅销，即 3.设 A，B，C 是任意三个事件，事件 D 表示 A，B，C 中至少有两个事件发生，则下列事件中与 D 不相等的是( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：事件 D 表示 A、B、C 中至少有两个事件发生，即 A、B、C 三个事件恰好只有两个发生或者三个事件同时发生而选项 A 仅表示三个事件只有两个发生与事件 D 不相等，应选 A4.设当事件 A 与 B 同时发生时，事件 C 必发生，则( )（分数：2.00）A.P(C)P(A)+P(B)一 1B.P(C)P(A)+P(B)
12、一 1 C.P(C)=P(AB)D.P(C)=P(AB)解析：解析：由题设条件可知 C5.将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A 1 =掷第一次出现正面，A 2 =掷第二次出现正面，A 3 =正反面各出现一次，A 4 =正面出现两次，则事件( )（分数：2.00）A.A 1 ，A 2 ，A 3 相互独立B.A 2 ，A 3 ，A 4 相互独立C.A 1 ，A 2 ，A 3 两两独立 D.A 2 ，A 3 ，A 4 两两独立解析：解析：6.假设 X 是只可能取两个值的离散型随机变量，Y 是连续型随机变量，则随机变量 X+Y 的分布函数( )（分数：2.00）A.是连续函数 B.是阶梯函数C.恰有一
13、个间断点D.至少有两个间断点解析：解析：对任意实数 t，根据全概率公式及概率性质得 0PX+Y=t=PX+Y=t，x=0+PX+Y=t，X=b =PY=t 一 a，X=a+Py=t 一 b，X=b PY=t 一 a+PY=t 一 b=0， (因为 P(AB)P(A)，又 Y 是连续型随机变量，所以对任意实数 c，有 PY=c=0)故对任意实数 t，PX+Y=t=07.已知随机变量 X 在(1，2)上服从均匀分布，在 X=x 条件下 Y 服从参数为 x 的指数分布，则 E(XY)=( )（分数：2.00）A.0B.C.D.1 解析：解析：8.设(X，Y)为二维随机变量，则下列结论正确的是( )（
14、分数：2.00）A.若 X 与 Y 不相关，则 X 2 与 Y 2 不相关B.若 X 2 与 Y 2 不相关，则 X 与 Y 不相关C.若 X 与 Y 均服从正态分布，则 X 与 Y 独立和 X 与 Y 不相关等价D.若 X 与 Y 均服从 01 两点分布，则 X 与 Y 独立和 X 与 Y 不相关等价 解析：解析：对于选项 D：设 xB(1，p)，YB(1，g)，当 X 与 Y 独立时 X 与 Y 不相关反之，当 X 与 Y不相关，即 E(XY)=E(X)E(Y)=pq 时，可得下列分布律9.假设随机变量 x 在区间一 1，1上均匀分布，则 U=arcsinX 和 V=arccosX 的相关
15、系数等于( )（分数：2.00）A.一 1 B.0C.05D.1解析：解析：因为 U=arcsinx 和 V=arccosX 满足下列关系： 即10.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n (n1)独立同分布，且其方差 2 0，令 则( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：11.假设总体 X 服从正态分布 N(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体的简单随机样本(n1)，其均值为 ，如果 P|X|a=P| 一 |b，则比值 （分数：2.00）A.与 及 n 都有关B.与 及 n 都无关C.与 无关，与 n 有关 D.与 有关，与 n 无关解析：解析：12.已知总体
16、X 的期望 E(X)=0，方差 D(x)= 2 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，其均值为 X，则可以作出 2 的无偏估计量( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：因为 E(X)=0，D(X)=E(X 2 )= 2 ， 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)13.甲、乙两人轮流投篮，游戏规则规定为甲先开始，且甲每轮只投一次，而乙每轮连续投两次，先投中者为胜，设甲、乙每次投篮的命中率分别是 p 与 05，则 p= 1 时，甲、乙胜负概率相同（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据题意，如果要使得甲乙的取胜概率相同
17、，则必定有 p=(1 一 p)05+(1 一 p)0505， 解得 所以只有当14.假设 X 服从参数 的指数分布，对 X 作三次独立重复观察，至少有一次观测值大于 2 的概率为（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据独立试验序列概型，可求得结果事实上，已知 记 A=X2|，Y 为对 X 作三次独立重复观察事件 A 发生的次数，则 YB(3，p)，其中 p=P(X2)= 2 + e 一 2 dx=e 一 2 ，依题意 15.设随机变量 x 服从指数分布，E(X)=5，令 Y=minX，2，则随机变量 Y 的分布函数 F(y)= 1（分数：2.00）填空项 1
18、:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：当 X2 时，Y=X2；当 X2 时，Y=2因此随机变量 Y 的取值为 01，2，则 e0Y2=1，由于 X 服从参数 的指数分布，因此当 x0 时，PXx= 当 0Y2 时，PYy=Pmin(X，2)y=PXy= 于是，Y 的分布函数为16.设随机变量 X 的分布函数为 已知 P一 1X1= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由于 F(x)在任何一点都是右连续的，于是有 F(一 1+0)=F(一 1)，即17.设二维随机变量(X，Y)在 xOy 平面上由直线 y=x 与曲线 y=x 2 所围成的区域上服从均匀分
19、布，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由直线 y=x 与曲线 Y=x 2 所围成的区域面积为 所以(X，Y)的概率密度函数为 18.已知随机变量 X 与 y 的联合概率分布为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：03）填空项 1:_ （正确答案：01）填空项 1:_ （正确答案：04）填空项 1:_ （正确答案：03）解析：解析：根据题意得知，01+02+0+B+01+02=1，(1) 及 PX+Y=1=PX=0，Y=1+PX=1，Y=0=+01=04，(2) 联立(1)和(2)，解得 =03，=01，于是 19.设 ， 是两个相互
20、独立且均服从正态分布 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 ， 相互独立且均服从正态分布 因此 Z= 一 也服从正态分布，且20.设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 002）解析：解析：由 X 和 Y 的联合概率分布得 21.设 X 1 ，X 2 ，X 6 是来自正态分布 N(0， 2 )的简单随机样本统计量 F= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2 和 4）解析：解析：22.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，X 的概率密度函数为 f(
21、x)=一x+，则 的最大似然估计量 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：10，分数：20.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：24.甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的如果甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中的任何一艘都不需要等候码头空出的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设甲乙两艘船到达的时间分别为 x，y，并把(x，y)视为直角坐标系里的一个点的坐标，则 x，y 满足条件 Ox24，Oy24 所以总的基本事
22、件数为坐标系中边长为 24 的正方形的面积，如图 1 一 5 所示 用事件 A 表示“两艘船中任何一艘都不需要等候码头空出”，则 x，y 满足不等式 y 一 x1x 一 y2 则上述不等式组表示的区域为图中阴影部分的面积，即事件 A 的基本事件数 容易求得正方形面积为 S=24 2 ，阴影部分面积为 根据几何概型，可得 )解析：25.两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为 5 的指数分布首先开动其中一台，当其发生故障时停用，而另一台自行开动，试求两台记录仪无故障工作的总时间 T 的概率密度（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设先后开动的两台自动记录仪无故障工作的时间分别为
23、X 1 与 X 2 ，则 T=X 1 +X 2 ，X 1 ，X 2 的 密度函数均为 直接根据两个独立的连续型随机变量之和的卷积公式，可得 f T (t)= 一 + f(x)f(t 一 x)dx= 0 t =5e 一 5x 5e 一 5(t 一 x)dx=25te 一 5t (t0) 从而其概率密度为 f T (t)=F“ T (t)= )解析：26.袋中有 1 个红球，2 个黑球和 3 个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以 X，y，Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数()求 Px=1|Z=0；()求二维随机变量(X，Y)的概率分布（分数：2.00）_正确答案：(正确答
24、案：()在没有取白球的情况下取了一次红球，根据压缩样本空间原则，相当于只有1 个红球，2 个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球 )解析：27.设以 X 表示某一推销员一天花费在汽油上的款项(以美元计)，以 Y 表示推销员一天所得的补贴(以美元计)，已知 X 和 Y 的联合概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()如图 36 所示 ()(1)当 10x20 时 f X (x)0，条件概率密度 f Y|X (y|x)存在； (2)当 10x20 时，有 )解析：28.已知二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：画出 f(x，y)非零定义域，应用定
25、义、公式进行计算 (2)当 z0 时，如图44 所示，有 )解析：29.设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为 05kg，均方差为01kg，问 5000 只零件的总重量超过 2510kg 的概率是多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据独立同分布中心极限定理，设置表示第 i 只零件的重量(i=1，2，5000)，且 E(X 2 )=05，D(X 2 )=01 2 设总重量为 则有 E(Y)=500005=2500，D(Y)=500001 2 =50 根据独立同分布中心极限定理可知 Y 近似服从正态分布 N(2500，50)，而 近似服从标准正态分布
26、 N(0，1)，所求概率为 )解析：30.设总体 X 服从拉普拉斯分布： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：样本的一阶原点矩为 两边同时取对数，并对参数 求导，令结果为 0，解上述含参数 的方程，得到 的最大似然估计值为 )解析：31.设总体 X 的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：32.设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机地抽取 36 位考生的成绩，算得平均成绩为 665 分，标准差为 15 分，问在显著性水平 005 下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 70 分?并给出检验过程 附：t 分布表 Pt(n)t p (n)=p （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：假设该次考试的考生成绩为 X，XN(， 2 )，把从 X 中抽取的容量为 n 的样本均值记为 ，样本标准差为 S，则本题是在显著性水平 =005 的条件下检验假设 H 0 ：=70，H 1 ：70， 其拒绝域为 因为 n=36，X=665，S=15，t 0975 (361)=20301，计算可得 )解析：
