1、考研数学一（概率与数理统计）-试卷 7及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A，B 为随机事件，P(B)0，则( )（分数：2.00）A.P(AUB)P(A)+P(B)B.P(AB)P(A)一 P(B)C.P(AB)P(A)P(B)D.3.设 A 1 ，A 2 和 B是任意事件，且 0P(B)1，P(A 1 A 2 )|B)=P(A 1 |B)+P(A 2 |B)，则( )（分数：2.00）A.P(A 1 A 2 )=P(A 1 )+P(A 2 )
2、B.P(A 1 A 2 )=P(A 1 |B)+P(A 2 |B)C.P(A 1 BA 2 B)=P(A 1 B)+P(A 2 B)D.4.设 0P(A)1，0P(B)1，P(A|B)+ （分数：2.00）A.互不相容B.相容C.不独立D.独立5.设随机变量 X服从正态分布 N(， 2 )，则随 的增大，概率 P|X一 |应该( )（分数：2.00）A.单调增大B.单调减少C.保持不变D.增减不定6.设随机变量(X，Y)的分布函数为 F(x，y)，边缘分布为 F X (x)和 F Y (y)，则概率 PXx，Yy等于( )（分数：2.00）A.1一 F(x，y)B.1一 F X (x)一 F
3、Y (y)C.F(x，y)一 F X (x)一 F Y (y)+1D.F X (x)+F Y (y)+F(x，y)一 17.设相互独立两随机变量 X和 Y均服从 （分数：2.00）A.X+Y+2B.C.XY+2D.8.设随机事件 A与 B互不相容，0P(A)1，0P(B)1，记 （分数：2.00）A.=0B.=1C.0D.09.设 X 1 ，X 2 ，X n ，相互独立且都服从参数为人(0)的泊松分布，则当 n时，以 (x)为极限的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.10.假设两个正态分布总体 XN( 1 ，1)，YN( 2 ，1)，X 1 ，X 2 ，X m 与 Y 1 ，Y 2 ，
4、Y n 分别是取自总体的相互独立的简单随机样本，X 与 Y分别是其样本均值，S 1 2 与 S 2 2 分别是其样本方差，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.11.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的一个简单随机样本，D(X)= 2 ，X 是样本均值，则 2 的无偏估计量是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：12，分数：24.00)12.已知事件 A、B 仅发生一个的概率为 03，且 P(A)+P(B)=05，则 A，B 至少有一个不发生的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设两个相互独立的事件 A和 B都不发生的概率为 （分数：2.0
5、0）填空项 1:_14.设随机变量 X的概率分布 ，k=1，2，其中 a为常数，X 的分布函数为 F(x)，已知 F(b)=（分数：2.00）填空项 1:_15.设随机变量 X一 N(， 2 )，且二次方程 y 2 +4y+X=0无实根的概率为 05，则 = 1（分数：2.00）填空项 1:_16.设随机变量 X 1 和 X 2 相互独立，它们的分布函数分别为 F 1 (x)和 F 2 (x)，已知 （分数：2.00）填空项 1:_17.设 X和 Y为两个随机变量，且 PX0，Y0= ，PX0=P(Y0)= （分数：2.00）填空项 1:_18.设相互独立的两个随机变量 X和 Y均服从标准正态
6、分布，则随机变量 XY的概率密度函数的最大值等于 1（分数：2.00）填空项 1:_19.设连续型随机变量 X的分布函数为 （分数：2.00）填空项 1:_20.设随机变量 X 1 的分布函数为 F 1 (x)，概率密度函数为 f 1 (x)，且 EX 1 =1，随机变量 X的分布函数为 F(x)=04F 1 (x)+06F 1 (2x+1)，则 E(X)= 1（分数：2.00）填空项 1:_21.设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自正态总体 N(， 2 )的简单随机样本，其中参数 2 未知记 （分数：2.00）填空项 1:_22.设总体 X的数学期望和方差都存在，X 1 ，X 2 ，X n
7、 是来自总体 X的简单随机样本，X 是样本均值，则对于任意 i，j(ij)， （分数：2.00）填空项 1:_23.已知一批零件的长度 X(单位：cm)服从正态分布 N(，1)，从中随机地抽取 16个零件，得到长度的平均值为 40(cm)，则 的置信度为 095 的置信区间是 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)24.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_25.袋中有 a个白球与 b个黑球每次从袋中任取一个球，取出的球不再放回去，求第二次取出的球与第一次取出的球颜色相同的概率（分数：2.00）_26.设随机变量 X的概率密度为
8、 （分数：2.00）_27.设二维离散型随机变量只取(一 1，一 1)，(一 1，0)，(1，一 1)，(1，1)四个值，其相应的概率分别为 （分数：2.00）_28.设随机变量 X和 Y的联合密度为 （分数：2.00）_29.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3件合格品和 3件次品，乙箱中仅装有 3件合格品从甲箱中任取 3件产品放入乙箱后，求：()乙箱中次品件数的数学期望；()从乙箱中任取一件产品是次品的概率（分数：2.00）_30.进行 30次独立测试，测得零件加工时间的样本均值 （分数：2.00）_31.已知总体 X的概率密度 X 1 ，X n 为来自总体 X的简单随机样本，
9、Y=X 2 ()求 Y的期望 E(Y)(记 E(Y)为 b)； ()求 的矩估计量 和最大似然估计量 （分数：2.00）_32.某工厂生产的铜丝的折断力(N)服从正态分布 N(2820，40 2 )某日抽取 10根铜丝进行折断力试验，测得结果如下： 2830 2800 2795 2785 2820 2850 2830 2890 2860 2875 是否可以认为该日生产的铜丝折断力的方差也是 40 2 (N 2 )?(取显著性水平 =005)（分数：2.00）_考研数学一（概率与数理统计）-试卷 7答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.
10、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A，B 为随机事件，P(B)0，则( )（分数：2.00）A.P(AUB)P(A)+P(B)B.P(AB)P(A)一 P(B) C.P(AB)P(A)P(B)D.解析：解析：根据概率运算性质可知，P(AUB)=P(A)+P(B)一 P(AB)P(A)+P(B)，故选项 A不成立P(AB)=P(A)一 P(AB)P(A)一 P(B)，故正确选项为 B而 ，所以选项 D不成立至于选项 C，它可能成立也可能不成立，如果3.设 A 1 ，A 2 和 B是任意事件，且 0P(B)1，P(A 1 A 2 )|B)=
11、P(A 1 |B)+P(A 2 |B)，则( )（分数：2.00）A.P(A 1 A 2 )=P(A 1 )+P(A 2 )B.P(A 1 A 2 )=P(A 1 |B)+P(A 2 |B)C.P(A 1 BA 2 B)=P(A 1 B)+P(A 2 B) D.解析：解析：由题设知，P(A 1 A 2 |B)=0，但是这不能保证 P(A 1 A 2 )=0和 P(A 1 A 2 |B)=0，故 A和D不成立由于 P(A 1 |B)+P(A 2 |B)=P(A 1 A 2 )|B)未必等于 P(A 1 +A 2 )，因此 B一般也不成立 由 P(B)0 及 P(A 1 A 2 )|B)=P(A
12、1 |B)+P(A 2 |B)，可见选项 C成立： 4.设 0P(A)1，0P(B)1，P(A|B)+ （分数：2.00）A.互不相容B.相容C.不独立D.独立 解析：解析：5.设随机变量 X服从正态分布 N(， 2 )，则随 的增大，概率 P|X一 |应该( )（分数：2.00）A.单调增大B.单调减少C.保持不变 D.增减不定解析：解析：若 xN(， 2 )，则 6.设随机变量(X，Y)的分布函数为 F(x，y)，边缘分布为 F X (x)和 F Y (y)，则概率 PXx，Yy等于( )（分数：2.00）A.1一 F(x，y)B.1一 F X (x)一 F Y (y)C.F(x，y)一
13、F X (x)一 F Y (y)+1 D.F X (x)+F Y (y)+F(x，y)一 1解析：解析：记事件 A=Xx，B=yy，则 PXx，Yy= 7.设相互独立两随机变量 X和 Y均服从 （分数：2.00）A.X+Y+2B. C.XY+2D.解析：解析：8.设随机事件 A与 B互不相容，0P(A)1，0P(B)1，记 （分数：2.00）A.=0B.=1C.0 D.0解析：解析：选项 B不能选，否则选项 D必成立因此仅能在选项 A、C、D 中考虑，即考虑 P的符号，而相关系数符号取决于 Cov(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)，根据题设知 E(X)=P(A)，E(Y)=P(B)，X
14、Y9.设 X 1 ，X 2 ，X n ，相互独立且都服从参数为人(0)的泊松分布，则当 n时，以 (x)为极限的是( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：由于 X 1 ，X 2 ，X n ，相互独立同分布，其期望和方差都存在，且 E(X i )=，D(X i )=，根据方差与期望的运算法则，有 10.假设两个正态分布总体 XN( 1 ，1)，YN( 2 ，1)，X 1 ，X 2 ，X m 与 Y 1 ，Y 2 ，Y n 分别是取自总体的相互独立的简单随机样本，X 与 Y分别是其样本均值，S 1 2 与 S 2 2 分别是其样本方差，则( ) （分数：2.00）A.B.C. D.
15、解析：解析：11.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的一个简单随机样本，D(X)= 2 ，X 是样本均值，则 2 的无偏估计量是( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：二、填空题(总题数：12，分数：24.00)12.已知事件 A、B 仅发生一个的概率为 03，且 P(A)+P(B)=05，则 A，B 至少有一个不发生的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：09）解析：解析：13.设两个相互独立的事件 A和 B都不发生的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题设，有14.设随机变量 X的概率分布
16、 ，k=1，2，其中 a为常数，X 的分布函数为 F(x)，已知 F(b)=（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3b4）解析：解析：首先确定 a，由15.设随机变量 X一 N(， 2 )，且二次方程 y 2 +4y+X=0无实根的概率为 05，则 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：设事件 A表示“二次方程 y 2 +4y+X=0无实根”，则 A=164X0=X4，依题意，有 16.设随机变量 X 1 和 X 2 相互独立，它们的分布函数分别为 F 1 (x)和 F 2 (x)，已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正
17、确答案：*）解析：解析：X 1 的分布函数为 F 1 (x)，则根据全概率公式，可得 F(x)=PX 1 +X 2 x =PX 1 =0PX 1 +X 2 xX 1 =0+PX 1 一 1PX 1 +X 2 x|X 1 =1 17.设 X和 Y为两个随机变量，且 PX0，Y0= ，PX0=P(Y0)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设 A=X0，B=Y0，因此18.设相互独立的两个随机变量 X和 Y均服从标准正态分布，则随机变量 XY的概率密度函数的最大值等于 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据题意可知，XY
18、N(0，2)，其概率密度函数19.设连续型随机变量 X的分布函数为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：根据题意，已知连续型随机变量 X的分布函数为20.设随机变量 X 1 的分布函数为 F 1 (x)，概率密度函数为 f 1 (x)，且 EX 1 =1，随机变量 X的分布函数为 F(x)=04F 1 (x)+06F 1 (2x+1)，则 E(X)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：04）解析：解析：根据题意，已知随机变量 X 1 的分布函数为 F 1 (x)，概率密度函数为 f 1 (x)，可以验证 F 1 (2x+1)为分布函数
19、，记其对应的随机变量为 X 2 ，其中 X 2 为随机变量 X 1 的函数，且 记随机变量 X 2 的分布函数为 F 2 (x)，概率密度函数为 f 2 (x)，所以 X的分布函数为 F(x)=04F 1 (x)+06F 2 (x)， 两边同时对 x求导得 f(x)=04f 1 (x)+06f 2 (x)，于是 一 + xf(x)dx=04 一 + xf(x)dx+06 一 + xf 2 (x)dx， 21.设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自正态总体 N(， 2 )的简单随机样本，其中参数 2 未知记 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：在 已知时，选用
20、 2 检验统计量为 在 未知时，选用 2 检验统计量为 22.设总体 X的数学期望和方差都存在，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X的简单随机样本，X 是样本均值，则对于任意 i，j(ij)， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设 =E(X)， 2 =D(X)，对任意 i,j(ij)因 X i 和 X j 独立同分布，所以 23.已知一批零件的长度 X(单位：cm)服从正态分布 N(，1)，从中随机地抽取 16个零件，得到长度的平均值为 40(cm)，则 的置信度为 095 的置信区间是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(3
21、951，4049)(注：标准正态分布函数值(196)=0975，(1645)=095)）解析：解析：根据题设，1 一 =095，可见 =005于是查标准正态分布表知 =196 本题n=16，三、解答题(总题数：9，分数：18.00)24.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：25.袋中有 a个白球与 b个黑球每次从袋中任取一个球，取出的球不再放回去，求第二次取出的球与第一次取出的球颜色相同的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设事件 A 1 表示第一次取出的是白球，事件 A 2 表示第二次取出的也是白球，事件 B 1 表示第一次取出的是黑球，事件 B
22、 2 表示第二次取出的也是黑球如果两次取出的球颜色相同，则用 A 1 A 2 +B 1 B 2 表示不放回抽取属于条件概率， )解析：26.设随机变量 X的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据分布函数的定义，有 )解析：27.设二维离散型随机变量只取(一 1，一 1)，(一 1，0)，(1，一 1)，(1，1)四个值，其相应的概率分别为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()根据题意，(X，Y)的联合概率分布如下表所示 ()关于 X与关于 Y的边缘概率分布分别为表中最右一列与最下一行 )解析：28.设随机变量 X和 Y的联合密度为 （分数：2.00）_正确答案：(
23、正确答案： )解析：29.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3件合格品和 3件次品，乙箱中仅装有 3件合格品从甲箱中任取 3件产品放入乙箱后，求：()乙箱中次品件数的数学期望；()从乙箱中任取一件产品是次品的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()设 X为 Z箱中次品的件数 X的可能取值为 0，1，2，3，所以 X的概率分布为()设 A表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品”，由于X=0，X=1，X=2，X=3构成完备事件组，因此根据全概率公式，有 )解析：30.进行 30次独立测试，测得零件加工时间的样本均值 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：已知 n=30， =
24、55s，s=17s， 未知，置信水平为 095，则=005，查询 t一分布表得 (n一 1)=t 0025 (29)=204，总体均值的置信区间为 )解析：31.已知总体 X的概率密度 X 1 ，X n 为来自总体 X的简单随机样本，Y=X 2 ()求 Y的期望 E(Y)(记 E(Y)为 b)； ()求 的矩估计量 和最大似然估计量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()直接根据公式 Eg(X)= 一 + g(x)f(x)dx计算 )解析：32.某工厂生产的铜丝的折断力(N)服从正态分布 N(2820，40 2 )某日抽取 10根铜丝进行折断力试验，测得结果如下： 2830 2800 2795 2785 2820 2850 2830 2890 2860 2875 是否可以认为该日生产的铜丝折断力的方差也是 40 2 (N 2 )?(取显著性水平 =005)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意，原假设和备择假设分别为 H 0 ： 2 =40 2 ，H 1 ： 2 40 2 根据已知数据计算得样本方差为 S 2 1228(N 2 )， 选择 2 统计量 已知 0 =40，n=10，并将样本方差代入得 显著性水平 =005，因此临界值为 )解析：
