1、考研数学一（概率统计）-试卷 8 及答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自正态总体 XN(， 2 )的简单随机样本，记 则服从 t(n 一 1)分布的随机变量是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 Xt(n)，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.X 2 F(1，n)B.F(1，n)C.X 2 2 (n)D.X 2 2 (n 一 1)4.从正态总体 XN(0， 2 )中抽取简单随机样本 X 1 ，X
2、 2 ，X n ，则可作为参数 2 的无偏估计量的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.在假设检验中，显著性水平 的含义是( )（分数：2.00）A.原假设 H 0 成立，经过检验 H 0 被拒绝的概率B.原假设 H 0 成立，经过检验 H 0 被接受的概率C.原假设 H 0 不成立，经过检验 H 0 被拒绝的概率D.原假设 H 0 不成立，经过检验 H 0 被接受的概率二、填空题(总题数：6，分数：12.00)6.设总体 X，Y 相互独立且服从 N(0，9)分布，(X 1 ，X 9 )与(Y 1 ，Y 9 )分别为来自总体 X，Y的简单随机样本，则 U= （分数：2.00）填空项
3、1:_7.设总体 XN(0，8)，YN(0，2 2 )，且 X 1 及(Y 1 ，Y 2 )分别为来自上述两个总体的样本，则 （分数：2.00）填空项 1:_8.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的样本，S 2 = （分数：2.00）填空项 1:_9.设 XN(1， 2 )，YN(2， 2 )为两个相互独立的总体，X 1 ，X 2 ，X n 与 Y 1 ，Y 2 ，Y n 分别为来自两个总体的简单样本，S 1 2 = （分数：2.00）填空项 1:_10.设 XN(， 2 )，其中 2 已知， 为未知参数从总体 X 中抽取容量为 16 的简单随机样本，且 的
4、置信度为 095 的置信区间中的最小长度为 0588，则 2 = 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体的简单样本，其中参数 ， 未知，令 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：23，分数：46.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_13.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，已知 E(X k )=a k (k=1，2，3，4)证明：当 n 充分大时，随机变量 Z= （分数：2.00）_14.电话公司有 300 台分机，每台分机有 6的时间处于与外线
5、通话状态，设每台分机是否处于通话状态相互独立，用中心极限定理估计至少安装多少条外线才能保证每台分机使用外线不必等候的概率不低于095?（分数：2.00）_15.设 X 1 ，X 9 为来自正态总体 XN(， 2 )的简单随机样本，令 （分数：2.00）_16.设总体 XN(0，1)，(X 1 ，X 2 ，X m ，X m+1 ，X m+n )为来自总体 X 的简单随机样本求统计量 （分数：2.00）_17.设总体 XN(0， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X 的简单随机样本， （分数：2.00）_18.设 X 1 ，X 2 ，X n (n2)是来自总体 XN(0，1)的简单随
6、机样本，记 （分数：2.00）_19.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的样本，令 T= （分数：2.00）_20.设总体 X 服从正态分布 N(， 2 )(0)，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X 的简单随机样本令 Y= （分数：2.00）_21.设总体 X 服从正态分布 N(， 2 )(0)从该总体中抽取简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X n (n2)令 （分数：2.00）_22.设总体 XN(， 1 2 )，YN(， 2 2 )，且 X，Y 相互独立，来自总体 XY 的样本均值为 （分数：2.00）_23.没总体 XN(， 2 )，X 1 ，
7、X 2 ，X n+1 为总体 X 的简单随机样本，记 （分数：2.00）_24.设总体 X 的概率分布为 (0 （分数：2.00）_25.设总体 XF(x，)= （分数：2.00）_26.设总体 XU0，其中 0，求 的极大似然估计量，判断其是否是 的无偏估计量（分数：2.00）_27.设总体 X 的密度函数为 f(x)= （分数：2.00）_28.设总体 XU( 1 ， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的样本，求 1 ， 2 的矩估计和最大似然估计（分数：2.00）_29.设总体 X 在区间(0，)内服从均匀分布，X 1 ，X 2 ，X 3 是来自总体的简单随机样本证明：
8、 （分数：2.00）_30.设总体 X，Y 相互独立且都服从 N(， 2 )分布，(X 1 ，X 2 ，X m )与(Y 1 ，Y 2 ，Y n )分别为来自总体 X，Y 的简单随机样本证明：S 2 = （分数：2.00）_31.设 100 件产品中有 10 件不合格，现从中任取 5 件进行检验，如果其中没有不合格产品，则这批产品被接受，否则被拒绝求： (1)在任取 5 件产品中不合格产品件数 X 的数学期望和方差； (2)这批产品被拒绝的概率（分数：2.00）_32.某种元件使用寿命 XN(，10 2 )按照客户要求该元件使用寿命不能低于 1 000h，现从该批产品中随机抽取 25 件，其平
9、均使用寿命为 （分数：2.00）_33.某种食品防腐剂含量 X 服从 N(， 2 )分布，从总体中任取 20 件产品，测得其防腐剂平均含量为 （分数：2.00）_34.某生产线生产白糖，设白糖重量 XN(，15 2 )，现从生产线上任取 10 袋，s=3023，在显著性水平 =005 下，问机器生产是否正常?（分数：2.00）_考研数学一（概率统计）-试卷 8 答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自正态总体 XN
10、(， 2 )的简单随机样本，记 则服从 t(n 一 1)分布的随机变量是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：3.设 Xt(n)，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.X 2 F(1，n) B.F(1，n)C.X 2 2 (n)D.X 2 2 (n 一 1)解析：解析：由 Xt(n)，得 X= ，其中 UN(0，1)，V 2 (n)，且 U，V 相互独立，于是 X 2 = 4.从正态总体 XN(0， 2 )中抽取简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X n ，则可作为参数 2 的无偏估计量的是( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：因为 5.在假设检验中，
11、显著性水平 的含义是( )（分数：2.00）A.原假设 H 0 成立，经过检验 H 0 被拒绝的概率 B.原假设 H 0 成立，经过检验 H 0 被接受的概率C.原假设 H 0 不成立，经过检验 H 0 被拒绝的概率D.原假设 H 0 不成立，经过检验 H 0 被接受的概率解析：解析：选(A)二、填空题(总题数：6，分数：12.00)6.设总体 X，Y 相互独立且服从 N(0，9)分布，(X 1 ，X 9 )与(Y 1 ，Y 9 )分别为来自总体 X，Y的简单随机样本，则 U= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：t(9)）解析：解析：由 X 1 ，X 2 ，X 9 N(0
12、，81)，得 (X 1 ，X 2 ，X 9 )N(0，1)因为 Y 1 ，Y 9 相互独立且服从 N(0，9)分布，所以(Y 1 3) 2 +(Y 2 3) 2 +(Y 9 3) 2 2 (9)，7.设总体 XN(0，8)，YN(0，2 2 )，且 X 1 及(Y 1 ，Y 2 )分别为来自上述两个总体的样本，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：F(1，2)）解析：解析：8.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的样本，S 2 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：9.设 XN(1， 2 )，YN(2
13、， 2 )为两个相互独立的总体，X 1 ，X 2 ，X n 与 Y 1 ，Y 2 ，Y n 分别为来自两个总体的简单样本，S 1 2 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：F(m1，n1)）解析：解析：10.设 XN(， 2 )，其中 2 已知， 为未知参数从总体 X 中抽取容量为 16 的简单随机样本，且 的置信度为 095 的置信区间中的最小长度为 0588，则 2 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：036）解析：解析：在 2 已知的情况下， 的置信区间为 11.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体的简单样本，其
14、中参数 ， 未知，令 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：23，分数：46.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：13.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，已知 E(X k )=a k (k=1，2，3，4)证明：当 n 充分大时，随机变量 Z= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 X 1 ，X 2 ，X n 独立同分布，所以 X 1 2 ，X 2 2 ，X n 2 也独立同分布且 E(X i 2 )= 2 ，D(X i 2 )= 4 一 2 2 ，当
15、n 充分大时，由中心极限定理得 近似服从标准正态分布，故 Z n 近似服从正态分布，两个参数为 = 2 ，= )解析：14.电话公司有 300 台分机，每台分机有 6的时间处于与外线通话状态，设每台分机是否处于通话状态相互独立，用中心极限定理估计至少安装多少条外线才能保证每台分机使用外线不必等候的概率不低于095?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 X= (i=1，2，300) 令 X 表示需要使用外线的分机数，则 X= X i ， E(X)=300006=18，D(X)=3000056 4=1692 设至少需要安装 n 条外线，由题意及中心极限定理得 )解析：15.设 X 1 ，X
16、 9 为来自正态总体 XN(， 2 )的简单随机样本，令 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.设总体 XN(0，1)，(X 1 ，X 2 ，X m ，X m+1 ，X m+n )为来自总体 X 的简单随机样本求统计量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.设总体 XN(0， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X 的简单随机样本， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.设 X 1 ，X 2 ，X n (n2)是来自总体 XN(0，1)的简单随机样本，记 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.设总体 X
17、N(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的样本，令 T= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 X 1 ，X 2 ，X n 独立同分布，所以有 E(X 1 T)=E(X 2 T)=E(X n T) )解析：20.设总体 X 服从正态分布 N(， 2 )(0)，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X 的简单随机样本令 Y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设总体 X 服从正态分布 N(， 2 )(0)从该总体中抽取简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X n (n2)令 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 Y i =X i +X
18、n+i (i=1，2，n)，则 Y 1 ，Y 2 ，Y n 为正态总体N(2，2 2 )的简单随机样本， (n 一 1)S 2 ，其中 S 2 为样本 Y 1 ，Y 2 ，Y n 的方差，而 E(S 2 )=2 2 ，所以统计量 U= )解析：22.设总体 XN(， 1 2 )，YN(， 2 2 )，且 X，Y 相互独立，来自总体 XY 的样本均值为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 相互独立，显然 a+b=1 )解析：23.没总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n+1 为总体 X 的简单随机样本，记 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设总体 X
19、 的概率分布为 (0 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E(X)=0 2 +12(1)+2 2 +3(12)=34， L()= 2 2(1 一 ) 2 (12) 4 =4 6 (1 一 ) 2 (12) 4 ， lnL()=ln4+6ln+2ln(1)+4ln(12)， 令 )解析：25.设总体 XF(x，)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (2)L(1，1，3，2，1，2，3，3，)=P(X=1)P(X=1)P(X=3)= 3 2 (12) 3 ， )解析：26.设总体 XU0，其中 0，求 的极大似然估计量，判断其是否是 的无偏估计量（分数：2.00）_正确答案：(正
20、确答案：总体 X 的密度函数和分布函数分别为 设 x 1 ，x 2 ，x n 为总体 X 的样本观察值，似然函数为 L()= (i=1，2，n) 当 0x i (i=1，2，n)时，L()= 0 且当 越小时 L()越大， 所以 的最大似然估计值为 =maxx 1 ，x 2 ，x n ， 的最大似然估计量为 )解析：27.设总体 X 的密度函数为 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.设总体 XU( 1 ， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的样本，求 1 ， 2 的矩估计和最大似然估计（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.
21、设总体 X 在区间(0，)内服从均匀分布，X 1 ，X 2 ，X 3 是来自总体的简单随机样本证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为总体 X 在区间(0，)内服从均匀分布，所以分布函数为 F U (u)=P(Uu)=Pmax(X 1 ，X 2 ，X 3 )u=P(X 1 u，X 2 u，X 3 u) =P(X 1 u)P(X 2 u)P(X 3 u)= F V (v)=P(Vb)=Pmin(X 1 ，X 2 ，X 3 )b=1 一 P(min(X 1 ，X 2 ，X 3 )v) =1 一P(X 1 v，X 2 v，X 3 v)=1 一 P(X 1 v)P(X 2 v)P(X 3
22、 b) =1 一1 一 P(X 1 v)aP(X 2 v)1 一 P(X 3 v) )解析：30.设总体 X，Y 相互独立且都服从 N(， 2 )分布，(X 1 ，X 2 ，X m )与(Y 1 ，Y 2 ，Y n )分别为来自总体 X，Y 的简单随机样本证明：S 2 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31.设 100 件产品中有 10 件不合格，现从中任取 5 件进行检验，如果其中没有不合格产品，则这批产品被接受，否则被拒绝求： (1)在任取 5 件产品中不合格产品件数 X 的数学期望和方差； (2)这批产品被拒绝的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)X
23、 的所有可能取值为 0，1，2，3，4，5，其分布律为 P(X=i)= )解析：32.某种元件使用寿命 XN(，10 2 )按照客户要求该元件使用寿命不能低于 1 000h，现从该批产品中随机抽取 25 件，其平均使用寿命为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 H 0 ：1 000，1 00因为总体方差已知，所以选取统计量 )解析：33.某种食品防腐剂含量 X 服从 N(， 2 )分布，从总体中任取 20 件产品，测得其防腐剂平均含量为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 H 0 ：10，H 1 ：10选统计量 t= t(n 一 1)，查表得临界点为 t (n 一 1)=t 005 (19)=17291，而 )解析：34.某生产线生产白糖，设白糖重量 XN(，15 2 )，现从生产线上任取 10 袋，s=3023，在显著性水平 =005 下，问机器生产是否正常?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 H 0 ： 2 152，H 1 ： 2 15 2 因为 2 已知，所以取统计量 )解析：
