1、考研数学一（概率论与数理统计）-试卷 15及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.下列事件中与 A互不相容的事件是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 A，B 为随机事件，0P(A)1，0P(B)1，则 A，B 相互独立的充要条件是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.A，B，C 三个随机事件必相互独立，如果它们满足条件( )（分数：2.00）A.A，B，C 两两独立。B.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)。C.P(A-B)=1。
2、D.P(A-8)=0。5.连续型随机变量 X的分布函数 F(x)= （分数：2.00）A.a=1，b=1。B.a=1，b=-1。C.a=-1，b=1。D.a=0，b=1。6.设随机变量 XN(，4 2 )，YN(，5 2 )；记 p 1 =PX-4，p 2 =PY+5，则( )（分数：2.00）A.p 1 =p 2 。B.p 1 p 2 。C.p 1 p 2 。D.因 未知，无法比较 p 1 与 p 2 的大小。7.设相互独立的两随机变量 X，Y 均服从0，3上的均匀分布，则 P1max(X，Y)2的值为( )（分数：2.00）A.B.C.D.8.设随机变量 X服从参数为 的泊松分布，且 E(
3、X-1)(X-2)=1，则 =( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.设随机变量 X与 Y相互独立，且方差 D(X)0，D(Y)0，则( )（分数：2.00）A.X与 X+Y一定相关。B.X与 X+Y一定不相关。C.X与 XY一定相关。D.X与 XY一定不相关。10.设随机变量 X 1 ，X n ，相互独立，记 Y n =X 2n -X 2n-1 (n1)，根据大数定律，当 n时 （分数：2.00）A.数学期望存在。B.有相同的数学期望与方差。C.服从同一离散型分布。D.服从同一连续型分布。11.设总体 X服从正态分布 N(0， 2 )，X 1 ，X 2 ，X 10 是取自总体 X的简单
4、随机样本，统计量 （分数：2.00）A.5。B.4。C.3。D.2。12.设 X 1 ，X 2 ，X 3 是取自 XP()的简单随机样本，则可以构造参数 2 的无偏估计量( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：8，分数：16.00)13.若在区间(0，1)上随机地取两个数 u，v，则关于 x的一元二次方程 x 2 -2vx+u=0有实根的概率为 1。（分数：2.00）填空项 1:_14.设工厂 A和工厂 B的产品的次品率分别为 1和 2，现从由 A和 8的产品分别占 60和 40的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属 A厂生产的概率是 1。（分数：2.00）填空
5、项 1:_15.设随机变量 X的分布函数为 已知 P-1X1= （分数：2.00）填空项 1:_16.已知随机变量 X服从参数为 的指数分布， 则 PX+Y=0= 1； （分数：2.00）填空项 1:_17.设平面区域 D由曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_18.设随机变量 X和 Y的联合概率分布为 （分数：2.00）填空项 1:_19.已知随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，且都服从正态分布 N(0， 2 )，如果随机变量 Y=X 1 X 2 X 3 的方差 D(Y)= （分数：2.00）填空项 1:_20.设总体 X的密度函数 又 ，S 2 分别为取自总体 X容量为
6、n的样本的均值和方差，则 = 1； （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_22.设连续型随机变量 X的分布函数 F(x)= 求：()常数 A；()X 的密度函数 f(x)；()（分数：2.00）_23.设随机变量 X的概率密度为 f(x)= 令随机变量 （分数：2.00）_24.设 ， 是两个相互独立且服从同一分布的随机变量，已知 的分布率为 P=i= ，i=1，2，3。又设 X=max(，)，Y=min(，)。()写出二维随机变量的分布律：（分数：2.00）_25.将三封信随机地投入编
7、号为 1，2，3，4 的四个邮筒。记 X为 1号邮筒内信的数目，Y 为有信的邮筒数目。求：()(X，Y)的联合概率分布；()Y 的边缘分布；()在 X=0的条件下，关于 Y的条件分布。（分数：2.00）_26.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_27.某箱装有 100件产品，其中一、二和三等品分别为 80、10 和 10件，现在从中随机抽取一件，记 （分数：2.00）_28.设总体 X的分布函数为 （分数：2.00）_29.设总体 X的概率分布为 其中 0(0，1)未知，以 N i (i=1，2，3)表示取自总体 X的简单随机样本(样本容量为 n)中等于 i的个数，试求常
8、数 a 1 ，a 2 ，a 3 使 （分数：2.00）_考研数学一（概率论与数理统计）-试卷 15答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.下列事件中与 A互不相容的事件是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由于 ，不可能事件 与任何一个事件 A都相互不相容，即3.设 A，B 为随机事件，0P(A)1，0P(B)1，则 A，B 相互独立的充要条件是( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：由于 0P(A)1，0P(B)
9、1，所以 A与 B相互独立4.A，B，C 三个随机事件必相互独立，如果它们满足条件( )（分数：2.00）A.A，B，C 两两独立。B.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)。C.P(A-B)=1。 D.P(A-8)=0。解析：解析：当 P(A-B)=1成立时， ，得 P(A)=1。同理，5.连续型随机变量 X的分布函数 F(x)= （分数：2.00）A.a=1，b=1。B.a=1，b=-1。 C.a=-1，b=1。D.a=0，b=1。解析：解析： (a+be -x )=a=1。F(x)为连续型随机变量 X的分布，故 F(x)必连续，那么 F(x)在 x=0连续。所以 6.设随机变量 XN(，
10、4 2 )，YN(，5 2 )；记 p 1 =PX-4，p 2 =PY+5，则( )（分数：2.00）A.p 1 =p 2 。 B.p 1 p 2 。C.p 1 p 2 。D.因 未知，无法比较 p 1 与 p 2 的大小。解析：解析：p 1 =PX-4= =(一 1)=1-(1)， p 2 =PY+5=1-PY+5= 7.设相互独立的两随机变量 X，Y 均服从0，3上的均匀分布，则 P1max(X，Y)2的值为( )（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：P1max(X，Y)2=Pmax(X，Y)2-Pmax(X，Y)1 =PX2，Y2-PX1，Y1 =PX2PY2-PX1PY18.
11、设随机变量 X服从参数为 的泊松分布，且 E(X-1)(X-2)=1，则 =( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：因 X服从参数为 的泊松分布，故 E(X)=，D(X)=。则 E(X-1)(X-2)=E(X 2 -3X+2)=E(X 2 )-3E(X)+2， 其中 E(X 2 )=D(X)+E(X) 2 =+ 2 ， 代入得 2 -2+1=0，故 =1。9.设随机变量 X与 Y相互独立，且方差 D(X)0，D(Y)0，则( )（分数：2.00）A.X与 X+Y一定相关。 B.X与 X+Y一定不相关。C.X与 XY一定相关。D.X与 XY一定不相关。解析：解析：直接根据计算协方
12、差来判断，已知 X与 Y独立，故 Cov(X，Y)=0， Cov(X，X+Y)=Cov(X，X)+Cov(X，Y)=D(X)0。 所以 X与 X+Y一定相关，应选 A。 又由于 Cov(X，XY)=E(X 2 Y)-E(X).E(XY) =E(X 2 ).E(Y)-(EX) 2 .E(Y) =E(X 2 )-E 2 (X)E(Y) 10.设随机变量 X 1 ，X n ，相互独立，记 Y n =X 2n -X 2n-1 (n1)，根据大数定律，当 n时 （分数：2.00）A.数学期望存在。B.有相同的数学期望与方差。 C.服从同一离散型分布。D.服从同一连续型分布。解析：解析：因为 X n 相互
13、独立，所以 Y n 相互独立。选项 A缺少“同分布”条件；选项 C、D 缺少“数学期望存在”的条件，因此它们都不满足辛钦大数定律，所以选择 B。事实上，若 E(X n )=，D(X n )= 2 存在，则 根据切比雪夫大数定理：对任意 0 有 11.设总体 X服从正态分布 N(0， 2 )，X 1 ，X 2 ，X 10 是取自总体 X的简单随机样本，统计量 （分数：2.00）A.5。B.4。C.3。D.2。 解析：解析：根据题意，统计量 YF(m，n)，所以 ，解得 i=2，选择 D。12.设 X 1 ，X 2 ，X 3 是取自 XP()的简单随机样本，则可以构造参数 2 的无偏估计量( )
14、（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：二、填空题(总题数：8，分数：16.00)13.若在区间(0，1)上随机地取两个数 u，v，则关于 x的一元二次方程 x 2 -2vx+u=0有实根的概率为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设事件 A=“方程 x 2 -2vx+u=0有实根”，因 u，v 是从(0，1)中任意取的两个数，因此点(u，v)与正方形区域 D内的点一一对应(如图 3-1-3所示)，其中 D：(u，v)0u1，0v1。事件A=(u，v)(2v) 2 -4u0，(u，v)D，阴影 D 1 满足事件 A，其中 D 1 =(u，v)v
15、 2 u，0u，v1。利用几何型概率公式，有 14.设工厂 A和工厂 B的产品的次品率分别为 1和 2，现从由 A和 8的产品分别占 60和 40的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属 A厂生产的概率是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设事件 A=抽到的产品为工厂 A生产的，事件 B=抽到的产品为工厂 B生产的，事件C=抽到的产品是次品，则 P(A)=06，P(B)=04，P(CA)=001，P(CB)=002， 根据贝叶斯公式可知15.设随机变量 X的分布函数为 已知 P-1X1= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：
16、 ）解析：解析：由于 F(x)在任何一点都是右连续的，于是有 F(-1+0)=F(-1)，即 又因 PX=1=P-1X1-P-1X1 =F(1)-F(-1)- 于是有 F(1-0)=F(1)-PX=1= 即 a+b= 联立与解得 a=16.已知随机变量 X服从参数为 的指数分布， 则 PX+Y=0= 1； （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：已知 Xf(x)= 所求的概率为 PX+Y=0=PY=-X =PX1=PX1+PX-1=根据全概率公式，可得17.设平面区域 D由曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：区域
17、D的面积为 因此(X，Y)的联合概率密度是 且其关于 x的边缘概率密度为 因此可知 f x (2)= 18.设随机变量 X和 Y的联合概率分布为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-002）解析：解析：由 X和 Y的联合概率分布得 19.已知随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，且都服从正态分布 N(0， 2 )，如果随机变量 Y=X 1 X 2 X 3 的方差 D(Y)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：已知随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，则 相互独立。又因 E(X i )=0， =D(X i )= 2
18、。故 D(Y)=D(X 1 X 2 X 3 )=E(X 1 X 2 X 3 ) 2 -E 2 (X 1 X 2 X 3 ) 20.设总体 X的密度函数 又 ，S 2 分别为取自总体 X容量为 n的样本的均值和方差，则 = 1； （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：因为 ，E(S 2 )=D(X)，则 三、解答题(总题数：9，分数：18.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：22.设连续型随机变量 X的分布函数 F(x)= 求：()常数 A；()X 的密度函数 f(x)；()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案
19、：()因 X是连续型随机变量，故其分布函数 F(x)在 x=1处连续，即 所以A=1。 ()当 x0 时，F(x)=0，所以 f(x)=F“(x)=0； 当 0x1 时，r(x)=x 2 ，所以 f(x)=F“(x)=2x； 当 x1 时，F(x)=1，所以 f(x)=F“(x)=0。 综上所述 () )解析：23.设随机变量 X的概率密度为 f(x)= 令随机变量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()根据题意可知随机变量 y的取值区间为1，2，Y 的分布函数为 F(y)=PYy。 当 y1 时，F(y)=0； 当 y2 时，F(y)=1； 当 1y2 时，F(y)=PYy=Py1+
20、P1Yy =PX2+P1Xy 所以 Y的分布函数为 ()根据概率的性质，可得 PXY=1-PXY=1-PX2= )解析：24.设 ， 是两个相互独立且服从同一分布的随机变量，已知 的分布率为 P=i= ，i=1，2，3。又设 X=max(，)，Y=min(，)。()写出二维随机变量的分布律：（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()根据 X=max(，)，Y=min(，)的定义可知，PXY=0，即 PX=1，Y=2=P(X=1，Y=3)=P(X=2，Y=3)=0， 同时有， PX=1，Y=1=P=1，=1=P=1.P=1=PX=2，Y=2=P=2，=2=P=2.P=2= PX=3，Y=3=
21、P=3，=3=P=3.P=3= PX=2，Y=1=P=1，=2+P=2，=1= PX=3，Y=2=P=2，=3+P=3，=2= PX=3，Y=1= 所以所求的分布律为 ()X 的边缘分布为 因此 X的数学期望为 )解析：25.将三封信随机地投入编号为 1，2，3，4 的四个邮筒。记 X为 1号邮筒内信的数目，Y 为有信的邮筒数目。求：()(X，Y)的联合概率分布；()Y 的边缘分布；()在 X=0的条件下，关于 Y的条件分布。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()根据题意，(X，Y)的全部可能取值为(0，1)，(0，2)，(0，3)，(1，2)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，再分
22、别计算相应的概率。 事件X=0，Y=1表示“三封信均投入后 3个邮筒中的某一个邮筒内”。根据古典概型公式，样本空间所含样本点数为 4 3 =64，有利于事件X=0，Y=1的样本点数为 =3，于是 类似地可以计算出各有关概率值，列表如下： ()从表中看出 Y只取 1，2，3 三个可能值，相应概率分别是对表中 p ij 的各列求和。于是 Y的边缘分布为表中最下行值。()PX=0= 在 X=0条件下，关于 Y的条件分布，可以应用上述公式计算出来，列表如下： )解析：26.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()已知 X，Y 的概率密度，所以 ()先求 Z的
23、分布函数： F Z (z)=P(X+YZ)= (1)当 z0 时，F Z (0)=0； (2)当 0z1 时，F Z (z)= (3)当 1z2 时，F Z (z)=1-P(X+YZ)= (4)当 z2 时，F Z (z)=1。 故 Z=X+Y的概率密度为 )解析：27.某箱装有 100件产品，其中一、二和三等品分别为 80、10 和 10件，现在从中随机抽取一件，记 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()(X 1 ，X 2 )是二维离散型随机变量，其可能的取值为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)。 当(X 1 ，X 2 )=(0，0)时，说明随机抽取的一件不是一等品，也不
24、是二等品，则必为三等品，故 PX 1 =0，X 2 =0=PX 3 =1=01。 类似地 PX 1 =0，X 2 =1=PX 2 =1=01， PX 1 =1，X 2 =0=PX 1 =1=08， PX 1 =1，X 2 =1= =0， 故 X 1 与 X 2 的联合分布： ()由()知，X 1 和 X 2 的边缘分布均为 0-1分布。由 0-1分布的期望和方差公式得 E(X 1 )=PX 1 =1=08，D(X 1 )=PX 1 =1PX 1 =0=0802=016， E(X 2 )=PX 2 =1=01，D(X 2 )=PX 2 =1PX 2 =0=0109=009， E(X 1 X 2
25、)=0001+0101+1008+110=0， Cov(X 1 ，X 2 )=E(X 1 X 2 )-E(X 1 )E(X 2 )=-008， 则相关系数 )解析：28.设总体 X的分布函数为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 的概率密度为 ()因为 ()似然函数为 当 x i 1(i=1，2，n)时，L()0，取对数可得 )解析：29.设总体 X的概率分布为 其中 0(0，1)未知，以 N i (i=1，2，3)表示取自总体 X的简单随机样本(样本容量为 n)中等于 i的个数，试求常数 a 1 ，a 2 ，a 3 使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题知 N 1 ，N 2 ，N 3 分别服从二项分布 B(n，1-)，B(n，- 2 )，B(n， 2 )，则有 E(N 1 )=n(1-)，E(N 2 )=n(- 2 )，E(N 3 )=n 2 ， E(T)= =a 1 n(1-)+a 2 n(- 2 )+a 3 n 2 =， 于是 a 1 n=0，a 2 n-a 1 n=1，a 3 n-a 2 n=0，解得 a 1 =0，a 2 = 即 )解析：
