1、考研数学一（概率论与数理统计）-试卷 1及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 10件产品中有 4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.以下结论，错误的是 ( )（分数：2.00）A.若 0P(B)1，P(AB)+B.若 A，B 满足 P(BA)=1，则 P(A-B)=0C.设 A，B，C 是三个事件，则(A-B)B=ABD.若当事件 A，B 同时发生时
2、，事件 C必发生，则 P(C)P(A)+P(B)-14.设 A，B 是任意两个事件，且 A （分数：2.00）A.P(A)P(AB)B.P(A)P(AB)C.P(A)P(AB)D.P(A)P(AB)5.设事件 A，B 满足 AB= （分数：2.00）A.互不相容B.相容C.P(AB)=P(A)P(B)D.P(A-B)=P(A)6.一种零件的加工由两道工序组成第一道工序的废品率为 p 1 ，第二道工序的废品率为 p 2 ，则该零件加工的成品率为 ( )（分数：2.00）A.1-p 1 -p 2B.1-p 1 p 2C.1-p 1 -p 2 +p 1 p 2D.(1-p 1 )+(1-p 2 )二
3、、填空题(总题数：5，分数：10.00)7.设两个相互独立的事件 A与 B至少有一个发生的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_8.事件 A与 B相互独立，P(A)=a，P(B)=b，如果事件 C发生必然导致 A与 B同时发生，则 A，B，C 都不发生的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设事件 A，B，C 两两独立，三个事件不能同时发生，且它们的概率相等，则 P(ABC)的最大值为 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设 A，B 是任意两个事件，则 （分数：2.00）填空项 1:_11.一批产品共有 10个正品和 2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽
4、出的是次品的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：36.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设有大小相同、标号分别为 1，2，3，4，5 的五个球，同时有标号为 1，2，10 的十个空盒将五个球随机放人这十个空盒中，设每个球放人任何一个盒子的可能性都是一样的，并且每个空盒可以放五个以上的球，计算下列事件的概率：（分数：6.00）(1).A=某指定的五个盒子中各有一个球；（分数：2.00）_(2).B=每个盒子中最多只有一个球；（分数：2.00）_(3).C=某个指定的盒子不空（分数：2.00）_13.设 10件产品中有 4件不合格品，
5、从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率（分数：2.00）_14.设 AB （分数：2.00）_15.设 P(A)0，P(B)0证明：A，B 互不相容与 A，B 相互独立不能同时成立（分数：2.00）_16.证明：若三事件 A，B，C 相互独立，则 AB 及 A-B都与 C独立（分数：2.00）_17.袋中有 5只白球 6只黑球，从袋中一次取出 3个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率（分数：2.00）_18.甲袋中有 3个白球 2个黑球，乙袋中有 4个白球 4个黑球，今从甲袋中任取 2球放人乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率（分数：2.00）_
6、19.有两名选手比赛射击，轮流对同一个目标进行射击，甲命中目标的概率为 ，乙命中目标的概率为 甲先射，谁先命中谁得胜问甲、乙两人获胜的概率各为多少?（分数：2.00）_20.某彩票每周开奖一次，每次提供十万分之一的中奖机会，且各周开奖是相互独立的某彩民每周买一次彩票，坚持十年(每年 52周)，那么他从未中奖的可能性是多少?（分数：2.00）_设有甲、乙两名射击运动员，甲命中目标的概率是 06，乙命中目标的概率是 05，求下列事件的概率：（分数：4.00）(1).从甲、乙中任选一人去射击，若目标被命中，则是甲命中的概率；（分数：2.00）_(2).甲、乙两人各自独立射击，若目标被命中，则是甲命中
7、的概率（分数：2.00）_验收成箱包装的玻璃器皿，每箱 24只装统计资料表明，每箱最多有 2只残品，且含 0，1，2 件残品的箱各占 8015，5现在随意抽取一箱，随意检验其中 4只；若未发现残品则通过验收，否则要逐一检验并更换试求（分数：4.00）(1).一次通过验收的概率；（分数：2.00）_(2).通过验收的箱中确实无残品的概率（分数：2.00）_21.甲、乙、丙三人向一架飞机进行射击，他们的命中率分别为 04，05，07设飞机中一弹而被击落的概率为 02，中两弹而被击落的概率为 06，中三弹必然被击落，今三人各射击一次，求飞机被击落的概率（分数：2.00）_22.某考生想借张宇编著的张
8、宇高等数学 18讲，决定到三个图书馆去借，对每一个图书馆而言，有无这本书的概率相等；若有，能否借到的概率也相等，假设这三个图书馆采购、出借图书相互独立，求该生能借到此书的概率（分数：2.00）_23.设昆虫产 k个卵的概率为 （分数：2.00）_考研数学一（概率论与数理统计）-试卷 1答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 10件产品中有 4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是 ( ) （分数：
9、2.00）A.B.C. D.解析：解析：设 A=两件产品中有一件是不合格品，A 1 =两件产品中一件是不合格品，另一件也是不合格品，A 2 =两件产品中一件是不合格品，另一件是合格品，则 A=A 1 A 2 ，A 1 A 2 = ， 求概率 P(A 1 A) 3.以下结论，错误的是 ( )（分数：2.00）A.若 0P(B)1，P(AB)+B.若 A，B 满足 P(BA)=1，则 P(A-B)=0C.设 A，B，C 是三个事件，则(A-B)B=ABD.若当事件 A，B 同时发生时，事件 C必发生，则 P(C)P(A)+P(B)-1 解析：解析：对于(A)， 即 P(B)=P 2 (B)P(AB
10、)+P(B)-P(A)P(B)-P 2 (B) 故 P(AB)=P(A)P(B)，故(A)正确 故(B)正确 对于(C)，(A-B)B= B=(AB)( B)=AB，(C)正确 对于(D)，AB 4.设 A，B 是任意两个事件，且 A （分数：2.00）A.P(A)P(AB) B.P(A)P(AB)C.P(A)P(AB)D.P(A)P(AB)解析：解析：由于 A5.设事件 A，B 满足 AB= （分数：2.00）A.互不相容B.相容C.P(AB)=P(A)P(B)D.P(A-B)=P(A) 解析：解析：用文氏图，如果 A，B 满足 相容，所以(A)错误 如果 A，B 满足 ，所以(B)错误 由
11、于 AB=6.一种零件的加工由两道工序组成第一道工序的废品率为 p 1 ，第二道工序的废品率为 p 2 ，则该零件加工的成品率为 ( )（分数：2.00）A.1-p 1 -p 2B.1-p 1 p 2C.1-p 1 -p 2 +p 1 p 2 D.(1-p 1 )+(1-p 2 )解析：解析：设 A=成品零件，A i =第 i道工序为成品，i=1，2 P(A 1 )=1-p 1 ，P(A 2 )=1-p 2 ， P(A)=P(A 1 A 2 )=P(A 1 )P(A 2 )=(1-p 1 )(1-p 2 )=1-p 1 -p 2 +p 1 p 2 故选(C)二、填空题(总题数：5，分数：10.
12、00)7.设两个相互独立的事件 A与 B至少有一个发生的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：已知事件 A与 B独立，且 P(AB)= ，P(A-B)=P(B-A)，故 P(A)-P(AB)=P(B)-P(AB)所以8.事件 A与 B相互独立，P(A)=a，P(B)=b，如果事件 C发生必然导致 A与 B同时发生，则 A，B，C 都不发生的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1-a)(1-b)）解析：解析：“事件 C发生必然导致 A与 B同时发生”9.设事件 A，B，C 两两独立，三个事件不能同时发生，且它们的概率相等，
13、则 P(ABC)的最大值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(Bc)+P(ABC) =P(A)+P(B)+P(C)-P(A)P(B)-P(A)P(C)-P(B)P(C)+P( ) =3P(A)-3P(A) 2 = 故 P(ABC)的最大值为 10.设 A，B 是任意两个事件，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：11.一批产品共有 10个正品和 2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 1（分数：2.00）
14、填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：A i 表示“第 i次取的是次品”，i=1，2则有 三、解答题(总题数：15，分数：36.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：设有大小相同、标号分别为 1，2，3，4，5 的五个球，同时有标号为 1，2，10 的十个空盒将五个球随机放人这十个空盒中，设每个球放人任何一个盒子的可能性都是一样的，并且每个空盒可以放五个以上的球，计算下列事件的概率：（分数：6.00）(1).A=某指定的五个盒子中各有一个球；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：每个球都有 10种放法，所以，基本事件总数(放法总数)n=10 5
15、5 个球放入指定的 5个盒子中，事件 A包含的基本事件数为 5!个，所以 )解析：(2).B=每个盒子中最多只有一个球；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：事件 B是从 10个盒子中任选 5个(共有 种选法)，然后将选定的 5个盒子中各放人一个球(共有 5!种放法)，由乘法法则，事件 B包含 个基本事件，所以 )解析：(3).C=某个指定的盒子不空（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：事件 C的逆事件 表示“某个指定的盒子内无球”，即“5 个球都放人其他9个盒子中”， 包含 的基本事件数为 9 5 ，所以 )解析：13.设 10件产品中有 4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有
16、一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设事件 A=从 10件产品中任取两件，有 i件不合格品，i=0，1，2记 B=A 1 A 2 ，按题意，所求概率为 P(A 2 B)而 )解析：14.设 AB （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 AB )解析：15.设 P(A)0，P(B)0证明：A，B 互不相容与 A，B 相互独立不能同时成立（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：一方面，若 A、B 互不相容，则 AB= ，于是 P(AB)=0P(A)P(B)0，所以A、B 不相互独立；另一方面，若 A、B 相互独立，则 P(AB)=P(A)P
17、(B)0，于是 AB )解析：16.证明：若三事件 A，B，C 相互独立，则 AB 及 A-B都与 C独立（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：P(AB)C)=P(ACBC)=P(AC)+P(BC)-P(ABC) =P(A)P(C)+P(B)P(C)-P(A)P(B)P(C) =P(A)+P(B)-P(AB)P(C) =P(AB)P(C)， 即 AB 与 C相互独立 )解析：17.袋中有 5只白球 6只黑球，从袋中一次取出 3个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A=发现是同一颜色，B=全是白色，C=全是黑色，则 A=B+C，所求概率为)
18、解析：18.甲袋中有 3个白球 2个黑球，乙袋中有 4个白球 4个黑球，今从甲袋中任取 2球放人乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A=从乙袋中取出的是白球，B i =从甲袋中取出的两球恰有 i个白球，i=0，1，2 由全概率公式 P(A)=P(B 0 )P(AB 0 )+P(B 1 )P(AB 1 )+P(B 2 )P(AB 2 ) = )解析：19.有两名选手比赛射击，轮流对同一个目标进行射击，甲命中目标的概率为 ，乙命中目标的概率为 甲先射，谁先命中谁得胜问甲、乙两人获胜的概率各为多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 A
19、 i =第 i次命中目标)，i=1，2，所以 )解析：20.某彩票每周开奖一次，每次提供十万分之一的中奖机会，且各周开奖是相互独立的某彩民每周买一次彩票，坚持十年(每年 52周)，那么他从未中奖的可能性是多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 A i =第 i次中奖)(i=1，2，520)， p=P在一次购买彩票中中奖 则事件 A 1 ，A 2 ，A 520 相互独立，且 p=10 -5 所以 )解析：设有甲、乙两名射击运动员，甲命中目标的概率是 06，乙命中目标的概率是 05，求下列事件的概率：（分数：4.00）(1).从甲、乙中任选一人去射击，若目标被命中，则是甲命中的概率；（
20、分数：2.00）_正确答案：(正确答案：该随机试验分为两个阶段：选人，A 甲，A 乙；射击，B=目标被命中则)解析：(2).甲、乙两人各自独立射击，若目标被命中，则是甲命中的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：该随机试验不分阶段， A 甲 =甲命中，A 乙 =乙命中，B=目标被命中， )解析：验收成箱包装的玻璃器皿，每箱 24只装统计资料表明，每箱最多有 2只残品，且含 0，1，2 件残品的箱各占 8015，5现在随意抽取一箱，随意检验其中 4只；若未发现残品则通过验收，否则要逐一检验并更换试求（分数：4.00）(1).一次通过验收的概率；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设
21、 A i =抽取的一箱中含有 i件次品(i=0，1，2)，则 A 0 ，A 1 ，A 2 构成完备事件组，且 P(A 0 )=08，P(A 1 )=015，P(A 2 )=005设 B=一次通过验收，则 由全概率公式得 )解析：(2).通过验收的箱中确实无残品的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由贝叶斯公式得 )解析：21.甲、乙、丙三人向一架飞机进行射击，他们的命中率分别为 04，05，07设飞机中一弹而被击落的概率为 02，中两弹而被击落的概率为 06，中三弹必然被击落，今三人各射击一次，求飞机被击落的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A=飞机被击落，B i =
22、飞机中 i弹，i=1，2，3则 P(A)=P(B 1 )P(AB 1 )+P(B 2 )P(AB 2 )+P(B 3 )P(AB 3 ) =02P(B 1 )+06P(B 2 )+P(B 3 ) 设 C i =第 i个人命中，i=1，2，3，则 )解析：22.某考生想借张宇编著的张宇高等数学 18讲，决定到三个图书馆去借，对每一个图书馆而言，有无这本书的概率相等；若有，能否借到的概率也相等，假设这三个图书馆采购、出借图书相互独立，求该生能借到此书的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A=该生能借到此书，B i =从第 i馆借到，i=1，2，3则 P(B 1 )=P(B 2 )=P(B 3 )=P第 i馆有此书且能借到= 于是 P(A)= )解析：23.设昆虫产 k个卵的概率为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A=下一代有 L条，B k =产 k个卵，k=L，L+1，则 )解析：
