1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 65及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.下列事件中与 A互不相容的事件是 （分数：2.00）A.B.C.D.3.将一枚匀称的硬币独立地掷三次，记事件 A=“正、反面都出现”；B=“正面最多出现一次”；C=“反面最多出现一次”，则下列结论中不正确的是（分数：2.00）A.A与 B独立B.B与 C独立C.A与 C独立D.BC 与 A独立4.设 f(x)是连续型随机变量 X的概率密度，则 f(x)一定是（分数：2.00
2、）A.可积函数B.单调函数C.连续函数D.可导函数5.已知随机变量 X 1 与 X 2 相互独立且有相同的分布：PX i =1=PX i =1=12(i=1，2)，则（分数：2.00）A.X 1 与 X 1 X 2 独立且有相同的分布B.X 1 与 X 1 X 2 独立且有不同的分布C.X 1 与 X 1 X 2 不独立且有相同的分布D.X 1 与 X 1 X 2 不独立且有不同的分布6.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n (n1)独立同分布，且方差 2 0，记 X i ，则 X 1 （分数：2.00）A.1B.0C.12D.17.设随机变量 X 1 ，X n ，相互独立，记 Y n =X
3、 2n X 2n1 (n1)，根据大数定律，当 n时1n （分数：2.00）A.数学期望存在B.有相同的数学期望与方差C.服从同一离散型分布D.服从同一连续型分布8.假设两个正态分布总体 XN( 1 ，1)，YN( 1 ，1)，X 1 ，X 2 ，X m 与 Y 1 ，Y 2 ，Y n 分别是取自总体 X和 Y的相互独立的简单随机样本 （分数：2.00）A.B.S 1 2 +S 2 2 1 (m+n2)C.S 1 2 S 2 2 F(m1，n1)D.9.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的一个简单随机样本，DX= 2 ， 是样本均值，则 2 的无偏估计量是 （分数：2.00）A.B
4、.C.D.二、填空题(总题数：4，分数：8.00)10.三个箱子，第一个箱子中有 4个黑球与 1个白球，第二个箱中有 3个黑球与 3个白球，第三个箱中有3个黑球与 5个白球现随机地选取一个箱子从中任取 1个球，则这个球为白球的概率是 1；若已发现取出的这个球是白球，则它不是取自第二个箱子的概率是 2（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_11.设离散型随机变量 X的概率函数为 PX=i=p i+1 ，i=0，1，则 p= 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设随机变量 X服从正态分布 N(， 2 )(0)，且二次方程 y 2 +4y+X=0无实根的概率为 05，则 = 1.（分数：2
5、.00）填空项 1:_13.设随机变量 X和 Y的联合分布函数为 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：28.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_15.甲袋中有 3个白球 2个黑球，乙袋中有 4个白球 4个黑球，现从甲袋中任取 2球放入乙袋，再从乙袋中取一球，求取出球是白球的概率 p；如果已知从乙袋中取出的球是白球，求从甲袋中取出的球是一白一黑的概率 q（分数：2.00）_16.设随机变量 X服从a，a+2上的均匀分布，对 X进行 3次独立观测，求最多有一次观测值小于 a+1的概率（分数：2.00）_17.设随机变量 X服从参数为 的指数分布，
6、G(x)是区间0，1上均匀分布的分布函数，证明随机变量Y=G(X)的概率分布不是区间0，1上的均匀分布（分数：2.00）_18.已知(X，Y)的概率分布为 （分数：2.00）_19.设随机变量 X服从(0，1)上的均匀分布，求下列 Y i (i=1，2，3，4)的数学期望和方差： ()Y 1 =e X ； ()Y 2 2lnX； ()Y 3 =1X； ()Y 4 =X 2 （分数：2.00）_设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为 （分数：6.00）(1).数学期望 EX，EY；（分数：2.00）_(2).方差 DX，DY；（分数：2.00）_(3).协方差 Cov(X，Y)，D(5X3Y)
7、（分数：2.00）_20.设随机变量 X和 Y独立，并且都服从正态分布 N(， 2 )，求随机变量 Z=min(X，Y)的数学期望（分数：2.00）_21.假设随机变量 X 1 ，X n 相互独立，服从同参数 的泊松分布记 S n = （分数：2.00）_22.设 X 1 ，X 2 ，X 10 是来自正态总体 XN(0，2 2 )的简单随机样本，求常数 a，b，c，d，使 Q=aX 1 2 +b(X 2 +X 3 ) 2 +c(X 4 +X 5 +X 6 ) 2 +d(X 7 +X 8 +X 9 +X 10 ) 2 服从 2 分布，并求自由度 m（分数：2.00）_23.设 XN(， 2 )，
8、从中抽取 16个样本，S 2 为样本方差， 2 未知，求 PS 2 2 2039（分数：2.00）_24.接连不断地、独立地对同一目标射击，直到命中为止，假定共进行 n(n1)轮这样的射击，各轮射击次数相应为 k 1 ，k 2 ，k n ，试求命中率 p的最大似然估计值和矩估计值（分数：2.00）_25.假设批量生产的某种配件的内径 X服从正态分布 N(， 2 )，今随机抽取 16个配件，测得平均内径 （分数：2.00）_考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 65答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只
9、有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.下列事件中与 A互不相容的事件是 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由于( B)(AB)( ，不可能事件 与任何一个事件 A都互不相容，即 A，而3.将一枚匀称的硬币独立地掷三次，记事件 A=“正、反面都出现”；B=“正面最多出现一次”；C=“反面最多出现一次”，则下列结论中不正确的是（分数：2.00）A.A与 B独立B.B与 C独立 C.A与 C独立D.BC 与 A独立解析：解析：试验的样本空间有 8个样本点，即 =(正，正，正)，(正，反，反)，(反，反，反) 显然 B与 C为对立事件，且依古典型概率公式有 P(A)=68
10、，P(B)=P(C)=48，P(AB)=P(AC)=38， P(BC)=P( )=0，P(BC)=P()=1 由于 P(A)P(B)=4.设 f(x)是连续型随机变量 X的概率密度，则 f(x)一定是（分数：2.00）A.可积函数 B.单调函数C.连续函数D.可导函数解析：解析：根据概率密度的定义，f(x)满足对任何实数 x，F(x)=PXx= x f(t)dt，因此 f(x)一定是可积函数，但是 f(x)可以是分段函数，比如：a，b上的均匀分布随机变量 X属连续型，而其概率密度 f(x)在(，+)内不是单调函数，且在 x=a，b 两点不连续，当然亦不可导，因此不能选(B)、(C)、(D)，应
11、选(A)5.已知随机变量 X 1 与 X 2 相互独立且有相同的分布：PX i =1=PX i =1=12(i=1，2)，则（分数：2.00）A.X 1 与 X 1 X 2 独立且有相同的分布 B.X 1 与 X 1 X 2 独立且有不同的分布C.X 1 与 X 1 X 2 不独立且有相同的分布D.X 1 与 X 1 X 2 不独立且有不同的分布解析：解析：由题设知 X 1 X 2 可取1，1，且 PX 1 X 2 =1=PX 1 =1，X 2 =1+PX 1 =1，X 2 =1 =PX 1 =1PX 2 =1+PX 1 =1PX 2 =1 又 PX 1 =1，X 1 X 2 =1=PX 1
12、=1，X 2 =1=14， 所以 X 1 与 X 1 X 2 的概率分布为 6.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n (n1)独立同分布，且方差 2 0，记 X i ，则 X 1 （分数：2.00）A.1B.0 C.12D.1解析：解析：由于 X i 独立同分布，故 DX i = 2 ，D = 2 n，Cov(X 1 ，X i )=0(i1)， 7.设随机变量 X 1 ，X n ，相互独立，记 Y n =X 2n X 2n1 (n1)，根据大数定律，当 n时1n （分数：2.00）A.数学期望存在B.有相同的数学期望与方差 C.服从同一离散型分布D.服从同一连续型分布解析：解析：由于 X n
13、 相互独立，所以 Y n 相互独立选项(A)缺少“同分布”条件；选项(C)、(D)缺少“数学期望存在”的条件，因此它们都不满足辛钦大数定律，所以应选(B) 事实上，若 EX n =，DX n = 2 存在，则 根据切比雪夫大数定律：对任意 0 有 即 1n 8.假设两个正态分布总体 XN( 1 ，1)，YN( 1 ，1)，X 1 ，X 2 ，X m 与 Y 1 ，Y 2 ，Y n 分别是取自总体 X和 Y的相互独立的简单随机样本 （分数：2.00）A.B.S 1 2 +S 2 2 1 (m+n2)C.S 1 2 S 2 2 F(m1，n1) D.解析：解析：因 ，S 1 2 ，S 2 2 相互
14、独立，所以 (m1)S 1 2 2 (m1)， (n1)S 2 2 2 (n1)，(m1)S 1 2 +(n1)S 2 2 2 (m+n2)， 9.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的一个简单随机样本，DX= 2 ， 是样本均值，则 2 的无偏估计量是 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析： 因 EX i 2 =DX i +(EX i ) 2 = 2 + 2 ， + 2 ，所以有 二、填空题(总题数：4，分数：8.00)10.三个箱子，第一个箱子中有 4个黑球与 1个白球，第二个箱中有 3个黑球与 3个白球，第三个箱中有3个黑球与 5个白球现随机地选取一个箱子从中任取 1
15、个球，则这个球为白球的概率是 1；若已发现取出的这个球是白球，则它不是取自第二个箱子的概率是 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：53120）填空项 1:_ （正确答案：3353）解析：解析：设事件 A i =“取到第 i箱”，i=1，2，3，B=“取到白球”，易见 A 1 ，A 2 ，A 3 是一完备事件组，第一空应填 P(B)，第二空为 P( |B)，依题意，有 P(A i )=13，i=l，2，3，P(B|A 1 )=15，P(B|A 2 )=12，P(B|A 3 )=58 应用全概率公式与贝叶斯公式 P( 11.设离散型随机变量 X的概率函数为 PX=i=p i+
16、1 ，i=0，1，则 p= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于 PX=0+PX=1=p+p 2 =1，所以 p 2 +p1=0解得 12.设随机变量 X服从正态分布 N(， 2 )(0)，且二次方程 y 2 +4y+X=0无实根的概率为 05，则 = 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：设事件 A表示方程 y 2 +4y+X=0无实根，依题意 P(A)=P164X0=PX4=1( )=05， 即 ( 13.设随机变量 X和 Y的联合分布函数为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解
17、析：分布函数 F(x)是 F(x，y)的边缘分布函数：F(x)=F(x，+)=F(x，1)，因此三、解答题(总题数：13，分数：28.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：15.甲袋中有 3个白球 2个黑球，乙袋中有 4个白球 4个黑球，现从甲袋中任取 2球放入乙袋，再从乙袋中取一球，求取出球是白球的概率 p；如果已知从乙袋中取出的球是白球，求从甲袋中取出的球是一白一黑的概率 q（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 A=“从乙袋中取出一球为白球”，试验理解为：一次从甲袋中取出两球，记 B i =“从甲袋中取出的 2球中恰有 i个白球”，i=0，1，2，则 B
18、 0 ，B 1 ，B 2 是一完备事件组，A=AB 0 AB 1 AB 2 ，由全概率公式 P=P(A)= P(AB i )= P(B i )P(A|B i ) )解析：16.设随机变量 X服从a，a+2上的均匀分布，对 X进行 3次独立观测，求最多有一次观测值小于 a+1的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 Y表示对 X进行 3次独立观测，其观测值小于 a+1的次数，p=PXa+1=05，则 YB(3，05)所求概率为 PY=0+PY=1=05 2 +C 3 1 0505 2 =05)解析：17.设随机变量 X服从参数为 的指数分布，G(x)是区间0，1上均匀分布的分布函数，证
19、明随机变量Y=G(X)的概率分布不是区间0，1上的均匀分布（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：指数分布的分布函数与区间0，1上均匀分布的分布函数分别为 设 Y=G(X)的分布函数为 H(X)，对于分布函数 G(x)易见，当 y0 时， H(y)=PYy=PG(X)y=0； 当 y1 时，H(y)=PYy=PG(X)y=1； 当 0y1 时，H(y)=PYy=PG(X)y=PXy=1e y 于是，Y=G(X)的分布函数 )解析：18.已知(X，Y)的概率分布为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：应用矩阵法求解，由题设得 ()(U 1 ，V 1 )的概率分布为 ()(U 2 ，V 2
20、 )的概率分布为 U 2 V 2 的概率分布为 )解析：19.设随机变量 X服从(0，1)上的均匀分布，求下列 Y i (i=1，2，3，4)的数学期望和方差： ()Y 1 =e X ； ()Y 2 2lnX； ()Y 3 =1X； ()Y 4 =X 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：直接用随机变量函数的期望公式，故 ()EY 1 = 0 1 e x dx=e1EY 1 2 = 0 1 e 2x dx=12(e 2 1)， DY 1 =EY 1 2 (EY 1 ) 2 =12(e 2 1)(e1) 2 =12(e1)(3e) ()EY 2 = 0 1 2lnxdx=2xlnx| 0
21、 1 +2 0 1 dx=2 EY 2 2 = 0 1 4ln 2 xdx=4xln 2 x| 0 1 2 0 1 lnxdx =8 0 1 lnxdx=8， DY 2 2 =84=4 () 0 1 1xdx=，故 EY 3 不存在，DY 3 也不存在 ()EY 1 = 0 1 dx 2 dx=13EY 4 2 = 0 1 x 4 dx=15， DY 4 = )解析：设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为 （分数：6.00）(1).数学期望 EX，EY；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求出 X与 Y的边缘密度，再计算 EX，EY 等 f X (x)= + f(x，y)dy )解析
22、：(2).方差 DX，DY；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：EX 2 = 0 1 4x 5 dx=23，DX=EX 2 (EX) 2 EY 2 = 0 1 4y 3 (1y 2 )dy=13， )解析：(3).协方差 Cov(X，Y)，D(5X3Y)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：EXY= 0 1 dx 0 x xy8xydy Cov(X，Y)=EXYEXEY D(5X3Y)=25DX30Cov(X，Y)+9DY )解析：20.设随机变量 X和 Y独立，并且都服从正态分布 N(， 2 )，求随机变量 Z=min(X，Y)的数学期望（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设
23、 U=(X)，V=(Y)，有 Z=minU+，V+=minU，V+ U 和 V服从标准正态分布 N(0，1)，其联合密度为 由求随机变量函数的数学期望的一般式，有(见图 44) EminU，V= + + minu，v(u，v)dudv 在上面的积分中作换元：设 EZ=EminX，Y=EminU，V+= 同样可以求得 EmaxX，Y=+ )解析：21.假设随机变量 X 1 ，X n 相互独立，服从同参数 的泊松分布记 S n = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 X i 服从泊松分布，故 EX i =DX i =，又因 X 1 ，X n 相互独立，所以 ES n =E( X i +
24、n)= EX i +n=n+n， )解析：22.设 X 1 ，X 2 ，X 10 是来自正态总体 XN(0，2 2 )的简单随机样本，求常数 a，b，c，d，使 Q=aX 1 2 +b(X 2 +X 3 ) 2 +c(X 4 +X 5 +X 6 ) 2 +d(X 7 +X 8 +X 9 +X 10 ) 2 服从 2 分布，并求自由度 m（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 X i 独立同分布，则有 X 1 N(0，4)，X 2 +X 3 N(0，8)， X 4 +X 5 +X 6 N(0，12)，X 7 +X 8 +X 9 +X 10 N(0，16) 于是 12X 1 ， (X 4
25、+X 5 +X 6 )，14(X 7 +X 8 +X 9 +X 10 )相互独立都服从标准正态分布 N(0，1)由 2 分布的典型模式可知 (X 4 +X 5 +X 6 ) 2 + )解析：23.设 XN(， 2 )，从中抽取 16个样本，S 2 为样本方差， 2 未知，求 PS 2 2 2039（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 =15S 2 2 2 (15)，所以 )解析：24.接连不断地、独立地对同一目标射击，直到命中为止，假定共进行 n(n1)轮这样的射击，各轮射击次数相应为 k 1 ，k 2 ，k n ，试求命中率 p的最大似然估计值和矩估计值（分数：2.00）_正确答案
26、：(正确答案：依题意，总体 X服从参数为 p的几何分布，即 PX=k=p(1p) k1 ，k=1，2，由于 EX=1p，p=1EX，所以 P的矩估计值 样本(k 1 ，k 2 ，k n )的似然函数 L为 L(k 1 ，k 2 ，k n ；p)=PX 1 =k 1 ，X 2 =k 2 ，X n =k n )解析：25.假设批量生产的某种配件的内径 X服从正态分布 N(， 2 )，今随机抽取 16个配件，测得平均内径 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这是一个正态总体的区间估计，由于 2 未知，关于 的置信区间公式为 其中 L 2 满足 P|t(15)|t 2 =01，查表可知 t 005 (15)=1753，于是置信度为 90关于 的置信区间为 I=(305 1753305+ 1753)=(287，323) 未知关于 2 的置信区间公式为 其中 2 2 (n1)与 12 2 (n1)分别满足 P 2 (n1)2=005，P 2 (n1)1 )=095 查 2 分布上分位数表得 095 2 (15)=7261， 005 2 (15)=24996，于是置信度为 90关于 2 的置信区间为 I=( )解析：
