1、考研数学一（线性代数）-试卷 1 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 是三阶矩阵，其中 a 11 0，A ij =a ij (i=1，2，3，j=1，2，3)，则2A T =( )（分数：2.00）A.0。B.2。C.4。D.8。3.若 1 ， 2 线性无关， 是另外一个向量，则 1 + 与 2 +( )（分数：2.00）A.线性无关。B.线性相关。C.既线性相关又线性无关。D.不确定。4.非齐次线性方程组 Ax=b 中，系数矩阵 A 和增广矩
2、阵的秩都等于 4，A 是 46 矩阵，则( )（分数：2.00）A.无法确定方程组是否有解。B.方程组有无穷多解。C.方程组有唯一解。D.方程组无解。5.设 A 是秩为 n-1 的 n 阶矩阵， 1 ， 2 是方程组 Ax=0 的两个不同的解向量，则 Ax=0 的通解必定是( )（分数：2.00）A. 1 + 2 。B.k 1 。C.k( 1 + 2 )。D.k( 1 - 2 )。6.已知 A 是 n 阶可逆矩阵，那么与 A 有相同特征值的矩阵是( )（分数：2.00）A.A T 。B.A 2 。C.A -1 。D.A-E。7.已知 P -1 AP= （分数：2.00）A.( 1 ，- 2 ，
3、 3 )。B.( 1 ， 2 + 3 ， 2 -2 3 )。C.( 1 ， 3 ， 2 )。D.( 1 + 2 ， 1 - 2 ， 3 )。8.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )= -4x 1 x 2 +2x 2 x 3 的标准形可以是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：9，分数：18.00)9.在 xOy 平面上，平面曲线方程 y= （分数：2.00）填空项 1:_10.如果 A= （分数：2.00）填空项 1:_11.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_12.设 A 是一个 n 阶矩阵，且 A 2 -2A-8E=O，则 r(4E-A)+r(2E+A
4、)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_13.向量组 1 =(1，-2，0，3) T ， 2 =(2，-5，-3，6) T ， 3 =(0，1，3，0) T ， 4 =(2，-1，4，7) T 的一个极大线性无关组是 1。（分数：2.00）填空项 1:_14.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_15.已知方程组(1) （分数：2.00）填空项 1:_16.设 =(1，-1，a) T ，=(1，a，2) T ，A=E+ T ，且 =3 是矩阵 A 的特征值，则矩阵 A 属于特征值 A：3 的特征向量是 1。（分数：2.00）填空项 1:_17.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )
5、=(a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 )(b 1 x 1 +b 2 x 2 +b 3 x 3 )的矩阵为 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：22.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_19.计算 D 2n = （分数：2.00）_20.设 A 是 n 阶可逆方阵，将 A 的第 i 行和第 j 行对换后得到的矩阵记为 B。 ()证明 B 可逆； ()求AB -1 。（分数：2.00）_21.已知 m 个向量 1 ， m 线性相关，但其中任意 m-1 个向量都线性无关，证明： ()如果等式k 1 1 +k
6、m m =0 成立，则系数 k 1 ，k m 或者全为零，或者全不为零； ()如果等式 k 1 1 +k m m =0 和等式 l 1 1 +l m m =0 都成立，则 （分数：2.00）_22.已知三阶矩阵 A 的第一行是(a，b，c)，a，b，c 不全为零，矩阵 B= （分数：2.00）_23.设 B 是秩为 2 的 54 矩阵， 1 =(1，1，2，3) T ， 2 =(-1，1，4，-1) T ， 3 =(5，-1，-8，9) T 是齐次线性方程组 Bx=0 的解向量，求 Bx=0 的解空间的一个标准正交基。（分数：2.00）_24.设 A 为正交矩阵，且A=-1，证明：=-1 是
7、A 的特征值。（分数：2.00）_25.设三阶实对称矩阵 A 的秩为 2， 1 = 2 =6 是 A 的二重特征值，若 1 =(1，1，0) T ， 2 =(2，1，1) T ， 3 =(-1，2，-3) T 都是 属于 =6 的特征向量，求矩阵 A。（分数：2.00）_26.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )= （分数：2.00）_27.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )= （分数：2.00）_28.已知二次曲面方程 x 2 +ay 2 +z 2 +2bxy+2xz+2yz=4 可以经过正交变换 （分数：2.00）_考研数学一（线性代数）-试卷 1 答案解析(总分：56.
8、00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 是三阶矩阵，其中 a 11 0，A ij =a ij (i=1，2，3，j=1，2，3)，则2A T =( )（分数：2.00）A.0。B.2。C.4。D.8。 解析：解析：2A T =2 3 A T =8A，且由已知 3.若 1 ， 2 线性无关， 是另外一个向量，则 1 + 与 2 +( )（分数：2.00）A.线性无关。B.线性相关。C.既线性相关又线性无关。D.不确定。 解析：解析：例如，令 1 =(1，1)， 2 =
9、(0，2)，=(-1，-1)，则 1 ， 2 线性无关，而 1 +=(0，0)与 2 +=(-1，1)线性相关。如果设 =(0，0)，那么 1 + 与 2 + 却是线性无关的。故选 D。4.非齐次线性方程组 Ax=b 中，系数矩阵 A 和增广矩阵的秩都等于 4，A 是 46 矩阵，则( )（分数：2.00）A.无法确定方程组是否有解。B.方程组有无穷多解。 C.方程组有唯一解。D.方程组无解。解析：解析：由于非齐次线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩相同是方程组有解的充要条件，且方程组的未知数个数是 6，而系数矩阵的秩为 4，因此方程组有无穷多解，故选 B。5.设 A 是秩为 n-1 的 n 阶
10、矩阵， 1 ， 2 是方程组 Ax=0 的两个不同的解向量，则 Ax=0 的通解必定是( )（分数：2.00）A. 1 + 2 。B.k 1 。C.k( 1 + 2 )。D.k( 1 - 2 )。 解析：解析：因为 A 是秩为 n-1 的 n 阶矩阵，所以 Ax=0 的基础解系只含一个非零向量。又因为 1 ， 2 是方程组 Ax=0 的两个不同的解向量，所以 1 - 2 必为方程组 Ax=0 的一个非零解，即 1 - 2 是 Ax=0 的一个基础解系，所以 Ax=0 的通解必定是 k( 1 - 2 )。选 D。 此题中其他选项不一定正确。因为通解中必有任意常数，所以选项 A 不正确；若 1 =
11、0，则选项 B 不正确；若 1 =- 2 0，则 1 + 2 =0，此时选项 C 不正确。6.已知 A 是 n 阶可逆矩阵，那么与 A 有相同特征值的矩阵是( )（分数：2.00）A.A T 。 B.A 2 。C.A -1 。D.A-E。解析：解析：由于E-A T =(E-A) T =E-A，A 与 A T 有相同的特征多项式，所以 A 与 A T 有相同的特征值。 由 A=，0 可得到 A 2 = 2 ，A -1 = -1 ，(A-E)=(-1)， 说明 A 2 、A -1 、A-E 与 A 的特征值是不一样的(但 A 的特征向量也是它们的特征向量)。所以应选A。7.已知 P -1 AP=
12、（分数：2.00）A.( 1 ，- 2 ， 3 )。B.( 1 ， 2 + 3 ， 2 -2 3 )。C.( 1 ， 3 ， 2 )。D.( 1 + 2 ， 1 - 2 ， 3 )。 解析：解析：若 P -1 AP=A= 8.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )= -4x 1 x 2 +2x 2 x 3 的标准形可以是( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：用配方法，有 f= 二、填空题(总题数：9，分数：18.00)9.在 xOy 平面上，平面曲线方程 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(2，0)，(3，0)）解析：解析：曲线 y= 与 x
13、轴(即 y=0)的交点为方程组 的解，行列式 为范德蒙德行列式，即有 y=10.如果 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：A）解析：解析：已知 A= (B+E)且 B 2 =E，则 11.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：左乘矩阵 A，并把等式 AA * =AE 代入已知矩阵方程，得AX=E+2AX，移项可得 (AE-2A)X=E，因此 X=(AE-2A) -1 。 已知A=4，所以 12.设 A 是一个 n 阶矩阵，且 A 2 -2A-8E=O，则 r(4E-A)+r(2E+A)= 1。（分数：2.00）填空项 1:
14、_ （正确答案：正确答案：n）解析：解析：已知 A 2 -2A-8E=O，可得(4E-A)(2E+A)=O，根据矩阵秩的性质可知 r(4E-A)+r(2E+A)n， 同时 r(4E-A)+r(2E+A)r(4E-A)+(2E+A)=r(6E)=n， 因此 r(4E-A)+r(2E+A)=n。13.向量组 1 =(1，-2，0，3) T ， 2 =(2，-5，-3，6) T ， 3 =(0，1，3，0) T ， 4 =(2，-1，4，7) T 的一个极大线性无关组是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 1 ， 2 ， 4）解析：解析：用已知向量组组成一个矩阵，对矩阵作初
15、等行变换，则有 ( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) 14.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1 且 *）解析：解析：对于任意的 b 1 ，b 2 ，b 3 ，方程组有解的充分必要条件是系数矩阵 A 的秩为 3，即 15.已知方程组(1) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k(-5，3，1) T ，k 为任意常数）解析：解析：将方程组(1)和方程(2)联立，得到方程组(3) (3)的解就是两者的公共解。对(3)的系数矩阵作初等行变换可得 16.设 =(1，-1，a) T ，=(1，a，2) T ，A=E+ T ，且 =3 是矩阵 A 的特征
16、值，则矩阵 A 属于特征值 A：3 的特征向量是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k(1，-1，1) T ，k0）解析：解析：令 B= T ，则矩阵 B 的秩是 1，且 T =a+1，由此可知矩阵 B 的特征值为a+1，0，0。那么 A=E+B 的特征值为 a+2，1，1。 因为 =3 是矩阵 A 的特征值，所以 a+2=3，即 a=1。于是 B=( T )=( T )=2， 即 =(1，-1，1) T 是矩阵 B 属于特征值 =2 的特征向量，也是矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量。17.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(a 1 x 1 +a 2
17、x 2 +a 3 x 3 )(b 1 x 1 +b 2 x 2 +b 3 x 3 )的矩阵为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 )(b 1 x 1 +b 2 x 2 +b 3 x 3 ) 三、解答题(总题数：11，分数：22.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：19.计算 D 2n = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：该行列式只有两条对角线上元素不为 0，可以按其中一行展开，找出递推关系式。按第一行展开，得
18、 将以上两个行列式分别按最后一行展开，得 =a n d n D 2n-2 -b n c n D 2n-2 。 由此得递推公式 D 2n =(a n d n -b n c n )D 2n-2 。按递推公式逐层代入得 )解析：20.设 A 是 n 阶可逆方阵，将 A 的第 i 行和第 j 行对换后得到的矩阵记为 B。 ()证明 B 可逆； ()求AB -1 。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()设 E(i，j)是由 n 阶单位矩阵的第 i 行和第 j 行对换后得到的初等矩阵，则有 B=E(i，j)A，因此有 B=E(i，j)A=-A0， 所以矩阵 B 可逆。 ()AB -1 =AE(i，
19、j)A -1 =AA -1 E -1 (i，j)=E -1 (i，j)=E(i，j)。)解析：21.已知 m 个向量 1 ， m 线性相关，但其中任意 m-1 个向量都线性无关，证明： ()如果等式k 1 1 +k m m =0 成立，则系数 k 1 ，k m 或者全为零，或者全不为零； ()如果等式 k 1 1 +k m m =0 和等式 l 1 1 +l m m =0 都成立，则 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()假设存在某个 k I =0，则由 k 1 1 +K m m =0 可得 k 1 1 +k i-1 i-1 +k i+1 i+1 +k m m =0。 (1) 因为任意
20、 m-1 个向量都线性无关，所以必有 k 1 =k i-1 =k i+1 =k m =0，即系数 k 1 ，k m 全为零。 所以系数 k 1 ，k m 或者全为零，或者全不为零。 ()由()可知，当 l 1 0 时，系数 l 1 ，l m 全不为零，所以 将其代入(1)式得 又因为任意 m-1 个向量都线性无关，所以 ，即 )解析：22.已知三阶矩阵 A 的第一行是(a，b，c)，a，b，c 不全为零，矩阵 B= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AB=O 知，B 的每一列均是 Ax=0 的解，且 r(A)+r(B)3。 (1)若 k9，则 r(B)=2，于是 r(A)1，显然
21、r(A)1，故 r(A)=1。可见此时 Ax=0 的基础解系所含解向量的个数为 3-r(A)=2，矩阵 B 的第一列、第三列线性无关，可作为其基础解系，故 Ax=0 的通解为：x=k 1 (1，2，3) T +k 2 (3，6，k) T ，k 1 ，k 2 为任意常数。 (2)若 k=9，则 r(B)=1，从而 1r(A)2。 若 r(A)=2，则Ax=0 的通解为：x=k 1 (1，2，3) T ，k 1 为任意常数。 若 r(A)=1，则 Ax=0 的同解方程组为：ax 1 +bx 2 +cx 3 =0，不妨设 a0，则其通解为 x=k 1 )解析：23.设 B 是秩为 2 的 54 矩阵
22、， 1 =(1，1，2，3) T ， 2 =(-1，1，4，-1) T ， 3 =(5，-1，-8，9) T 是齐次线性方程组 Bx=0 的解向量，求 Bx=0 的解空间的一个标准正交基。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 r(B)=2，所以解空间的维数是 4-r(B)=4-2=2。 又因 1 ， 2 线性无关，所以 1 ， 2 是解空间的一组基，将其正交化，令 1 = 1 =(1，1，2，3) T ， 再将其单位化，令 )解析：24.设 A 为正交矩阵，且A=-1，证明：=-1 是 A 的特征值。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：要证 =-1 是 A 的特征值，需证A+E
23、=0。 因为A+E=A+A T A=(E+A T )A=E+A T A=-A+E，所以A+E=0，故 =-1 是 A 的特征值。)解析：25.设三阶实对称矩阵 A 的秩为 2， 1 = 2 =6 是 A 的二重特征值，若 1 =(1，1，0) T ， 2 =(2，1，1) T ， 3 =(-1，2，-3) T 都是 属于 =6 的特征向量，求矩阵 A。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 r(A)=2 知，A=0，所以 =0 是 A 的另一特征值。 因为 1 = 2 =6 是实对称矩阵的二重特征值，故 A 属于 =6 的线性无关的特征向量有两个，因此 1 ， 2 ， 3 必线性相关，显
24、然 1 ， 2 线性无关。 设矩阵 A 属于 =0 的特征向量 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，由于实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，故有 解得此方程组的基础解系 =(-1，1，1) T 。 根据 A( 1 ， 2 ， 3 )=(6 1 ，6 2 ，0)得 A=(6 1 ，6 2 ，0)( 1 ， 2 ，) -1 )解析：26.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()二次型矩阵 A= 。二次型的秩为 2，则二次型矩阵 A 的秩也为 2，从而 A= =-8a=0， 因此 a=0。 ()由()中结论 a=0，则 A= ，由特征
25、多项式 E-A= =(-2)(-1) 2 -1=(-2) 2 得矩阵 A 的特征值 1 = 2 =2， 3 =0。 当 =2，由(2E-A)x=0 得特征向量 1 =(1，1，0) T ， 2 =(0，0，1) T 。 当 =0，由(0E-A)x=0 得特征向量 3 =(1，-1，0) T 。 容易看出 1 ， 2 ， 3 已两两正交，故只需将它们单位化： 那么令Q=( 1 ， 2 ， 3 )= ，则在正交变换 x=Qy 下，二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )化为标准形 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax=y T y= ()由 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )= )解析
26、：27.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()二次型对应的矩阵为 由二次型的秩为 2，可得A=0，由此解得c=3，容易验证，此时 A 的秩为 2。 又因 )解析：28.已知二次曲面方程 x 2 +ay 2 +z 2 +2bxy+2xz+2yz=4 可以经过正交变换 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意，矩阵 A= 是相似的，则E-A=E-B，即 解得a=3，b=1。 此时，矩阵 A= ，特征值为 1 =0， 2 =1， 3 =4。 由( i E-A)x=0，可得属于特征值 1 =0， 2 =1， 3 =4 的特征向量分别为 1 =(1，0，-1) T ， 2 =(1，-1，1) T ， 3 =(1，2，1) T 。 将 1 ， 2 ， 3 单位化，得到 )解析：
