1、考研数学一（线性代数）-试卷 34 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 为二阶矩阵，且 A 的每行元素之和为 4，且|E+A|=0，则|2E+A 2 |为( )（分数：2.00）A.0B.54C.一 2D.一 243.设 A 为 mn 阶矩阵，B 为 nm 阶矩阵，且 mn，令 r(AB)=r，则( )（分数：2.00）A.rmB.r=mC.rmD.rm4.设 A 为四阶非零矩阵，且 r(A * )=1，则( )（分数：2.00）A.r(A)=
2、1B.r(A)=2C.r(A)=3D.r(A)=45.设 A，B 都是 n 阶矩阵，其中 B 是非零矩阵，且 AB=O，则( )（分数：2.00）A.r(B)=nB.r(B)nC.A 2 一 B 2 =(A+B)(AB)D.|A|=06.设 A，B 分别为 m 阶和 n 阶可逆矩阵，则 的逆矩阵为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.设 A= （分数：2.00）A.B=P 1 P 2 AB.B=P 2 P 1 AC.B=P 2 AP 1D.B=AP 2 P 18.设 A= （分数：2.00）A.B=P 1 AP 2B.B=P 2 AP 1C.B=P 2 AP 1D.B=P 1 AP 2
3、二、填空题(总题数：11，分数：22.00)9.设三阶方阵 A=A 1 ，A 2 ，A 3 ，其中 A i (i=1，2，3)为三维列向量，且 A 的行列式|A|=一 2，则行列式A 1 2A 2 ，2A 2 +3A 3 ，一 3A 3 +2A 1 = 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设三阶矩阵 A=(， 1 ， 2 )，B=(， 1 ， 2 )，其中 ， 1 ， 2 是三维列向量，且|A|=3，|B|4，则|5A 一 2B|= 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_12.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_13.设 A 为 n 阶可逆
4、矩阵(n2)，则(A * ) * 1 = 1 (用 A * 表示)（分数：2.00）填空项 1:_14.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_15.设 n 维列向量 =(a，0，0，a) T ，其中 a0，又 A=E 一 T ，B=E+ （分数：2.00）填空项 1:_16.设三阶矩阵 A，B 满足关系 A 1 BA=6A+BA，且 A= （分数：2.00）填空项 1:_17.设 A 是 43 阶矩阵且 r(A)=2，B= （分数：2.00）填空项 1:_18.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_19.P 1 = （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.
5、00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_21.证明：D= （分数：2.00）_22.设 D= （分数：2.00）_23.设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 +2A 一 3E=0求：(1)(A+2E) 1 ；(2)(A+4E) 1 （分数：2.00）_24.设 A 为 n 阶矩阵，且 A k =O，求(EA) 1 （分数：2.00）_25.设 A，B 为 n 阶矩阵，P= （分数：2.00）_26.设 A 为 n 阶可逆矩阵，A 2 =|A|E证明：A=A * （分数：2.00）_27.设 A 为 n 阶矩阵，且 A 2 一 2A 一 8E=0证明：r(4EA
6、)+r(2E+A)=n（分数：2.00）_28.证明：若矩阵 A 可逆，则其逆矩阵必然唯一（分数：2.00）_29.设 A 是 mn 阶矩阵，若 A T A=O，证明：A=0（分数：2.00）_考研数学一（线性代数）-试卷 34 答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 为二阶矩阵，且 A 的每行元素之和为 4，且|E+A|=0，则|2E+A 2 |为( )（分数：2.00）A.0B.54 C.一 2D.一 24解析：解析：因为 A 的每行元素之
7、和为 4，所以 A 有特征值 4，又|E+A|=0，所以 A 有特征值一 1， 于是2E+A 2 的特征值为 18，3，于是|2E+A 2 |=54，选(B)3.设 A 为 mn 阶矩阵，B 为 nm 阶矩阵，且 mn，令 r(AB)=r，则( )（分数：2.00）A.rmB.r=mC.rm D.rm解析：解析：显然 AB 为 m 阶矩阵，r(A)n，r(B)n，而 r(AB)minr(A)，r(B)nm，所以选(C)4.设 A 为四阶非零矩阵，且 r(A * )=1，则( )（分数：2.00）A.r(A)=1B.r(A)=2C.r(A)=3 D.r(A)=4解析：解析：因为 r(A * )=
8、1，所以 r(A)=41=3，选(C)5.设 A，B 都是 n 阶矩阵，其中 B 是非零矩阵，且 AB=O，则( )（分数：2.00）A.r(B)=nB.r(B)nC.A 2 一 B 2 =(A+B)(AB)D.|A|=0 解析：解析：因为 AB=O，所以 r(A)+r(B)n，又因为 B 是非零矩阵，所以 r(B)1，从而 r(A)n，于是|A|=0，选(D)6.设 A，B 分别为 m 阶和 n 阶可逆矩阵，则 的逆矩阵为( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：7.设 A= （分数：2.00）A.B=P 1 P 2 AB.B=P 2 P 1 AC.B=P 2 AP 1D.B=
9、AP 2 P 1 解析：解析：P 1 =E 12 ，P 2 =E 23 (2)，显然 A 首先将第 2 列的两倍加到第 3 列，再将第 1 及第 2 列对调，所以 B=AE 23 (2)E 12 =AP 2 P 1 ，选(D)8.设 A= （分数：2.00）A.B=P 1 AP 2B.B=P 2 AP 1C.B=P 2 AP 1D.B=P 1 AP 2 解析：解析：显然 B= 二、填空题(总题数：11，分数：22.00)9.设三阶方阵 A=A 1 ，A 2 ，A 3 ，其中 A i (i=1，2，3)为三维列向量，且 A 的行列式|A|=一 2，则行列式A 1 2A 2 ，2A 2 +3A 3
10、 ，一 3A 3 +2A 1 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：12）解析：解析：10.设三阶矩阵 A=(， 1 ， 2 )，B=(， 1 ， 2 )，其中 ， 1 ， 2 是三维列向量，且|A|=3，|B|4，则|5A 一 2B|= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：63）解析：解析：由 5A 一 2B=(5，5 1 ，5 2 )一(2，2 1 ，2 2 )=(5 一 2，3 1 ，3 2 )，得 |5A2B|=|5 一 2，3 1 ，3 2 |=9|5 一 2， 1 ， 2 | =9(5|， 1 ， 2 |一2|， 1 ， 2 |)=63
11、11.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：|A|=10，因为 A * =|A|A 1 ，所以 A * =10A 1 ，故(A * ) 1 = 12.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：13.设 A 为 n 阶可逆矩阵(n2)，则(A * ) * 1 = 1 (用 A * 表示)（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 A * =|A|A 1 得 (A * ) * =|A * |(A * ) 1 =|A| n1 (|A|A 1 ) 1 =|A| n2 A， 故 E(A *
12、 ) * 1 = 14.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 A=( 1 ， 2 ， 3 )，因为|A|=2，所以 A * A=|A|E=2E， 15.设 n 维列向量 =(a，0，0，a) T ，其中 a0，又 A=E 一 T ，B=E+ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：由 AB=(E 一 T ) T 一 T 一 2a T =E 且 T O，得 16.设三阶矩阵 A，B 满足关系 A 1 BA=6A+BA，且 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 A 1 BA=
13、6A+BA，得 A 1 B=6E+B，于是(A 1 E)B=6E，B=6(A 1 一 E) 1 = 17.设 A 是 43 阶矩阵且 r(A)=2，B= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：因为|B|=100，所以 r(AB)=r(A)=218.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：因为 AB=O，所以 r(A)+r(B)3，又因为 BO，所以 r(B)1，从而有 r(A)2，显然 A 有两行不成比例，故 r(A)2，于是 r(A)=219.P 1 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解
14、析：解析：P 1 = =E 23 ，因为 E ij 1 =E ij ，所以 E ij 2 =E，于是 P 1 2009 P 2 1 =P 1 P 2 1 = 三、解答题(总题数：10，分数：20.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：21.证明：D= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.设 D= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 +2A 一 3E=0求：(1)(A+2E) 1 ；(2)(A+4E) 1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由 A 2 +2A
15、一 3E=O 得 A(A+2E)=3E， ACA+2E)=E，根据逆矩阵的定义，有(A+2E) 1 = A (2)由 A 2 +2A3E=O 得(A+4E)(A 一 2E)+5E=O，则(A+4E) 1 = )解析：24.设 A 为 n 阶矩阵，且 A k =O，求(EA) 1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E k 一 A k =(EA)(E+A+A 2 +A k1 )，又 E k 一 A k =E， 所以(E 一 A) 1 =E+A+A 2 +A k1 )解析：25.设 A，B 为 n 阶矩阵，P= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)PQ= =|A|B|E (2)因
16、为|P|=|A|B|，所以当 P 可逆时，|A|B0，而PQ=|A|B|E，即 )解析：26.设 A 为 n 阶可逆矩阵，A 2 =|A|E证明：A=A * （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 AA * |A|E，又已知 A 2 =|A|E，所以 AA * =A 2 ，而 A 可逆，故 A=A * )解析：27.设 A 为 n 阶矩阵，且 A 2 一 2A 一 8E=0证明：r(4EA)+r(2E+A)=n（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 2 2A 一 8E=O 得(4EA)(2E+A)=O，根据矩阵秩的性质得 r(4EA)+r(2E+A)n又 r(4EA)+r(2E+A)r(4EA)+(2E+A)=r(6E)=n，所以有 r(4EA)+r(2E+A)=n)解析：28.证明：若矩阵 A 可逆，则其逆矩阵必然唯一（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设存在可逆阵 B，C，使得 AB=AC=E，于是 A(BC)=O，故 r(A)+r(BC)n，因为A 可逆，所以 r(A)=n，从而 r(BC)=0，BC=O，于是 B=C，即 A 的逆矩阵是唯一的)解析：29.设 A 是 mn 阶矩阵，若 A T A=O，证明：A=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 r(A)=r(A T A)，而 A T A=O，所以 r(A)=0，于是 A=0)解析：
