1、考研数学一（线性代数）-试卷 39 及答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 是 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.A，B 都不可逆的充分必要条件是 AB 不可逆B.r(A)n，r(B)n 的充分必要条件是 r(AB)nC.AX=0 与 BX=0 同解的充分必要条件是 r(A)=r(B)D.AB 的充分必要条件是 EAE 一 B3.设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 A 的特征值，则 A * 的一个特征值为( )（分数：2.00）
2、A.B.C.|A|D.|A| n14.设三阶矩阵 A 的特征值为 2 =一 1， 2 =0， 3 =1，则下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 A 不可逆B.矩阵 A 的迹为零C.特征值一 1，1 对应的特征向量正交D.方程组 AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量5.设 A 为三阶矩阵，方程组 AX=0 的基础解系为 1 ， 2 ，又 =一 2 为 A 的一个特征值，其对应的特征向量为 3 ，下列向量中是 A 的特征向量的是( )（分数：2.00）A. 1 + 3B.3 3 一 1C. 1 +2 2 +3 3D.2 1 3 26.设 A 为 n 阶实对称矩阵，下列结论不正
3、确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 A 与单位矩阵 E 合同B.矩阵 A 的特征值都是实数C.存在可逆矩阵 P，使 PAP 1 为对角阵D.存在正交阵 Q，使 Q T AQ 为对角阵7.设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似，则( )（分数：2.00）A.A 的 n 个特征值都是单值B.A 是可逆矩阵C.A 存在 n 个线性无关的特征向量D.A 一定为 n 阶实对称矩阵8.设 ， 为四维非零列向量，且 ，令 A= T ，则 A 的线性无关特征向量个数为( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.49.设 A，B 为正定矩阵，C 是可逆矩阵，下列矩阵不是正定矩阵的是( )（分数：2.00）A.
4、C T ACB.A 1 +B 1C.A * +B *D.AB二、填空题(总题数：7，分数：14.00)10.设 A 是三阶矩阵，其三个特征值为一 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 = （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_12.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_13.设 A 为三阶实对称矩阵，且 1 = （分数：2.00）填空项 1:_14.设 AB，其中 A= （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_15.设 A 是三阶实对称矩阵，其特征值为 =3， 2 = 3 =5，且 1 =3 对应的线性无关的特征向量为 1 = （分数：2.00）填空项 1:_16.设
5、， 为三维非零列向量，(，)=3，A= T ，则 A 的特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：19，分数：38.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_18.设 A= （分数：2.00）_19.设 A= （分数：2.00）_20.设 A= （分数：2.00）_21.设 A= （分数：2.00）_22.设 A T A=E，证明：A 的实特征值的绝对值为 1（分数：2.00）_23.设 为 A 的特征值 (1)证明：A T 与 A 特征值相等； (2)求 A 2 ，A 2 +2A+3E 的特征值； (3)若|A|0，求 A 1 ，A
6、* ，EA 1 的特征值（分数：2.00）_24.设 X 1 ，X 2 分别为 A 的属于不同特征值 1 ， 2 的特征向量证明：X 1 +X 2 不是 A 的特征向量（分数：2.00）_25.= （分数：2.00）_26.设向量 =(a 1 ，a 2 ，a n ) T ，其中 a 1 0，A= T (1)求方程组 AX=0 的通解； (2)求 A 的非零特征值及其对应的线性无关的特征向量（分数：2.00）_27.设 = （分数：2.00）_28.设 A 为三阶矩阵，A 的特征值为 1 =1， 2 =2， 3 =3，其对应的线性无关的特征向量分别为 1 = （分数：2.00）_29.设 A 是
7、 n 阶矩阵， 是 A 的特征值，其对应的特征向量为 X，证明： 2 是 A 2 的特征值，X 为特征向量若 A 2 有特征值 ，其对应的特征向量为 X，X 是否一定为 A 的特征向量?说明理由（分数：2.00）_30.设 A，B 为 n 阶矩阵 (1)是否有 ABBA； (2)若 A 有特征值 1，2，n，证明：ABBA（分数：2.00）_31.设 为 n 维非零列向量，A=E （分数：2.00）_32.设矩阵 A= （分数：2.00）_33.设 A 是三阶实对称矩阵，r(A)=1，A 2 一 3A=O，设(1，1，一 1) T 为 A 的非零特征值对应的特征向量 (1)求 A 的特征值；
8、(2)求矩阵 A（分数：2.00）_34.设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1 =8， 2 = 3 =2，矩阵 A 的属于特征值 1 =8 的特征向量为 1 = （分数：2.00）_35.设 n 阶矩阵 A 满足(aEA)(bEA)=O 且 ab证明：A 可对角化（分数：2.00）_考研数学一（线性代数）-试卷 39 答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 是 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.A，B 都不可逆的充分必要条
9、件是 AB 不可逆B.r(A)n，r(B)n 的充分必要条件是 r(AB)nC.AX=0 与 BX=0 同解的充分必要条件是 r(A)=r(B)D.AB 的充分必要条件是 EAE 一 B 解析：解析：若 AB，则存在可逆矩阵 P，使得 P 1 AP=B， 于是 P 1 (E 一 A)P=E 一 P 1 AP=E一 B，即 E 一 AE 一 B； 反之，若 E 一 AE 一 B，即存在可逆矩阵 P，使得 P 1 (EA)P=E 一 B， 整理得 E 一 P 1 AP=E 一 B，即 P 1 AP=B，即 AB，应选(D)3.设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 A 的特征值，则 A * 的一个特征值
10、为( )（分数：2.00）A.B. C.|A|D.|A| n1解析：解析：因为 A 可逆，所以 0，令 AX=X，则 A * AX=A * X，从而有 A * X= 4.设三阶矩阵 A 的特征值为 2 =一 1， 2 =0， 3 =1，则下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 A 不可逆B.矩阵 A 的迹为零C.特征值一 1，1 对应的特征向量正交 D.方程组 AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量解析：解析：由 1 =一 1， 2 =0， 3 =1 得|A|=0，则 r(A)3，即 A 不可逆，(A)正确；又 1 + 2 + 3 =tr(a)=0，所以(B)正确；因为 A
11、的三个特征值都为单值，所以 A 的非零特征值的个数与矩阵 A 的秩相等，即 r(A)=2，从而 Ax=0 的基础解系仅含有一个线性无关的解向量，(D)是正确的；(C)不对，因为只有实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，一般矩阵不一定有此性质，选(C)5.设 A 为三阶矩阵，方程组 AX=0 的基础解系为 1 ， 2 ，又 =一 2 为 A 的一个特征值，其对应的特征向量为 3 ，下列向量中是 A 的特征向量的是( )（分数：2.00）A. 1 + 3B.3 3 一 1C. 1 +2 2 +3 3D.2 1 3 2 解析：解析：因为 AX=0 有非零解，所以 R(A)N，故 0 为矩阵 A
12、的特征值， 1 ， 2 为特征值 0 所对应的线性无关的特征向量，显然特征值 0 为二重特征值，若 1 + 3 为属于特征值 0 的特征向量，则有 A( 1 + 3 )= 0 ( 1 + 3 )，注意到 A( 1 + 3 )=0 1 2 3 =一 2 3 ，故一 2 3 = 0 ( 1 + 3 )或 0 1 +( 0 +2) 3 =0， 因为 1 ， 3 线性无关，所以有 0 =0， 0 +2=0，矛盾，故 1 + 3 不是特征向量，同理可证 3 3 1 及 1 +2 2 +3 3 也不是特征向量，显然 2 1 2 为特征值 0 对应的特征向量，选(D)6.设 A 为 n 阶实对称矩阵，下列结
13、论不正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 A 与单位矩阵 E 合同 B.矩阵 A 的特征值都是实数C.存在可逆矩阵 P，使 PAP 1 为对角阵D.存在正交阵 Q，使 Q T AQ 为对角阵解析：解析：根据实对称矩阵的性质，显然(B)、(C)、(D)都是正确的，但实对称矩阵不一定是正定矩阵，所以 A 不一定与单位矩阵合同，选(A)7.设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似，则( )（分数：2.00）A.A 的 n 个特征值都是单值B.A 是可逆矩阵C.A 存在 n 个线性无关的特征向量 D.A 一定为 n 阶实对称矩阵解析：解析：矩阵 A 与对角阵相似的充分必要条件是其有 n 个线性无关的特征
14、向量，A 有 n 个单特征值只是其可对角化的充分而非必要条件，同样 A 是实对称阵也是其可对角化的充分而非必要条件，A 可逆既非其可对角化的充分条件，也非其可对角化的必要条件，选(C)8.设 ， 为四维非零列向量，且 ，令 A= T ，则 A 的线性无关特征向量个数为( )（分数：2.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析：因为 ， 为非零向量，所以 A= T O，则 r(A)1， 又因为 r(A)=r( T )r()=1，所以 r(A)=1 令 AX=E，由 A 2 X= T T X=O= 2 X 得 =0， 因为 r(OEA)=r(A)=1，所以 A 的线性无关的特征向量个数为 3，应
15、选(C)9.设 A，B 为正定矩阵，C 是可逆矩阵，下列矩阵不是正定矩阵的是( )（分数：2.00）A.C T ACB.A 1 +B 1C.A * +B *D.AB 解析：解析：显然四个选项中的矩阵都是实对称阵，因为 A，B 正定，所以 A 1 ，B 1 及 A * ，B * 都是正定的，对任意 X0，X T (C T AC)X=(CX) T A(CX)0(因为 C 可逆，所以当 X0 时，CX0)，于是 C T AC 为正定矩阵，同样用定义法可证 A 1 +B 1 与 A * +B * 都是正定矩阵，选(D)二、填空题(总题数：7，分数：14.00)10.设 A 是三阶矩阵，其三个特征值为一
16、 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：10）解析：解析：|A|=一 11.设 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：解析：由 A= 得12.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：10）解析：解析：由|EA|= =( 一 1)( 一 2) 2 =0 得 1 =1， 2 = 3 =2， 因为 A 可对角化，所以 r(2EA)=1， 由 2EA= 13.设 A 为三阶实对称矩阵，且 1 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：因为实对称矩阵不同特征值对
17、应的特征向量正交，所以有 6+3a+36a=0，a=314.设 AB，其中 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析：因为 AB，所以15.设 A 是三阶实对称矩阵，其特征值为 =3， 2 = 3 =5，且 1 =3 对应的线性无关的特征向量为 1 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，令 2 = 3 =5 对应的特征向量为 16.设 ， 为三维非零列向量，(，)=3，A= T ，则 A 的特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案
18、：正确答案：0 或者 3）解析：解析：因为 A 2 =3A，令 AX=X，因为 A 2 X= 2 X，所以有( 2 一 3)X=0，而 X0，故 A 的特征值为 0 或者 3，因为 1 + 2 + 3 =tr(A)=(，)，所以 1 =3， 2 = 3 =0三、解答题(总题数：19，分数：38.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由|E 一 A|= =(+2)( 一 1) 2 =0 得矩阵 A 的特征值的 1 =一2， 2 = 3 =1，因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A
19、可以相似对角化，从而 r(EA)=1， )解析：19.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由|E 一 A|= )解析：21.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 1 = 2 =2 及 1 + 2 + 3 =tr(A)=10 得 3 =6 因为矩阵 A 有三个线性无关的特征向量，所以 r(2EA)=1， )解析：22.设 A T A=E，证明：A 的实特征值的绝对值为 1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 AX=X，则 X T A T =X T ，从而有 X T A T AX=X T
20、AX= 2 X T X，因为A T A=E， 所以( 2 一 1)X T X=0，而 X T X=|X| 2 0，所以 2 =1，于是|=1)解析：23.设 为 A 的特征值 (1)证明：A T 与 A 特征值相等； (2)求 A 2 ，A 2 +2A+3E 的特征值； (3)若|A|0，求 A 1 ，A * ，EA 1 的特征值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为|E 一 A T |=|(EA) T |=|E 一 A|，所以 A T 与 A 的特征值相等 (2)因为 A= 0 (0)， 所以 A 2 = 0 A= 0 2 ，(A 2 +2A+3E)=( 0 2 +2 0 +3
21、)， 于是 A 2 ，A 2 +2A+3E 的特征值分别为 0 2 ， 0 2 +2 0 +3 )解析：24.设 X 1 ，X 2 分别为 A 的属于不同特征值 1 ， 2 的特征向量证明：X 1 +X 2 不是 A 的特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：反证法 不妨设 X 1 +X 2 是 A 的属于特征值 的特征向量，则有 A(X 1 +X 2 )=(X 1 +X 2 )， 因为 AX 1 = 1 X 1 ，AX 2 = 2 X 2 ，所以( 1 )X 1 +( 2 )X 2 =0， 而 X 1 ，X 2 线性无关，于是 1 = 2 =，矛盾，故 X 1 +X 2 不是 A
22、的特征向量)解析：25.= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 T =k，则 A 2 =kA， 设 AX=E，则 A 2 X= 2 X=kX，即 ( 一 k)X=0， 因为 X0，所以矩阵 A 的特征值为 =0 或 =k 由 1 + n =tr(A)且 tr(A)=k 得 1 = n1 =0， n =k 因为 r(A)=1，所以方程组(0EA)X=0 的基础解系含有 n 一 1 个线性无关的解向量， 即 =0 有 n 一 1 个线性无关的特征向量，故 A 可以对角化)解析：26.设向量 =(a 1 ，a 2 ，a n ) T ，其中 a 1 0，A= T (1)求方程组 AX=0 的
23、通解； (2)求 A 的非零特征值及其对应的线性无关的特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 r(A)=1，所以 AX=0 的基础解系含有 n 一 1 个线性无关的特征向量，其基础解系为 则方程组 AX=0 的通解为 k 1 1 +k 2 2 +k n1 n1 (k 1 ，k 2 ，k n1 为任意常数) (2)因为 A 2 =kA，其中 k=(，)= )解析：27.设 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A n =( T )( T )=2 n1 )解析：28.设 A 为三阶矩阵，A 的特征值为 1 =1， 2 =2， 3 =3，其对应的线性无关的特征向量分别为
24、1 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.设 A 是 n 阶矩阵， 是 A 的特征值，其对应的特征向量为 X，证明： 2 是 A 2 的特征值，X 为特征向量若 A 2 有特征值 ，其对应的特征向量为 X，X 是否一定为 A 的特征向量?说明理由（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AX=E 得 A 2 X=A(AX)=A(X)=AX= 2 X 可知 2 是 A 2 的特征值，X 为特征向量若 A 2 X=X，其中 A= )解析：30.设 A，B 为 n 阶矩阵 (1)是否有 ABBA； (2)若 A 有特征值 1，2，n，证明：ABBA（分数：2.00）_正确
25、答案：(正确答案：(1)一般情况下，AB 与 BA 不相似，如 )解析：31.设 为 n 维非零列向量，A=E （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 A 2 = 所以 A 可逆且 A 1 =A (2)因为 A=(E 一 )解析：32.设矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 3 为 A 的特征值，所以|3E 一 A|=0，解得 y=2 (2)(AP) T (AP)=P T A T AP=P T A 2 P， )解析：33.设 A 是三阶实对称矩阵，r(A)=1，A 2 一 3A=O，设(1，1，一 1) T 为 A 的非零特征值对应的特征向量 (1)求
26、 A 的特征值； (2)求矩阵 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)A 2 3A=O|A|3EA|=0=0，3，因为 r(A)=1，所以 1 =3， 2 = 3 =0 (2)设特征值 0 对应的特征向量为(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，则 x 1 +x 2 x 3 =0，则 0 对应的特征向量 为 2 =(一 1，1，0) T ， 2 =(1，0，1) T ，令 )解析：34.设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1 =8， 2 = 3 =2，矩阵 A 的属于特征值 1 =8 的特征向量为 1 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为实对称矩阵不同的特征值对应的特征
27、向量正交，所以有 )解析：35.设 n 阶矩阵 A 满足(aEA)(bEA)=O 且 ab证明：A 可对角化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(aE 一 A)(bE 一 A)=O，得|aEA|bE 一 A|=0，则|aEA|=0 或者 |bEA|=0又由(aE 一 A)(bE 一 A)=O，得 r(aEA)+r(bEA)n 同时 r(aEA)+r(bEA)r(aEA)一(bEA)=r(a 一 b)E=n 所以 r(aEA)+r(bE 一 A)=n (1)若|aEA|0，则 r(aEA)=n，所以r(bE 一 A)=0，故 A=bE (2)若|bE 一 A|0，则 r(bE 一 A)=n，所以 r(aEA)=0，故 A=aE (3)若|aEA|=0 且|bE 一 A|=0，则 a，b 都是矩阵 A 的特征值 方程组(aE 一 A)X=0 的基础解系含有 n 一 r(aEA)个线性无关的解向量，即特征值 a 对应的线性无关的特征向量个数为 n 一 r(aEA)个； 方程组(bE 一 A)X=0 的基础解系含有 n 一 r(bEA)个线性无关的解向量，即特征值 b 对应的线性无关的特征向量个数为 n一 r(bE 一 A)个 因为 n 一 r(aEA)+n 一 r(bE 一 A)=n，所以矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量，所以A 一定可以对角化)解析：
