1、考研数学一（线性代数）-试卷 46 及答案解析(总分：84.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.若 1 ， 2 ， 3 线性相关， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则( )（分数：2.00）A. 1 可由 2 ， 3 线性表示B. 4 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示C. 4 可由 1 ， 3 线性表示D. 4 可由 1 ， 2 线性表示3.设向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则向量组( )（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ，
2、4 + 1 线性无关B. 1 一 2 ， 2 一 3 ， 3 一 4 ， 4 一 1 线性无关C. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 一 1 线性无关D. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 一 4 ， 4 一 1 线性无关4.向量组 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.向量组 1 ， 2 ， m ， 线性无关B.存在一组不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，k m ，使得 k 1 1 +k 2 2 +k m m 0C.向量组 1 ， 2 ， m 的维数大于其个数D.向量组 1 ， 2 ， m 的任意一个部分向量组线性无关5.设向量组 1 ，
3、 2 ， m 线性无关， 1 可由 1 ， 2 ， m 线性表示，但 2 不可由 1 ， 2 ， m 线性表示，则( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， m-1 ， 1 线性相关B. 1 ， 2 ， m-1 ， 1 ， 2 线性相关C. 1 ， 2 ， m ， 1 + 2 线性相关D. 1 ， 2 ， m ， 1 + 2 线性无关6.设 n 维列向量组 1 ， 2 ， m (mn)线性无关，则 n 维列向量组 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.向量组 1 ， 2 ， m 可由向量组 1 ， 2 ， m 线性表示B.向量组 1 ， 2 ， m 可由向量
4、组 1 ， 2 ， m 线性表示C.向量组 1 ， 2 ， m 与向量组 1 ， 2 ， m 等价D.矩阵 A=( 1 ， 2 ， m )与矩阵 B=( 1 ， 2 ， m )等价7.设 1 ， 2 ， 3 线性无关， 1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示， 2 不可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，对任意的常数 k 有( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 ，k 1 + 2 线性无关B. 1 ， 2 ， 3 ，k 1 + 2 线性相关C. 1 ， 2 ， 3 ， 1 +k 2 线性无关D. 1 ， 2 ， 3 ， 1 +k 2 线性相关8.设 n 阶矩阵 A=( 1 ， 2 ，
5、n )，B=( 1 ， 2 ， n )，AB=( 1 ， 2 ， n )，记向量组(I)： 1 ， 2 ， n ；()： 1 ， 2 ， n ；()： 1 ， 2 ， n ，若向量组()线性相关，则( )（分数：2.00）A.()，()都线性相关B.()线性相关C.()线性相关D.()，()至少有一个线性相关9.设向量组()： 1 ， 2 ， s 的秩为 r 1 ，向量组()： 1 ， 2 ， s 的秩为 r 2 ，且向量组()可由向量组()线性表示，则( )（分数：2.00）A. 1 + 1 ， 2 + 2 ， s + s 的秩为 r 1 +r 2B.向量组 1 一 1 ， 2 一 2 ，
6、s 一 s 的秩为 r 1 一 r 2C.向量组 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s 的秩为 r 1 +r 2D.向量组 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s 的秩为 r 110.向量组 1 ， 2 ， s 线性无关的充分条件是( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， s 都不是零向量B. 1 ， 2 ， s 中任意两个向量不成比例C. 1 ， 2 ， s 中任一向量都不可由其余向量线性表示D. 1 ， 2 ， s 中有一个部分向量组线性无关11.设 A 为 n 阶矩阵，且A=0，则 A( )（分数：2.00）A.必有一列元素全为零B.必有两行元素对应成比例C.必有一列是其余
7、列向量的线性组合D.任一列都是其余列向量的线性组合二、填空题(总题数：4，分数：8.00)12.设 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )为 4 阶方阵，且 AX=0 的通解为 X=k(1，1，2，一 3) T ，则 2 由 1 ， 3 ， 4 表示的表达式为 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，且 1 +a 2 +4 3 ，2 1 + 2 一 3 ， 2 + 3 线性相关，则 a= 1.（分数：2.00）填空项 1:_14. （分数：2.00）填空项 1:_15. （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：27，分数：54.00)16.解
8、答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A 2 =A，B 2 =B，(A+B) 2 =A+B证明：AB=0（分数：2.00）_18. （分数：2.00）_19. （分数：2.00）_20.设 A，B 满足 A * BA=2BA 一 8E，且 （分数：2.00）_21.设 AX=A+2X，其中 （分数：2.00）_22. （分数：2.00）_23.设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 +2A 一 3E=0求：(1)(A+2E) -1 ；(2)(A+4E) -1 （分数：2.00）_24.设 A 为 n 阶矩阵，且 A k =0，求(EA)
9、 -1 （分数：2.00）_25. （分数：2.00）_26.设 A 为 n 阶可逆矩阵，A 2 =AE证明：A=A * （分数：2.00）_27.设 A 为 n 阶矩阵，且 A 2 一 2A 一 8E=0证明：r(4EA)+r(2e+A)=N（分数：2.00）_28.证明：若矩阵 A 可逆，则其逆矩阵必然唯一（分数：2.00）_29.设 A 是 mn 阶矩阵，若 A T A=0，证明：A=0（分数：2.00）_30.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，证明： 1 + 2 + 3 ， 1 +2 2 +3 3 ， 1 +4 2 +9 3 线性无关（分数：2.00）_31.设 1 ，a m ，
10、 为 m+1 维向量，= 1 + m (m1)证明：若 1 ， m 线性无关，则 一 1 ， 一 m 线性无关（分数：2.00）_32.设 1 ， 2 ， n (n2)线性无关，证明：当且仅当 n 为奇数时， 1 + 2 ， 2 + 3 ， n + 1 线性无关（分数：2.00）_33.设 A 为 n 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 为 n 维列向量，其中 1 0，且 A 1 = 1 ，A 2 = 1 + 2 ，A 3 = 2 + 3 ，证明： 1 ， 2 ， 3 线性无关（分数：2.00）_34.证明：若一个向量组中有一个部分向量组线性相关，则该向量组一定线性相关（分数：2.00）_35.n
11、维列向量组 1 ， n-1 线性无关，且与非零向量 正交证明： 1 ， n-1 ， 线性无关（分数：2.00）_36.设向量组 1 ， n 为两两正交的非零向量组，证明： 1 ， n 线性无关，举例说明逆命题不成立。（分数：2.00）_37.设 A 为 nm 矩阵，B 为 mn 矩阵(mn)，且 AB=E证明：B 的列向量组线性无关（分数：2.00）_38.设 1 ， 2 ， m ， 1 ， 2 ， n 线性无关，而向量组 1 ， 2 ， m ， 线性相关证明：向量 可由向量组 1 ， 2 ， m ， 1 ， 2 ， n 线性表示（分数：2.00）_39.设向量组 （分数：2.00）_40.设
12、 1 ， 2 ， n 为 n 个线性无关的 n 维向量，且与向量 正交证明：向量 为零向量（分数：2.00）_41. （分数：2.00）_42.设三维向量空间 R 3 中的向量 在基 1 =(1，一 2，1) T ， 2 =(0，1，1) T ， 3 =(3，2，1) T 下的坐标为(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，在基肪，尼，届下的坐标为(y 1 ，y 2 ，y 3 ) T ，且 y 1 =x 1 -x 2 -x 3 ，y 2 =-x 1 +x 2 ，y 3 =x 1 +2x 3 ，求从基 1 ， 2 ， 3 到基 1 ， 2 ， 3 的过渡矩阵（分数：2.00）_考研数学一（线性代数
13、）-试卷 46 答案解析(总分：84.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.若 1 ， 2 ， 3 线性相关， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则( )（分数：2.00）A. 1 可由 2 ， 3 线性表示 B. 4 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示C. 4 可由 1 ， 3 线性表示D. 4 可由 1 ， 2 线性表示解析：解析：因为 2 ， 3 ， 4 线性无关，所以 2 ， 3 线性无关，又因为 1 ， 2 ， 3 线性相关，所以 1 可由 2 ， 3 线性表示，
14、选(A)3.设向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则向量组( )（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 线性无关B. 1 一 2 ， 2 一 3 ， 3 一 4 ， 4 一 1 线性无关C. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 一 1 线性无关 D. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 一 4 ， 4 一 1 线性无关解析：解析：因为一( 1 + 2 )+( 2 + 3 )一( 3 + 4 )+( 4 + 1 )=0， 所以 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 线性相关； 因为( 1 一 2 )+(
15、2 一 3 )+( 3 一 4 )+( 4 一 1 )=0， 所以 1 一 2 ， 2 一 3 ， 3 一 4 ， 4 一 1 线性相关； 因为( 1 + 2 )一( 2 + 3 )+( 3 一 4 )+( 4 一 1 )=0， 所以 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 一 4 ， 4 一 1 线性相关，容易通过证明向量组线性无关的定义法得 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 一 1 线性无关，选(C)4.向量组 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.向量组 1 ， 2 ， m ， 线性无关B.存在一组不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，k m
16、 ，使得 k 1 1 +k 2 2 +k m m 0C.向量组 1 ， 2 ， m 的维数大于其个数D.向量组 1 ， 2 ， m 的任意一个部分向量组线性无关 解析：解析：(A)不对，因为 1 ， 2 ， m ， 线性无关可以保证 1 ， 2 ， m 线性无关，但 1 ， 2 ， m 线性无关不能保证 1 ， 2 ， m ， 线性无关； (B)不对，因为 1 ， 2 ， m 线性无关可以保证对任意一组非零常数 k 1 ，k 2 ，k m ，有 k 1 1 +k 2 2 +k m m 0，但存在一组不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，k m 使得 k 1 1 +k 2 2 +k m m 0 不
17、能保证 1 ， 2 ， m 线性无关； (C)不对，向量组 1 ， 2 ， m 线性无关不能得到其维数大于其个数，如 ， 2 = 5.设向量组 1 ， 2 ， m 线性无关， 1 可由 1 ， 2 ， m 线性表示，但 2 不可由 1 ， 2 ， m 线性表示，则( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， m-1 ， 1 线性相关B. 1 ， 2 ， m-1 ， 1 ， 2 线性相关C. 1 ， 2 ， m ， 1 + 2 线性相关D. 1 ， 2 ， m ， 1 + 2 线性无关 解析：解析：(A)不对，因为 1 可由向量组 1 ， 2 ， m 线性表示，但不一定能被 1 ， 2 ， m-
18、1 线性表示，所以 1 ， 2 ， m-1 ， 1 不一定线性相关； (B)不对，因为 1 ， 2 ， m-1 ， 1 不一定线性相关， 2 不一定可由 1 ， 2 ， m-1 ， 1 线性表示，所以 1 ， 2 ， m-1 ， 1 ， 2 不一定线性相关； (C)不对，因为 2 不可由 1 ， 2 ， m 线性表示，而 1 可由 1 ， 2 ， m 线性表示，所以 1 + 2 不可由 1 ， 2 ， m 线性表示，于是 1 ， 2 ， m ， 1 + 2 线性无关，选(D)6.设 n 维列向量组 1 ， 2 ， m (mn)线性无关，则 n 维列向量组 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要
19、条件是( )（分数：2.00）A.向量组 1 ， 2 ， m 可由向量组 1 ， 2 ， m 线性表示B.向量组 1 ， 2 ， m 可由向量组 1 ， 2 ， m 线性表示C.向量组 1 ， 2 ， m 与向量组 1 ， 2 ， m 等价D.矩阵 A=( 1 ， 2 ， m )与矩阵 B=( 1 ， 2 ， m )等价 解析：解析：因为 1 ， 2 ， m 线性无关，所以向量组 1 ， 2 ， m 的秩为 m，向量组 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件是其秩为 m，所以选(D)7.设 1 ， 2 ， 3 线性无关， 1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示， 2 不可由 1 ， 2 ，
20、 3 线性表示，对任意的常数 k 有( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 ，k 1 + 2 线性无关 B. 1 ， 2 ， 3 ，k 1 + 2 线性相关C. 1 ， 2 ， 3 ， 1 +k 2 线性无关D. 1 ， 2 ， 3 ， 1 +k 2 线性相关解析：解析：因为 1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示， 2 不可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，所以 k 1 + 2 一定不可以由向量组 1 ， 2 ， 3 线性表示，所以 1 ， 2 ， 3 ，k 1 + 2 线性无关，选(A)8.设 n 阶矩阵 A=( 1 ， 2 ， n )，B=( 1 ， 2 ， n )，AB=(
21、1 ， 2 ， n )，记向量组(I)： 1 ， 2 ， n ；()： 1 ， 2 ， n ；()： 1 ， 2 ， n ，若向量组()线性相关，则( )（分数：2.00）A.()，()都线性相关B.()线性相关C.()线性相关D.()，()至少有一个线性相关 解析：解析：若 1 ， 2 ， n 线性无关， 1 ， 2 ， n 线性无关，则 r(A)=n，r(B)=n，于是 r(AB)=n因为 1 ， 2 ， n 线性相关，所以 r(AB)=r( 1 ， 2 ， n )n，故 1 ， 2 ， n 与 1 ， 2 ， n 至少有一个线性相关，选(D)9.设向量组()： 1 ， 2 ， s 的秩为
22、 r 1 ，向量组()： 1 ， 2 ， s 的秩为 r 2 ，且向量组()可由向量组()线性表示，则( )（分数：2.00）A. 1 + 1 ， 2 + 2 ， s + s 的秩为 r 1 +r 2B.向量组 1 一 1 ， 2 一 2 ， s 一 s 的秩为 r 1 一 r 2C.向量组 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s 的秩为 r 1 +r 2D.向量组 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s 的秩为 r 1 解析：解析：因为向量组 1 ， 2 ， s 可由向量组 1 ， 2 ， s 线性表示，所以向量组 1 ， 2 ， s ，与向量组 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2
23、， s 等价，选(D)10.向量组 1 ， 2 ， s 线性无关的充分条件是( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， s 都不是零向量B. 1 ， 2 ， s 中任意两个向量不成比例C. 1 ， 2 ， s 中任一向量都不可由其余向量线性表示 D. 1 ， 2 ， s 中有一个部分向量组线性无关解析：解析：若向量组 1 ， 2 ， s 线性无关，则其中任一向量都不可由其余向量线性表示，反之，若 1 ， 2 ， s 中任一向量都不可由其余向量线性表示，则 1 ， 2 ， s 一定线性无关，因为若 1 ， 2 ， s 线性相关，则其中至少有一个向量可由其余向量线性表示，故选(C)11.设 A
24、为 n 阶矩阵，且A=0，则 A( )（分数：2.00）A.必有一列元素全为零B.必有两行元素对应成比例C.必有一列是其余列向量的线性组合 D.任一列都是其余列向量的线性组合解析：解析：因为A=0，所以 r(A)1)证明：若 1 ， m 线性无关，则 一 1 ， 一 m 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：32.设 1 ， 2 ， n (n2)线性无关，证明：当且仅当 n 为奇数时， 1 + 2 ， 2 + 3 ， n + 1 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设有 x 1 ，x 2 ，x n ，使 x 1 ( 1 + 2 )+x 2 ( 2 + 3 )
25、+x n ( n + 1 )=0，即 (x 1 +x n ) 1 +(x 1 +x 2 ) 2 +(x n-1 +x n ) n =0， )解析：33.设 A 为 n 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 为 n 维列向量，其中 1 0，且 A 1 = 1 ，A 2 = 1 + 2 ，A 3 = 2 + 3 ，证明： 1 ， 2 ， 3 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 1 = 1 得(AE) 1 =0； 由 A 2 = 1 + 2 得(AE) 2 = 1 ；由 A 3 = 2 + 3 得(AE) 3 = 2 ， 令 k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 =0， (1) (1
26、)两边左乘 AE 得 k 2 1 +k 3 2 =0， (2) (2)两边左乘 AE 得 k 3 1 =0，因为 1 0，所以 k 3 =0，代入(2)、(1)得 k 1 =0，k 2 =0，故 1 ， 2 ， 3 线性无关)解析：34.证明：若一个向量组中有一个部分向量组线性相关，则该向量组一定线性相关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 1 ， n 为一个向量组，且 1 ， r ，(rn)线性相关，则存在不全为零的常数 k 1 ，k r ，使得 k 1 1 +k r r =0，于是 k 1 1 +k r r +0 r+1 +0 n =0，因为 k 1 ，0，0 不全为零，所以 1
27、， n 线性相关)解析：35.n 维列向量组 1 ， n-1 线性无关，且与非零向量 正交证明： 1 ， n-1 ， 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 k 0 +k 1 1 +k n-1 n-1 =0，由 1 ， n-1 与非零向量 正交及(，k 0 +k 1 1 +k n-1 n-1 =0 得 k 0 (，)=0，因为 为非零向量，所以(，)一 2 0，于是 k 0 =0，故 k 1 1 +k n-1 n-1 =0，由 1 ， n-1 线性无关得 k 1 =k n-1 =0，于是 1 ， n-1 ， 线性无关)解析：36.设向量组 1 ， n 为两两正交的非零向量组，证明
28、： 1 ， n 线性无关，举例说明逆命题不成立。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 k 1 1 +k n n =0，由 1 ， n 两两正交及( 1 ，k 1 1 +k n n )=0，得 k 1 ( 1 ， 1 )=0，而( 1 ， 1 )= 1 2 0，于是 k 1 =0，同理可证 k 2 =k n =0，故 1 ， n 线性无关令 )解析：37.设 A 为 nm 矩阵，B 为 mn 矩阵(mn)，且 AB=E证明：B 的列向量组线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先 r(B)minm，n=n，由 AB=E 得 r(AB)=n，而 r(AB)r(B)，所以 r(B
29、)n，从而 r(B)=n，于是 B 的列向量组线性无关)解析：38.设 1 ， 2 ， m ， 1 ， 2 ， n 线性无关，而向量组 1 ， 2 ， m ， 线性相关证明：向量 可由向量组 1 ， 2 ， m ， 1 ， 2 ， n 线性表示（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为向量组 1 ， 2 ， m ， 1 ， 2 ， n 线性无关，所以向量组 1 ， 2 ， m 也线性无关，又向量组 1 ， 2 ， m ， 线性相关，所以向量 可由向量组 1 ， 2 ， m 线性表示，从而 可由向量组 1 ， 2 ， m ， 1 ， 2 ， n 线性表示)解析：39.设向量组 （分数：2.0
30、0）_正确答案：(正确答案：向量组 1 ， 2 ， 3 线性相关的充分必要条件是 1 ， 2 ， 3 =0， )解析：40.设 1 ， 2 ， n 为 n 个线性无关的 n 维向量，且与向量 正交证明：向量 为零向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：41. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：42.设三维向量空间 R 3 中的向量 在基 1 =(1，一 2，1) T ， 2 =(0，1，1) T ， 3 =(3，2，1) T 下的坐标为(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，在基肪，尼，届下的坐标为(y 1 ，y 2 ，y 3 ) T ，且 y 1 =x 1 -x 2 -x 3 ，y 2 =-x 1 +x 2 ，y 3 =x 1 +2x 3 ，求从基 1 ， 2 ， 3 到基 1 ， 2 ， 3 的过渡矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 =( 1 ， 2 ， 3 )X，=( 1 ， 2 ， 3 )Y ，由 y 1 =x 1 -x 2 一 x 3 ，y 2 =一 x 1 +x 2 ，y 3 =x 1 +2x 3 )解析：
