1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 120 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 是 n 阶矩阵，则|A * |A|= （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 A，B 均是 n 阶矩阵，下列命题中正确的是（分数：2.00）A.AB=0B.AB0C.AB=0*|A|=0 或|B|=0D.AB04.设向量组 ， 线性无关， 线性相关，则（分数：2.00）A. 必可由 ， 线性表示B. 必不可由 ， 线性表示C. 必可由 ， 线性表示D. 必不可由 ，
2、线性表示5.若 r( 1 ， 2 ， s )=r，则（分数：2.00）A.向量组中任意 r1 个向量均线性无关B.向量组中任意 r 个向量均线性无关C.向量组中任意 r+1 个向量均线性相关D.向量组中向量个数必大于 r6.设 A 为 n 阶可逆矩阵， 是 A 的一个特征值，则伴随矩阵 A * 的一个特征值是（分数：2.00）A. 1 |A| n1 B. 1 |A|C.|A|D.|A| n1 7.设 A 是 n 阶非零矩阵，A m =0，下列命题中不一定正确的是（分数：2.00）A.A 的特征值只有零B.A 必不能对角化C.E+A+A 2 +A m1 必可逆D.A 只有一个线性无关的特征向量8
3、.设 A，B 均为 n 阶实对称矩阵，则 A 与 B 合同的充要条件是（分数：2.00）A.A，B 有相同的特征值B.A，B 有相同的秩C.A，B 有相同的行列式D.A，B 有相同的正负惯性指数二、填空题(总题数：10，分数：20.00)9.若 A= （分数：2.00）填空项 1:_10.设矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_11.设 A，B 均为 3 阶矩阵，且满足 AB=2A+B，其中 A= （分数：2.00）填空项 1:_12.已知 1 ， 2 ， 3 线性无关， 1 + 2 ，a 2 3 ， 1 2 + 3 线性相关则a= 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设 4 阶矩阵
4、 A 的秩为 2，则 r(A * )= 1（分数：2.00）填空项 1:_14.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_15.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_16.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_17.已知 =(1，1，1) T 是矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_18.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +cx 3 2 +2ax 1 x 2 +2x 1 x 3 经正交变换化为标准形y 1 2 +2y 3 2 ，则 a= 1.（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)19.解答题解答应写
5、出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_20.若行列式的第 j 列的每个元素都加 1，则行列式的值增加 （分数：2.00）_21.设 A= （分数：2.00）_22.设 A 是 n 阶非零实矩阵，A * 是 A 的伴随矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，如果 A T =A * ，证明任一 n 维列向量均可由矩阵 A 的列向量线性表出（分数：2.00）_23.设 W=(x 1 ，x 2 ，x n )|x 1 2x 2 +x 3 =0，求向量空间 W 的维数及一组规范正交基（分数：2.00）_24.求线性方程组 （分数：2.00）_25.已知 A= （分数：2.00）_26.已知 AB，
6、A 2 =A，证明 B 2 =B（分数：2.00）_27.设 A 是 n 阶实对称矩阵，若对任意的 n 维列向量 恒有 T A=0，证明 A=0（分数：2.00）_28.已知 A= 是正定矩阵，证明= （分数：2.00）_考研数学一（线性代数）模拟试卷 120 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 是 n 阶矩阵，则|A * |A|= （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：因为|A * |是一个数，由|kA|=k n |A|及|A
7、* |=|A| n1 有 |A * |A|=|A * | n |A|=(|A| n1 )| n A|=|A 3.设 A，B 均是 n 阶矩阵，下列命题中正确的是（分数：2.00）A.AB=0B.AB0C.AB=0*|A|=0 或|B|=0 D.AB0解析：解析： 但 AB=0，所以(A)，(B)均不正确4.设向量组 ， 线性无关， 线性相关，则（分数：2.00）A. 必可由 ， 线性表示B. 必不可由 ， 线性表示C. 必可由 ， 线性表示 D. 必不可由 ， 线性表示解析：解析： 可由 ， 线性表出 故应选(C)5.若 r( 1 ， 2 ， s )=r，则（分数：2.00）A.向量组中任意
8、r1 个向量均线性无关B.向量组中任意 r 个向量均线性无关C.向量组中任意 r+1 个向量均线性相关 D.向量组中向量个数必大于 r解析：解析：秩 r( 1 ， 2 ， s )=r 向量组 1 ， 2 ， s 的极大线性无关组为 r 个向量 6.设 A 为 n 阶可逆矩阵， 是 A 的一个特征值，则伴随矩阵 A * 的一个特征值是（分数：2.00）A. 1 |A| n1 B. 1 |A| C.|A|D.|A| n1 解析：解析：如 A=，则 A 1 =1，即 A * |A|=1从而 A * =|A|故选(B)7.设 A 是 n 阶非零矩阵，A m =0，下列命题中不一定正确的是（分数：2.0
9、0）A.A 的特征值只有零B.A 必不能对角化C.E+A+A 2 +A m1 必可逆D.A 只有一个线性无关的特征向量 解析：解析：设 A=，0，则 A m = m =0故 =0(A)正确 因为 A0，r(A)1，那么 Ax=0 的基础解系有 nr(A)个解，即 =0 有 nr(A)个线性无关的特征向量故(B)正确，而(D)不一定正确 由(EA)(E+A+A 2 +A m1 )=EA m =层，知(C)正确故应选(D)8.设 A，B 均为 n 阶实对称矩阵，则 A 与 B 合同的充要条件是（分数：2.00）A.A，B 有相同的特征值B.A，B 有相同的秩C.A，B 有相同的行列式D.A，B 有
10、相同的正负惯性指数 解析：解析：(A)是充分条件特征值一样 有相同的正、负惯性指数 合同但不是必要条件例如 A= ，特征值不同，但 A B (B)是必要条件由 C T AC=B，C 可逆 r(A)=r(B)，但不是充分条件例如 A= ，虽 r(A)=r(B)，但正负惯性指数不同故 A 与 B 不合同 (C)既不必要也不充分例如 A= ，行列式不同但合同，又如 A= 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)9.若 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：利用公式“r(AB)r(B)及 A0，则 r(A)1”，易见本题中 r(A)=1，所以|A|=0或作矩
11、阵乘法10.设矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因 B=(A+2E)(A+3E)，又(15B) 1 =5B 1 ，故 (15B) 1 =5(A+3E) 1 (A+2E) 1 11.设 A，B 均为 3 阶矩阵，且满足 AB=2A+B，其中 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：由 AB2AB+2E=2E，有 A(B2E)(B2E)=2E，则 (AE)(B2E)=2E 于是|AE|B2E|=|2E|=8，而|AE|12.已知 1 ， 2 ， 3 线性无关， 1 + 2 ，a 2 3 ， 1 2 + 3 线性
12、相关则a= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：记 1 = 1 + 2 ， 2 =a 2 3 ， 3 = 1 2 + 3 ，则 1 ， 2 ， 3 线性相关 13.设 4 阶矩阵 A 的秩为 2，则 r(A * )= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：由 r(A * ) 14.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(3，1，0，0) T ，(1，0，2，1) T）解析：解析： 15.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5）解析：解析：对增广矩阵作初等行变换
13、，有 当 a=5 时，r(A)=r(16.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k 1 (1，4，7) T +k 2 (2，5，8) T）解析：解析：因为秩 r(A)=2，所以行列式|A|=0，并且 r(A * )=1 那么 A * A=|A|E=0，所以 A 的列向量是 A * x=0 的解 又因 r(A * )=1，故 A * x=0 的通解是 k 1 (1，4，7) T +k 2 (2，5，8) T 17.已知 =(1，1，1) T 是矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：设 A=，即18.已知二次型 f(x 1
14、，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +cx 3 2 +2ax 1 x 2 +2x 1 x 3 经正交变换化为标准形y 1 2 +2y 3 2 ，则 a= 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：二次型及其标准形的矩阵分别是 在正交变换下二次型矩阵 A 和标准形矩阵 不仅合同，而且相似于是由三、解答题(总题数：10，分数：20.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：20.若行列式的第 j 列的每个元素都加 1，则行列式的值增加 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：修改后的行列式第 j 列为(a
15、1j +1，a ij +1，a nj +1) T =(a 1j ，a ij ，a nj ) T +(1，1，1) T ，对它分解(性质)，分为两个行列式之和，一个就是原行列式，另一个的第 j 列元素都是 1，增加量就是它的值，等于 )解析：21.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对矩阵 A 分块，记 A= ，则由 r(B)=1，知 B 2 =2BB n =2 n1 B )解析：22.设 A 是 n 阶非零实矩阵，A * 是 A 的伴随矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，如果 A T =A * ，证明任一 n 维列向量均可由矩阵 A 的列向量线性表出（分数：2.00）_正确答案：
16、(正确答案：因为 A * =A T ，按定义有 A ij =a ij ( )解析：23.设 W=(x 1 ，x 2 ，x n )|x 1 2x 2 +x 3 =0，求向量空间 W 的维数及一组规范正交基（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：n 元齐次方程 x 1 2x 2 +x 3 =0 的基础解系： 1 =(2，1，0，0) T ， 2 =(1，0，1，0) T ， 3 =(0，0，0，1，0) T ， n1 =(0，0，0，1) T ， 1 = 1 ， 2 = 2 1 =15(1，2，5，0，0) T 单位化，得 1 = )解析：24.求线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确
17、答案：对增广矩阵作初等行变换，有 )解析：25.已知 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由特征多项式 |EA| )解析：26.已知 AB，A 2 =A，证明 B 2 =B（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 AB，有 P 1 AP=B，那么 B 2 =P 1 A 2 P=P 1 AP=B)解析：27.设 A 是 n 阶实对称矩阵，若对任意的 n 维列向量 恒有 T A=0，证明 A=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： n 维向量 恒有 T A=0，那么令 1 =(1，0，0，0) T ，有 1 T A 1 =a 11 =0 类似地，令 i =(0，0，0，1，0，0) T (第 i 个分量为 1)，由 i T A i =a ii =0 (i=1，2，n) 令 12 =(1，1，0，0) T ，则有 12 T A 12 )解析：28.已知 A= 是正定矩阵，证明= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： C=C 1 C 2 ，则 C 是可逆矩阵，且 C T AC=C 2 T C 1 T AC 1 C 2 则 A )解析：
