1、考研数学三-134 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)的导数在 x=a 处连续，又 （分数：4.00）A.B.C.D.2.曲线 （分数：4.00）A.B.C.D.3.下述各选项正确的是_ （分数：4.00）A.B.C.D.4.若 f(-x)=f(x)(-+)，在(-，0)内 f(x)0，且 f“(x)0，则在(0，+)内有_ A.f(x)0，f“(x)0 B.f(x)0，f“(x)0 C.f(x)0，f“(x)0 D.f(x)0，f“(x)0（分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A 为 n 阶非零矩阵，E
2、为 n 阶单位矩阵, 若 A3=0，则_ A.E-A 不可逆，E+A 也不可逆 B.E-A 不可逆，E+A 可逆 C.E-A 可逆，E+A 也可逆 D.E-A 可逆，E+A 不可逆（分数：4.00）A.B.C.D.6.当 a 取_时，函数 f(x)=2x3-9x2+12x-a 恰有两个不同的零点_ A.2 B.4 C.6 D.8（分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机变量 X 和 Y 独立同分布，记 U=X-Y，V=X+Y，则随机变量 U 和 V 必然_ A.不独立 B.独立 C.相关系数不为零 D.相关系数为零（分数：4.00）A.B.C.D.8.设某商品的需求函数为 Q=160-2P，
3、其中 Q，P 分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于 1，则商品的价格是 A.10 B.20 C.30 D.40（分数：4.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）填空项 1:_10.设 f(x)=xex，则 f(n)(x)在点 x=_处取极小值_（分数：4.00）填空项 1:_11.设 （分数：4.00）填空项 1:_12. （分数：4.00）填空项 1:_13.设二元函数 z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，则 dz|(1,0)=_（分数：4.00）填空项 1:_14. （分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题
4、/B(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：9.00）_16.设 （分数：9.00）_17.设生产某种产品必须投入两种要素，x 1和 x2分别为两要素的投入量，Q 为产出量；若生产函数为（分数：11.00）_18.设函数 f(x)在区间0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=f(1)=0， 试证： (1) 存在（分数：11.00）_19.一商家销售某种商品的价格满足关系 p=7-0.2x(万元/吨)，x 为销量(单位：吨)，商品的成本函数是C=3x+1(万元) (1) 若每销售一吨商品，政府要征税 t(万元)，求该商家获得最大利润时的销售量； (2) 在此销售量情形下 t
5、 为何值时，政府税收总额最大?（分数：10.00）_20.设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2为 A 的分别属于特征值-1，1 的特征向量，向量 3满足 A 3= 2+ 3，() 证明 1， 2， 3线性无关；() 令 P=( 1， 2， 3)，求 P-1AP（分数：11.00）_21.计算二重积分 ，其中 D 是由直线 x=-2，y=0，y=2 以及曲线 （分数：11.00）_22.求幂级数 （分数：11.00）_23.设随机变量 X 的概率密度为令 Y=X2，F(x，y)为二维随机变量(X，Y)的分布函数求：() Y 的概率密度 fY(y)；() Cov(X，Y)；() （分数：11.00）
6、_考研数学三-134 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)的导数在 x=a 处连续，又 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 极值点、拐点 解题分析 由题设，*，又因为 f(x)在 x=a 处导数连续则 f(a)=0，即 x=a 是 f(x)的驻点又由 * 知当 xa 时，f(x)0；当 xa 时，f(x)0，故 f(a)是极大值，所以选 B2.曲线 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 利用渐近线的定义易得解题分析 因为*所以*是此曲线的两条渐近线，且分别为水平渐近线和铅直渐近线但 x=-1
7、和 x=2 不是曲线 y 的渐近线，因为当 x-1 +和 x2 +时，y 分别趋向于*故应选 B评注 本题考查渐近线的概念若*，则 y=b 易为曲线 y=f(x)的水平渐近线；若*则 x=x0为曲线 y=f(x)的铅直渐近线；若*，则 y=ax+b 为斜渐近线3.下述各选项正确的是_ （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 级数的敛散性 解题分析 对于 A，由于*，又由条件知级数 * 故应选 A4.若 f(-x)=f(x)(-+)，在(-，0)内 f(x)0，且 f“(x)0，则在(0，+)内有_ A.f(x)0，f“(x)0 B.f(x)0，f“(x)0 C.f(x)0，f“(x)0
8、 D.f(x)0，f“(x)0（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 复合函数求导 解题分析 由题设 f(-x)=f(x)，对此式两边求导，得 -f(-x)=f(x) (1) 由(1)式两边再求导，得 f“(-x)=f“(x) (2) 当 x(-，0)时，-x(0，+)，则由题设已知当x(-，0)时 f(x)0，且 f“(x)0，并结合(1)式和(2)式可推知，f(x)0，x(0，+)，且 f“(x)0，x(0，+) 综上，选 C5.设 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵, 若 A3=0，则_ A.E-A 不可逆，E+A 也不可逆 B.E-A 不可逆，E+A 可逆 C.E-
9、A 可逆，E+A 也可逆 D.E-A 可逆，E+A 不可逆（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 矩阵的可逆性解题分析 由 A3=0 可得E-A3=(E-A)(E+A+A2)=E 和 E+A3=(E+A)(E-A+A2)=E显然|E-A|0|E+A|0，所以 E-A 和 E+A 均可逆故应选 C6.当 a 取_时，函数 f(x)=2x3-9x2+12x-a 恰有两个不同的零点_ A.2 B.4 C.6 D.8（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 函数的极大值与极小值解题分析 由题意，不妨令函数 g(x)=2x3-9x2+12x由g(x)=6x3-18x+12=6(x-1)(x
10、-2)=0可得函数 g(x)恰有两个驻点 x=1 与 x=2因为* 所以 g(1)=5，g(2)=4 分别是函数 g(x)的唯一极大值与唯一极小值，且函数 g(x)的单调性如下表： x (-，1) 1 (1，2) 2 (2，+)g(x) + 0 - 0 +g(x) 从-到 5 极大值 5 从 5 到 4 极小值 4 从 4 到+由上表可知，曲线 y=g(x)与水平直线 y=4 恰有两个不同的的交点，即当 a=4 时，函数 f(x)=2x3-9x2+12x-a 恰有两个不同的零点所以选 B7.设随机变量 X 和 Y 独立同分布，记 U=X-Y，V=X+Y，则随机变量 U 和 V 必然_ A.不独
11、立 B.独立 C.相关系数不为零 D.相关系数为零（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 X 和 Y 独立必有相关系数为零所以先直接计算相关系数即可解题分析 详解 1 由 X 和 Y 独立同分布，知 D(X)=D(Y)，因此cov(U，V)=cov(X-Y，X+Y)=cov(X，X)+cov(X，Y)-cov(Y，X)-cov(Y，Y)=D(X)-D(Y)=0从而 U 和 V 的相关系数为零，故应选 D详解 2 由 X 和 Y 独立同分布，知 E(X)=E(Y)，E(X 2)=E(Y2)，因此cov(U，V)=cov(X-Y，X+Y)=E(X-Y)(X+Y)-E(X-Y)E(X+
12、Y)=EX2-Y2-E(X)-E(Y)E(X)+E(Y)=E(X2)-E(Y2)=0故应选 D8.设某商品的需求函数为 Q=160-2P，其中 Q，P 分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于 1，则商品的价格是 A.10 B.20 C.30 D.40（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 导数的经济学应用 解题分析 因*，故需求弹性的绝对值 * 则 2P=160-2P，得P=40故应选 D二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 化成真分式易于求导 解题分析 * 于是 *10.设 f(x)=xex
13、，则 f(n)(x)在点 x=_处取极小值_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-(n+1)，*）解析：解析 先求 n 阶导数，再求极值即可解题分析 f(x)=xe x，f(n)(x)=(n+x)ex，f(n+1)(x)=(n+1+x)ex，f(n+2)(x)=(n+2+x)ex，令 f(n+1)(x)=0，解得 f(n)(x)的驻点 x=-(n+1)，又 f(n+2)-(n+1)=n+2-(n+1)e-(n+1)=e-(n+1)0，故 x=-(n+1)为 f(n)(x)的极小值点极小值*11.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 分段函数、定积分 解题分
14、析 由题设， *12. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 广义积分 解题分析 由题设， *13.设二元函数 z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，则 dz|(1,0)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2edx+(e+2)dy）解析：解析 全微分的四则运算、一阶全微分形式不变性解题分析 因为*所以 dz|(1，0) =edx+e(dx+dy)+2dy=2edx+(e+2)dy14. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 求二重积分 解题分析 由区域 D 的对称性可知 * 则*三、B解答题/B(总题数：9，分数：94.00)1
15、5.求极限 （分数：9.00）_正确答案：(本题可采用以下两种方法求解： 详解 1 * 详解 2 *)解析：解析 变上限定积分求导、洛必达法则、等价无穷小16.设 （分数：9.00）_正确答案：(由题设， * 从而 *)解析：解析 二元函数的全微分、二阶偏导数17.设生产某种产品必须投入两种要素，x 1和 x2分别为两要素的投入量，Q 为产出量；若生产函数为（分数：11.00）_正确答案：(由题设知，本题要求的是总费用 p1x1+p2x2在条件*下的最小值，由此应采用拉格朗日乘数法，即令*则由*可求出*，此为唯一驻点，并且由题设知存在最小值，所以当*时投入总费用最小)解析：解析 二元函数的条件
16、极值18.设函数 f(x)在区间0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=f(1)=0， 试证： (1) 存在（分数：11.00）_正确答案：(1) 由题设，引入辅助函数 2(x)=x-f(x)，则 (x)在0，1上连续，由已知条件f(1)=0及*，知(1)=1-f(1)=10且*所以由闭区间上连续函数的介值定理知存在一点*，使得 ()=0，即 =f()=0，因此存在*，使f()=证毕(2) 需要引入辅助函数，但比(1)中需要更多技巧，由原函数法，将所需证明的等式中的 改写为 x，有f(x)-f(x)-x=1，即 f(x)-f(x)=1-x由一阶线性非齐次微分方程的通解公式，得*所以f(
17、x)-xe -x =C，至此，可令辅助函数为 g(x)=f(x)-xe-x =-(x)e -x由已知条件及(1)中结论，知 g(x)也是连续函数，且g(0)=f(x)-0e0=0，g()=-()e - =0由罗尔定理知存在一点 (0，)，使得 g()=0又g(x)=-e -x f(x)-x+e-x f(x)-1所以-f()-+f()-1=0此即 f()-f()-=1证毕)解析：解析 介值定理、罗尔定理19.一商家销售某种商品的价格满足关系 p=7-0.2x(万元/吨)，x 为销量(单位：吨)，商品的成本函数是C=3x+1(万元) (1) 若每销售一吨商品，政府要征税 t(万元)，求该商家获得最
18、大利润时的销售量； (2) 在此销售量情形下 t 为何值时，政府税收总额最大?（分数：10.00）_正确答案：(由题设，设 T 为总税额，则 T=tx，而商品销售总收入为R=px=(7-0.2x)x=7x-0.2x2，利润函数为=R-C-T=7x-0.2x 2-3x-1-tx=-0.2x2+(4-t)x-1，令*可得*，且此时*解得*，因此*即为利润最大时的销售量(2) 将*代入总税额 T，则*令*，可求出 t=2又由于*，所以 t=2 时 T 为极大值，由题意知此极大值也即最大值，所以 t=2 时政府总税额最大)解析：解析 一元函数的最值20.设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2为 A 的分别
19、属于特征值-1，1 的特征向量，向量 3满足 A 3= 2+ 3，() 证明 1， 2， 3线性无关；() 令 P=( 1， 2， 3)，求 P-1AP（分数：11.00）_正确答案：() 假设 1， 2， 3线性相关，则 3可由 1， 2线性表出，可设 3=k1 1+k2 2，其中 k1，k 2不全为 0，则由等式 A 3= 2+ 3得到 2=0，不符合题设因为 1， 2为矩阵 A 的分别属于特征值-1，1 的特征向量，所以 1， 2相互独立，且有A 1=- 1，A 2= 2，则 A 3=A(k1 1+k2 2)=-k1 1+k2 2= 2+k1 1+k2 2又 1， 2相互独立，等式中 1
20、， 2的对应系数相等，即*显然此方程组无解，故假设不成立，从而可知 1， 2， 3线性无关() 因为 1， 2， 3线性无关，所以矩阵 P=( 1， 2， 3)可逆由于AP=A( 1， 2， 3)=(- 1， 2， 2+ 3)*等式两边同时左乘矩阵 P 的逆矩阵 P-1，可得*)解析：解析 向量的线性相关性和矩阵的特征值与特征向量21.计算二重积分 ，其中 D 是由直线 x=-2，y=0，y=2 以及曲线 （分数：11.00）_正确答案：(由题设，积分区域 D 如下图阴影所示，其在 D1为辅助性半圆形区域，从而*其中*关于*可采用极坐标计算，即*综上，*)解析：解析 二重积分 评注 本题也可采
21、取累次积分方法，先对 x 积分，后对 y 积分(若采取相反次序，则需将 D 分为三个区域进行积分)，即 * 令 y-1=sint则 dy=costdt，从而 * 所以*22.求幂级数 （分数：11.00）_正确答案：(依题意，当 x=0 时，幂级数*，收敛当 x0 时，因为*所以当 x21 即|x|1 时，幂级数收敛；当 x21 即|x|1 时，幂级数发散当 x=1 时，幂级数变为收敛的交错级数*当 x=1 时，幂级数变为收敛的交错级数*综上，幂级数的收敛域为-1，1令*则S(x)=xS1(x)，S 1(0)=0 S1(0)=0，*逐项积分可得*再逐项积分得*因为幂级数*在 x=1 时收敛，且
22、上面所得函数在 x=1 处连续，所以*代入得*)解析：解析 幂级数的计算23.设随机变量 X 的概率密度为令 Y=X2，F(x，y)为二维随机变量(X，Y)的分布函数求：() Y 的概率密度 fY(y)；() Cov(X，Y)；() （分数：11.00）_正确答案：() 由已知条件得 P-1X2=1，所以 P0Y4=1当 y0 时，F Y(y)=PYy)=0；当 0y1 时，*，于是* 当 1y4 时，*，于是*当 y4 时，F Y(y)=PYy)=1综上，Y 的分布函数为*所以 Y 的概率密度为*() cov(X，Y)=cov(X，X 2)=E(X3)-E(X)E(X2)因为*所以*() *)解析：解析 二维随机变量及其分布
