1、考研数学三-165 及答案解析(总分：146.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 在(-，+)可导，则其中的常数（分数：4.00）A.B.C.D.2.曲线 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设方程 x2y+ex=1+cos(x2+y)确定的隐函数 y=y(x)满足 y(0)= （分数：4.00）A.B.C.D.4.设幂级数 在 x=2 处条件收敛，则幂级数 （分数：4.00）A.B.C.D.5.已知 4 元齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系是 1=(1，2，-1，0) T， 2(2，3，0，1) T则 Ax=0 的解不能是(A) (4，5，2
2、，3) T (B) (4，7，-2，1) T(C) (5，8，1，5) T (D) (0，0，0，0) T（分数：4.00）A.B.C.D.6.已知 =(1，-3，2) T，=(0，1，-1) T，矩阵 A=2 T+7E，则矩阵 A 的最小特征值的特征向量是(A) (B) (C) + (D) -（分数：4.00）A.B.C.D.7.没随机变量 XN(0，1)和 yN(1，1)，且相互独立，则 PY1-X=（分数：4.00）A.B.C.D.8.设随机变量 X 服从正态分布 N(， 2)，0，其分布函数为 F(x)，则对任意实数 x 均有(A) F(+x)+F(-x)=1 (B) F(x+)+F(
3、x-)=1(C) F(+x)+F(-x)=0 (D) F(x+)-F(x-)=0（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)在 x=0 的某邻域内有定义，且满足 ，则 （分数：4.00）10.设函数 f(x)在点 x=0 处连续，且 （分数：4.00）填空项 1:_11. （分数：4.00）填空项 1:_12.设积分区域 D 由直线 y=1，y=x 与 y=-x 围成，则 （分数：4.00）填空项 1:_13.已知 A=( 1， 2， 3，)和 B=( 1， 2， 3，)都是 4 阶矩阵其中 1， 2， 3， 均为 4 维列向量，且|A|=2，|
4、B|=-3则|2A+B|=_.（分数：4.00）填空项 1:_14.设 X1，X 2，X n，为来自标准正态总体 X 的简单随机样本，记 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：90.00)15.设 f(x)=arcsinx，且 f(0)=0求定积分 （分数：10.00）_16.设函数 f(x)在区问0，+)上具有二阶连续导数，且 f(0)=f(0)=0，f“(x)0，若对任意的 x0，用函数 u(x)表示曲线在切点(x，f(x)处的切线在 x 轴上的截距，如图()写出函数 u(x)的表达式，并求()求 （分数：10.00）_17.求二元函数 z(x，y)=x 2+48x
5、y+32y2在区域 D=(x，y)|x 2+4y225 上的最大值与最小值（分数：10.00）_18.求函数 （分数：10.00）_19.求二阶常系数线性微分方程 y“+4y=12cos2x 满足 y(0)=1，y(0)=-2 的特解（分数：10.00）_20.已知矩阵 与矩阵 （分数：10.00）_21.设 A 是各行元素之和均为 0 的三阶矩阵， 是线性无关的三维列向量，并满足A=3，A=3()证明矩阵 A 和对角矩阵相似；()如 =(0，-1，1) T，=(1，0，-1) T，求矩阵 A；()用配方法化二次型 xTAx 为标准形，并写出所用坐标变换（分数：10.00）_22.设二维离散型
6、随机变量(X，Y)的概率分布的部分数据如下：（分数：10.00）_23.设随机变量 X 与 Y 相互独立，均服从参数为 1 的指数分布记 Z1=min(X，Y)和 Z2=max(X，Y)试求()Z 1和 Z2的密度函数 f1(z)和 f2(z)；()求 EZ1和 EZ2（分数：10.00）_考研数学三-165 答案解析(总分：146.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 在(-，+)可导，则其中的常数（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由定义知 f(x)分别在-3，3，(-，-3)以及(3，+)可导，为使 f(x)在(-，+)可导，只需验
7、算 f(x)是否在 x=-3 及 x=3 可导，又因 f(x)是偶函数，它在 x=3 与 x=-3 处有相同的性质，所以只需讨论它在 x=3 处的可导性首先 f(x)在 x=3 处应连续，即 f(x)在 x=3 处的左、右极限应与 f(3)相等，由于在-3，3上 f(x)=a+bx2，从而它在 x=3 处左连续且 f(3)=a+9b，它在 x=3 处的右极限为 ，因此 f(x)在 x=3 处连续的充分必要条件为 a+9b=3类似可知 f(x)在 x=3 处的左导数 66当 a+9b=3 时 f(x)在 x=3 处的右导数，.从而 f(x)在 x=3 处可导的充要条件是 6b=-1，即 ，且2.
8、曲线 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由于函数 在(-，+)连续，从而曲线没有垂直渐近线故关键在于分析 当x时的性态，令则不难发现 这样一来曲线方程可改写为y=3-x+|x|+g(x)，目3.设方程 x2y+ex=1+cos(x2+y)确定的隐函数 y=y(x)满足 y(0)= （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 将方程两端对 x 求导数可得2xy+x2y+ex=-sin(x2+y)(2x+y) (*)将 与 x=0 代入即得再将(*)式两端对 x 求导数又有2y+2xy+2xy+x2y“+ex=-cos(x2+y)(2x+y)2-sin(x2+y)(2+y“)，(
9、*)将 ，y(0)=-1 与 x=0 代入又得4.设幂级数 在 x=2 处条件收敛，则幂级数 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 从 在 x=2 处条件收敛，只能保证当|x-1|2-1|=1 即 0x2 时级数的收敛性，对于级数5.已知 4 元齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系是 1=(1，2，-1，0) T， 2(2，3，0，1) T则 Ax=0 的解不能是(A) (4，5，2，3) T (B) (4，7，-2，1) T(C) (5，8，1，5) T (D) (0，0，0，0) T（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由题意 Ax=0 的通解是 k1 1+k2 2，齐
10、次方程组肯定有零解(D)必正确现在的问题是(A)、(B)、(C)谁不能由 1， 2线性表出?6.已知 =(1，-3，2) T，=(0，1，-1) T，矩阵 A=2 T+7E，则矩阵 A 的最小特征值的特征向量是(A) (B) (C) + (D) -（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 B= T，则秩 r(B)=1由 T=-5，知矩阵 B 的特征值是-5，0，0那么矩阵 A=2B+7E 的特征值是-3，7，7矩阵 B 关于 =-5 的特征向量就是矩阵 A 关于 -3 的特征向量而 B=( T)=( T)=-5，所以应选(B)7.没随机变量 XN(0，1)和 yN(1，1)，且相互独立，
11、则 PY1-X=（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 XN(0，1)，YN(1，1)，且 X 与 Y 相互独立，则X+YN(1，2)，X+Y 的概率密度具有对称中心 1所以评注 本题如果不用 X+YN(1，2)具有对称性，而直接利用公式：其中 ，这样的计算量会大大增加，当然结果也是8.设随机变量 X 服从正态分布 N(， 2)，0，其分布函数为 F(x)，则对任意实数 x 均有(A) F(+x)+F(-x)=1 (B) F(x+)+F(x-)=1(C) F(+x)+F(-x)=0 (D) F(x+)-F(x-)=0（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 方法 1 用图示法，不
12、妨假设 X0X 的密度函数在 x= 处对称，把 f(x)曲线下四块面积大小记为，由对称性知=，=，且 F(+x)=+F(-x)=所以 F(+x)+F(-x)=+=+=1方法 2 其中 (x)为标准正态分布函数所以二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)在 x=0 的某邻域内有定义，且满足 ，则 （分数：4.00）解析：解析 建立两个函数极限之间的关系以便利用已知条件，由于其中 可用洛必达法则计算如下：从而所求极限评注 熟悉 sinx 与 tanx 的麦克劳林公式 与 tanx=10.设函数 f(x)在点 x=0 处连续，且 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y=3
13、x）解析：解析 由所给条件 可知11. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 令 从而 x:1+对应 y:10 代入即得其中 ，进一步计算即得12.设积分区域 D 由直线 y=1，y=x 与 y=-x 围成，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 积分区域 D=(x，y)|0y1，-yxy，如图从而13.已知 A=( 1， 2， 3，)和 B=( 1， 2， 3，)都是 4 阶矩阵其中 1， 2， 3， 均为 4 维列向量，且|A|=2，|B|=-3则|2A+B|=_.（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：27）解析：解析 由 2A+B
14、=(3 1，3 2，3 3，2+)知|2A+B|=27| 1， 2， 3，2+|=27(| 1， 2， 3，2|+| 1， 2， 3，|)=27(2|A|+|B|)=2714.设 X1，X 2，X n，为来自标准正态总体 X 的简单随机样本，记 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 已知且 与 S2相互独立，也就有 与 S 相互独立总之三、解答题(总题数：9，分数：90.00)15.设 f(x)=arcsinx，且 f(0)=0求定积分 （分数：10.00）_正确答案：(解 由题设 f(x)=arcsinx 及 f(0)=0 可知 于是其中积分区域 D=(x，y)|0x
15、1，0yx(如图)为计算所得的二重积分可交换积分次序从而)解析：16.设函数 f(x)在区问0，+)上具有二阶连续导数，且 f(0)=f(0)=0，f“(x)0，若对任意的 x0，用函数 u(x)表示曲线在切点(x，f(x)处的切线在 x 轴上的截距，如图()写出函数 u(x)的表达式，并求()求 （分数：10.00）_正确答案：(如图，设点 M 的坐标为(x，f(x)，点 N 的坐标为(x，0)，点 P 的坐标为(u(x)，0)，则 MN 的长度是 f(x)，NP 的长度是 x-u(x)，从而由导数的几何意义知用洛必达法则可得又因() )解析：17.求二元函数 z(x，y)=x 2+48xy
16、+32y2在区域 D=(x，y)|x 2+4y225 上的最大值与最小值（分数：10.00）_正确答案：(分析 首先求函数 z(x，y)在区域 D 内的驻点及驻点处的函数值令可得 z(x，y)在区域 D 内有唯一驻点(0，0)，且在驻点处 z(0，0)=0其次，求函数 z(x，y)在区域 D 的边界 x2+4y2=25 即 x2+4y2-25=0 上的最大值与最小值可用拉格朗日乘数法求解，为此引入拉格朗日函数 F(x，y，)=x 2+48xy+32y2+(x 2+4y2-25)，并求它的驻点，即求如下方程组的非零解：由代数知识可得方程组(1)与(2)存在非零解的充分必要条件是系数行列式解出可得
17、 1=8， 2=-17对应于 1=8 方程(1)与方程(2)变成 3x+8y=0，把它代入方程(3)可解出两个驻点与 对应于 2=-17 方程(1)与方程(2)变成 2x-3y=0，把它代入方程(3)可解出两个驻点 P3(3，2)与P4(-3，-2)计算函数 x(x，y)在区域 D 的边界上四个驻点处的函数值可得： ，z(3，2)=z(-3，-2)=425，把这四个函数值与 z(0，0)=0 比较，即知二元函数 z(x，y)=x 2+48xy+32y2在区域 D=(x，y)|x 2+4y225上的最大值是 425，最小值是-200 )解析：18.求函数 （分数：10.00）_正确答案：(解 利
18、用相乘即得其中 )解析：19.求二阶常系数线性微分方程 y“+4y=12cos2x 满足 y(0)=1，y(0)=-2 的特解（分数：10.00）_正确答案：(解 由特征方程 2+4=0 可得特征根为 1=2i 与 2=-2i，且方程有二线性无关特解y1=cos2x 与 y2=sin2x结合非齐次项 f(x)=12cos2x 可知方程具有形状为 y*(x)=x(Acos2x+Bsin2x)的特解把y*(x)=Acos2x+Bsin2x+2x(-Acos2x+Bcos2x)，y*(x)“=4(-Acos2x+B)-4x(Acos2x+Bsin2x)代入方程即得)解析：20.已知矩阵 与矩阵 （分
19、数：10.00）_正确答案：(矩阵 A 和 B 等价 A 和 B 均为 mn 矩阵且秩 r(A)=r(B)对矩阵 A 作初等变换，有由秩 r(B)=2，知 r(A)=2，故 a=6()对矩阵 A 作初等变换化为矩阵 B，有把所用初等矩阵写出，得)解析：21.设 A 是各行元素之和均为 0 的三阶矩阵， 是线性无关的三维列向量，并满足A=3，A=3()证明矩阵 A 和对角矩阵相似；()如 =(0，-1，1) T，=(1，0，-1) T，求矩阵 A；()用配方法化二次型 xTAx 为标准形，并写出所用坐标变换（分数：10.00）_正确答案：(矩阵 A 各行元素之和均为 0，即知 0 是矩阵 A 的
20、特征值， 1=(1，1，1) T是矩阵 A 属于特征值 =0 的特征向量又 A(+)=3(+)，A(-)=-3(-)且由 ， 线性无关，知 +，- 均不是零向量从而，3 和-3 都是矩阵 A 的特征值+，- 卢分别是 =3 和 =-3 的特征向量，那么矩阵 A 有 3 个不同的特征值，所以AA()当 =(0，-1，1) T，=(1，0，-1) T时，按已知有所以()令 即 )解析：22.设二维离散型随机变量(X，Y)的概率分布的部分数据如下：（分数：10.00）_正确答案：(首先将空白处填上待求未知数显然 p11+0.02=0.1，故 p11=0.08又因 0=EX=-1P1.+1p2.=p2
21、.-p1.，也就有 p1.p2.=0.5所以而 1=0.1+p.2+p.3=0.1+(p12+p22)+(0.1+p23)，即 p12+p22+p23=0.8再考虑到 p22+p23=0.48，所以 p12=0.32，进一步得 p11=0.08总之现有 p11=0.08，p 12=0.32，p 22+p23=0.48现考虑 X，Y 不相关，即 cov(X，Y)=0，也就有 EXY=EXEY=0而 XY 的分布由此得 EXY=-0.12+p11+p23=0，即 p23=0.04而 p22+p23=0.48，p 22=0.44总之()X，Y 显然不独立，因 pijp i.pj.()解析：23.设随
22、机变量 X 与 Y 相互独立，均服从参数为 1 的指数分布记 Z1=min(X，Y)和 Z2=max(X，Y)试求()Z 1和 Z2的密度函数 f1(z)和 f2(z)；()求 EZ1和 EZ2（分数：10.00）_正确答案：(X，Y 独立，E(1)，其密度指数分布有：记 Z1的分布 F1(z)，z0，F 1(z)=PZ1z=Pmin(X，Y)z=0z0 时，F 1(z)=PZ1z=Pmin(X，Y)z=1-Pmin(X，Y)z=1-PXz，Yz)=1-PXzPYz=1-e-ze-z=1-e-2x所以现来求 Z2的分布 F2(z)F2(z)=PZ2z=Pmax(X，Y)z=PXz，Yz=PXz)PYz=F X(z)FY(z)=F2(z)()因 Z1E(2) 故评注()中直接运用公式记住这公式会很有用EZ2的计算也可以方便用公式)解析：
