1、考研数学三-408 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在 x=0 的某邻域内可导， （分数：4.00）A.f(0)不是函数 f(x)的极值，但(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点B.f(0)不是函数 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点C.f(0)是函数 f(x)的极小值D.f(0)是函数 f(x)的极大值2.某商品的需求量 Q 对价格的弹性为 pln3，已知该商品的最大需求量为 1200，则需求量 Q 关于价格 p 的函数关系是_ A.Q=12003-p B.Q=12003e-p C.Q
2、=1200e-3p D.Q=12003p（分数：4.00）A.B.C.D.3.设函数 （分数：4.00）A.x=0 为无穷间断点，x=1 为跳跃间断点B.x=0 为无穷间断点，x=1 为可去间断点C.x=0 为可去间断点，x=1 为无穷间断点D.x=0 为可去间断点，x=1 为跳跃间断点4.若 （分数：4.00）A.m，n 为任意正整数B.m，n 均为奇数C.m，n 中至少有一个为奇数D.m+n 必为奇数5.设 ，则 m，n 的取值应为_ （分数：4.00）A.m=3，n=2B.m=3，n=5C.m=2，n=3D.m=2，n=26.设 1 ， 2 ， s 和 1 ， 2 ， t 为两个 n 维
3、向量组，且 r( 1 ， 2 ， s )=r( 1 ， 2 ， t )=r，则_（分数：4.00）A.两向量组等价B.r(1，2，s，1，2，t)=rC.当 1，2，s 可被 1，2，t 线性表出时，1，2，t 也可被(1，2，s 线性表出D.当 s=t 时两向量组等价7.设连续型随机变量 X 的概率密度函数 f(x)是一个偶函数，F(x)为 X 的分布函数，则对任意实数 xR，有 F(-x)+F(x)等于_（分数：4.00）A.0B.1C.2D.-18.设 A，B，C 是两两独立且不能同时发生的随机事件，且 P(A)=P(B)=P(C)=x，则 x 的最大值为_ A B1 C D （分数：4
4、.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）10.已知当 x0 时， （分数：4.00）11.设 x 是方程 x+y-z=e z 所确定的函数，则 （分数：4.00）12.差分方程 （分数：4.00）13.设 A 为三阶方阵，A= 1 ， 2 ， 3 ，其中 i (i=1，2，3)为三维列向量，且 A 的行列式|A|=-2，则行列式|- 1 -2 2 ，2 2 +3 3 ，-3 3 +2 1 |= 1 （分数：4.00）14.设随机变量 X，Y 独立同分布： X 0 1 2 P （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设
5、（分数：10.00）_16.已知 y=x 2 ln(1-x)，求 y (50) （分数：10.00）_17.求 （分数：10.00）_18.求由曲线 x 2 +(y-2a) 2 a 2 所围平面图形绕 x 轴旋转得到的旋转体体积 （分数：10.00）_19.求微分方程 y“-3y“-4y=(10x-7)e -x +34sin 的通解 （分数：10.00）_20.已知线性方程组 （分数：11.00）_证明：（分数：11.00）(1).若 A 可逆，且 AB，则 A*B*；（分数：5.50）_(2).若 AB，试证存在可逆矩阵 P，使 APBP（分数：5.50）_X 和 Y 是相互独立的随机变量，
6、其概率密度分别为 其中 0，0 是常数，引入随机变量 （分数：11.00）(1).求条件概率密度 f X | Y (x|y)；（分数：5.50）_(2).求 Z 的分布律（分数：5.50）_21.设 X 1 ，X 2 ，X n ，X n+1 为来自正态总体 XN(， 2 )的简单随机样本，记 试证：统计量 （分数：11.00）_考研数学三-408 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在 x=0 的某邻域内可导， （分数：4.00）A.f(0)不是函数 f(x)的极值，但(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点B.f(0)
7、不是函数 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点C.f(0)是函数 f(x)的极小值D.f(0)是函数 f(x)的极大值 解析：解析 由条件及极限的不等式性质知，存在 0，使得当 0|x| 时，2.某商品的需求量 Q 对价格的弹性为 pln3，已知该商品的最大需求量为 1200，则需求量 Q 关于价格 p 的函数关系是_ A.Q=12003-p B.Q=12003e-p C.Q=1200e-3p D.Q=12003p（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 根据需求弹性的定义与题设，可知 ，由此即得： 3.设函数 （分数：4.00）A.x=0 为无穷间断点，x=1
8、为跳跃间断点 B.x=0 为无穷间断点，x=1 为可去间断点C.x=0 为可去间断点，x=1 为无穷间断点D.x=0 为可去间断点，x=1 为跳跃间断点解析：解析 由 ，知 x=0 为 f(x)的无穷间断点由 4.若 （分数：4.00）A.m，n 为任意正整数B.m，n 均为奇数C.m，n 中至少有一个为奇数 D.m+n 必为奇数解析：解析 积分区域关于 x 轴、y 轴都对称，被积函数只要 m，n 中有一个为奇数，即可知奇函数在相应的对称区域上积分为 0，故选 C5.设 ，则 m，n 的取值应为_ （分数：4.00）A.m=3，n=2B.m=3，n=5 C.m=2，n=3D.m=2，n=2解析
9、：解析 注意 ，所以 6.设 1 ， 2 ， s 和 1 ， 2 ， t 为两个 n 维向量组，且 r( 1 ， 2 ， s )=r( 1 ， 2 ， t )=r，则_（分数：4.00）A.两向量组等价B.r(1，2，s，1，2，t)=rC.当 1，2，s 可被 1，2，t 线性表出时，1，2，t 也可被(1，2，s 线性表出 D.当 s=t 时两向量组等价解析：解析 不妨设 1 ， 2 ， s 的极大无关组为 1 ， 2 ， r ； 1 ， 2 ， t 的极大无关组为 1 ， 2 ， r ，则考虑： 1 ， s ； 1 ， t (*) 若 1 ， s 可被 1 ， t 线性表示，则 1 ，
10、r 也可被 1 ， r 表示，即 1 ， t 是(*)式的极大无关组，又 1 ， r 线性无关，故 1 ， r 也是(*)的极大无关组，从而 1 ， t 可由 1 ， r 线性表示，故 1 ， 2 ， t 也可由 1 ， 2 ， s 线性表示，因此 C 成立7.设连续型随机变量 X 的概率密度函数 f(x)是一个偶函数，F(x)为 X 的分布函数，则对任意实数 xR，有 F(-x)+F(x)等于_（分数：4.00）A.0B.1 C.2D.-1解析：解析 8.设 A，B，C 是两两独立且不能同时发生的随机事件，且 P(A)=P(B)=P(C)=x，则 x 的最大值为_ A B1 C D （分数：
11、4.00）A. B.C.D.解析：解析 由题设 P(AB)=P(AC)=P(BC)=x 2 ，P(ABC)=0，于是 P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=3x-3x 2 ， 而 P(A+B+C)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=2x-x 2 ，故有 3x-3x 2 2x-x 2 ，解得 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）解析：解析 10.已知当 x0 时， （分数：4.00）解析： 解析 由题设 11.设 x 是方程 x+y-z=e z 所确定的函数，则 （分数：4.00）解析： 解析 两
12、边分别对 x，y 求偏导，得 即 12.差分方程 （分数：4.00）解析： 解析 将原方程改写为 ，根据公式该方程有特解 故原方程的通解为 13.设 A 为三阶方阵，A= 1 ， 2 ， 3 ，其中 i (i=1，2，3)为三维列向量，且 A 的行列式|A|=-2，则行列式|- 1 -2 2 ，2 2 +3 3 ，-3 3 +2 1 |= 1 （分数：4.00）解析：12 解析 把第 2，3 列分别加到第 1 列得 原式=| 1 ，2 2 +3 3 ，-3 3 +2 1 |=| 1 ，2 2 +3 3 ，-3 3 | =| 1 ，2 2 ，-3 3 |=-6| 1 ， 2 ， 3 |=1214
13、.设随机变量 X，Y 独立同分布： X 0 1 2 P （分数：4.00）解析： 解析 由题设不难看出，随机变量 Z 服从二项分布 B3，P(X=Y)，只需求出事件X=Y的概率，注意到 X，Y 的独立性 P(X=Y)=P(X=0，Y=0)+P(X=1，Y=1)+P(X=2，Y=2) =P(X=0)P(Y=0)+P(X=1)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=2) 于是， 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 （分数：10.00）_正确答案：()解析：由于 X-1 时，分母趋于零，这样，为使其存在极限，分子必须也趋于零，即此式为 型未定式 注意到，为使分子为无穷小量，必须(-1) 3
14、 -a+1+4=0，即 a=4 将 a=4 代入原极限式，再使用洛必达法则，就有 16.已知 y=x 2 ln(1-x)，求 y (50) （分数：10.00）_正确答案：()解析：高阶导数的计算要寻找规律，否则就很繁琐由归纳法导出 y (50) 的公式： 17.求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：令 ，代入原式得： 18.求由曲线 x 2 +(y-2a) 2 a 2 所围平面图形绕 x 轴旋转得到的旋转体体积 （分数：10.00）_正确答案：()解析： 其中 19.求微分方程 y“-3y“-4y=(10x-7)e -x +34sin 的通解 （分数：10.00）_正确答案：()解析
15、：齐次方程 y“-3y“-4y=0 的特征方程为 2 -3-4=0， 由此求得特征根 1 =4， 2 =-1，对应齐次方程的通解为 设非齐次方程的特解为 y*=(Ax+Bx 2 )e -x +Csinx+Dcosx，则 (y*)“=(A+2Bx-Ax-Bx 2 )e -x +Ccosx-Dsinx， (y*)“=(2B-2A-4Bx+Ax+Bx 2 )e -x -Csinx-Dcosx， 代入原方程，求得 A=1，B=-1，C=-5，D=3从而 y“=x(1-x)e -x -5sinx+3cosx 于是，原方程的通解为 20.已知线性方程组 （分数：11.00）_正确答案：()解析： (1)当
16、 a=1，b=3 时，r(A)=2=r( )，方程组有解 (2)当 a=1，b=3 时，与方程组同解的齐次方程组为 其基础解系为 证明：（分数：11.00）(1).若 A 可逆，且 AB，则 A*B*；（分数：5.50）_正确答案：()解析：证明 因 A 可逆，且 AB，则 B 也可逆，且|A|=|B|，于是由 AA*=|A|E，BB*=|B|E，知 A*=|A|A -1 ，B*=|B|B -1 据题意 AB，存在可逆矩阵 P，使得 P -1 AP=B，故 B -1 =(P -1 AP)=P -1 A -1 P， 两边分别乘以|B|，|A|，得|B|B -1 =|A|P -1 A -1 P，即
17、 B*=P -1 A*P，所以 A*B*(2).若 AB，试证存在可逆矩阵 P，使 APBP（分数：5.50）_正确答案：()解析：证明 因 AB，所以存在可逆矩阵 P，使得 P -1 AP=B，即 AP=PB，于是 AP=PB(PP -1 )=P(BP)P -1 ，故 APBPX 和 Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 其中 0，0 是常数，引入随机变量 （分数：11.00）(1).求条件概率密度 f X | Y (x|y)；（分数：5.50）_正确答案：()解析：由题设 y0 时， (2).求 Z 的分布律（分数：5.50）_正确答案：()解析：由二元密度的概率意义及题设 X 和
18、Y 独立且为指数分布，则 于是 Z 的分布律为： 21.设 X 1 ，X 2 ，X n ，X n+1 为来自正态总体 XN(， 2 )的简单随机样本，记 试证：统计量 （分数：11.00）_正确答案：()解析：证明 由简单随机样本的性质，可知 X 1 ，X 2 ，X n ，X n+1 独立且与总体同分布，所以X n+1 N(， 2 )， ，且 X n+1 与 独立，于是 因此 由正态总体的样本方差 的性质可知 且 与 独立，故由 t 分布的典型模式可知 即统计量 服从 t 分布，参数为 n-1 解析 只需记住 t 分布的典型模式：随机变量 X，Y 相互独立，且XN(0，1)，Y 2 (n)，则随机变量
