1、考研数学三-430 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 n(n3)阶矩阵若矩阵 A 的秩为 n-1，则 a 必为_（分数：4.00）A.B.C.D.2.设随机变量 XN(0，1)YN(1，4)且相关系数 XY=1，则_（分数：4.00）A.PY=-2X-1=1B.PY=2X-1=1C.PY=-2X+1=1D.PY=2X+1=13.设 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 1， 2， s均为 n 维列向量，A 是 mn 矩阵，则下列选项正确的是_.（分数：4.00）A.若 1， 2， s线性相关，则 A 1，A 2，A s线
2、性相关B.若 1， 2， s线性相关，则 A 1，A 2，A s线性无关C.若 1， 2， s线性无关，则 A 1，A 2，A s线性相关D.若 1， 2， s线性无关，则 A 1，A 2，A s线性无关5.设周期函数 f(x)在(-，+)内可导，周期为 4, 又 ，则曲线 y=f(x)在点(5，f(5)处的切线的斜率为_（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 A 为 n 阶实矩阵，A T是 A 的转置矩阵，则对于线性方程组()：Ax=0 和()：A TAX=0，必有_（分数：4.00）A.()的解是()的解，()的解也是()的解B.()的解是()的解，但()的解不是()的解C.()的解不是
3、()的解，()的解也不是()的解D.()的解是()的解，但()的解不是()的解7.设随机变量 X 服从正态分布 N(0，1)，对给定的 (0，1)，数 u 满足 PXu =a，若 P|X|x=，则 x 等于_（分数：4.00）_8.设函数 f(x)连续, 其中区域 Duv为图中阴影部分，则（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知 f(x)是微分方程 满足 f(1)=0 的特解，则 （分数：4.00）填空项 1:_10.设 n 维向量 =(a，0，0，a) T，a0E 为 n 阶单位矩阵，矩阵 A=E- T， （分数：4.00）填空项 1:_11.甲袋
4、中有 5 只白球，5 只红球，15 只黑球，乙袋中有 10 只白球，5 只红球，10 只黑球，从两袋中各取一球，则两球颜色相同的概率为_（分数：4.00）填空项 1:_12.若 （分数：4.00）填空项 1:_13.交换积分次序， （分数：4.00）填空项 1:_14.设总体 X 服从正态分布 N(0，2 2)，而 X1，X 2，X 15是来自总体 X 的简单随机样本，则随机变量（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 f(x)在1，+)上连续若由曲线 y=f(x)，直线 x=1，x=t(t1)与 x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体
5、积为试求 y=f(x)所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件 （分数：9.00）_16.设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(x)0试证存在 ，(a，b)，使得（分数：9.00）_17.设向量 1， 2， t，是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，向量 不是方程组 Ax=0 的解，即 A0试证明：向量组 ，+ 1，+ 2，+ t线性无关（分数：11.00）_18.设 m 元线性方程组 Ax=b，其中（分数：11.00）_19.设某种商品的单价为 p 时，售出的商品数量 Q 可以表示成（分数：10.00）_20.假设随机变量 U 在区间-2，2上服从均匀分布，随机变
6、量（分数：11.00）_21.求连续函数 f(x)，使它满足 （分数：11.00）_22.将函数 f(x)=ln(1-x-2x2)展开成 x 的幂级数，并指出其收敛区间（分数：11.00）_23.设 n 阶矩阵（分数：11.00）_考研数学三-430 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 n(n3)阶矩阵若矩阵 A 的秩为 n-1，则 a 必为_（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点提示 矩阵的秩解题分析 由题设，r(A)=n-1，则|A|=0 且 a1，即 A 可直接排除*结合前述知 a1，知*，所以选 B评注 由于本题
7、结论对于一切 n(n3)都应成立，因此可就 n=3 的情况加以讨论，即*，对 A 进行初等行变换得*，且 r(A)=2，从而 1+2a=0，即*，由 n=3，可知 4 个选项中只有 B 成立2.设随机变量 XN(0，1)YN(1，4)且相关系数 XY=1，则_（分数：4.00）A.PY=-2X-1=1B.PY=2X-1=1C.PY=-2X+1=1D.PY=2X+1=1 解析：考点提示 随机变量的数字特征解题分析 设 Y=aX+b，因为相关系数 XY=1，所以 X，Y 正相关，即有 a0又 XN(0，1)，YN(1，4)，则 E(X)=0，D(X)=1，E(Y)=1，D(Y)=4，从而E(Y)=
8、E(aX-b)=aE(X)+b=b=1，D(Y)=D(aX+b)=a2D(X)=a2=4解得 a=2，b=1故应选 D3.设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点提示 无穷小的阶、洛必达法则、变上限定积分求导解题分析 由题设，*因而选 B4.设 1， 2， s均为 n 维列向量，A 是 mn 矩阵，则下列选项正确的是_.（分数：4.00）A.若 1， 2， s线性相关，则 A 1，A 2，A s线性相关 B.若 1， 2， s线性相关，则 A 1，A 2，A s线性无关C.若 1， 2， s线性无关，则 A 1，A 2，A s线性相关D.若 1， 2， s线性无关，则 A 1，A 2
9、，A s线性无关解析：考点提示 向量组的线性相关性解题分析 用秩的方法判断线性相关性因为(A 1，A 2，A s)=A( 1， 2 s)，所以r(A 1，A 2，A s)r( 1， 2， s)又若 1， 2， s线性相关，则 r( 1， 2， s)s，从而r(A 1，A 2，A s)s所以 A 1，A 2，A s线性相关故选 A5.设周期函数 f(x)在(-，+)内可导，周期为 4, 又 ，则曲线 y=f(x)在点(5，f(5)处的切线的斜率为_（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点提示 导数的几何意义解题分析 由题设，f(x)的周期为 4，则所求点(5，f(5)处切线的斜率应该与(1
10、，f(1)处的斜率相同，则由导数定义知*即为所求斜率，又由*则*所以点(5，f(5)处切线的斜率为-2选 D6.设 A 为 n 阶实矩阵，A T是 A 的转置矩阵，则对于线性方程组()：Ax=0 和()：A TAX=0，必有_（分数：4.00）A.()的解是()的解，()的解也是()的解 B.()的解是()的解，但()的解不是()的解C.()的解不是()的解，()的解也不是()的解D.()的解是()的解，但()的解不是()的解解析：考点提示 齐次线性方程组的解解题分析 由题设，()：Ax=0()：A TAx=0，则当 x 是()的解时，Ax=0，从而 ATAx=0，即 x 也是()的解当 x
11、是()的解时，A TAx=0，从而 xTATAx=(Ax)TAx=0，因此 Ax=0，所以 x 也是()的解综上知 A 正确评注 事实上，x=0 既是()也是()的解，由此可直接排除 B，C，D7.设随机变量 X 服从正态分布 N(0，1)，对给定的 (0，1)，数 u 满足 PXu =a，若 P|X|x=，则 x 等于_（分数：4.00）_解析：考点提示 正态分布解题分析 由题设，XN(0，1)则 PXu 0=1-(u 0)=a，即 (u 0)=1-a，其中 (x)为 N(0，1)的分布函数，从而 P|X|x=2(x)-1=a，即*评注 本题也可采用以下方法求解由PXx=1-PX-x=1-P
12、Xx，及已知 PXu = 知P|X|x=P-xXx=PXx)-PX-x=1-PXx-PXx=1-2PXx8.设函数 f(x)连续, 其中区域 Duv为图中阴影部分，则（分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点提示 积分的坐标变换解题分析 在极坐标系下，*则*故应选 A二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知 f(x)是微分方程 满足 f(1)=0 的特解，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-/8）解析：考点提示 微分方程的特解解题分析 因为*将*及 f(1)=0 代入得*即*故*10.设 n 维向量 =(a，0，0，a) T，a0E 为 n 阶单位矩阵，矩阵 A=
13、E- T， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-1）解析：考点提示 单位矩阵、逆矩阵解题分析 B=A -1 AB=E即*亦即*由于 TO，故*，再根据 a0 可解得 a=-111.甲袋中有 5 只白球，5 只红球，15 只黑球，乙袋中有 10 只白球，5 只红球，10 只黑球，从两袋中各取一球，则两球颜色相同的概率为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点提示 随机事件的独立性解题分析 设 Ai：从甲袋取出的球的颜色依次为白、红、黑Bi：从乙袋中取出的球的颜色依次为白、红、黑(i=1，2，3)C：取出的球颜色相同则 C=A1B1+A2B2+A3B3故*12.若
14、 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点提示 定积分解题分析 由题设令*，A 为常数，则*从而*于是*13.交换积分次序， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点提示 交换积分顺序求定积分解题分析 由原积分顺序得积分区域为*化为先 y 后 x 的积分顺序时应将 D 分为下述两部分：*从而*14.设总体 X 服从正态分布 N(0，2 2)，而 X1，X 2，X 15是来自总体 X 的简单随机样本，则随机变量（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：F；10，5）解析：考点提示 F 分布解题分析 由已知，X iN(0.2 2)，因此*则*且由题意知*
15、，相互独立，从而由 F 分布之定义得*，即 Y 服从 F 分布，参数为 10，5三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 f(x)在1，+)上连续若由曲线 y=f(x)，直线 x=1，x=t(t1)与 x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体积为试求 y=f(x)所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件 （分数：9.00）_正确答案：(由题设，旋转体体积应为*，则*两边对 t 求导，得*即 t2f(t)-3f2(t)+2tf(t)=0令*，分离变量得*。积分得*，因此*又由已知*，则可解出 C=-1，从而*，所以*)解析：考点提示 旋转体的体积、一阶微分方程16.设函数
16、 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(x)0试证存在 ，(a，b)，使得（分数：9.00）_正确答案：(由题设，引入辅助函数，即 g(x)=ex，则 f(x)与 g(x)在区间a，b上满足柯西中值定理的条件，所以知存在一点 n(a，b)，使得*又 f(x)在区间a，b上满足拉格朗日中值定理的条件，则存在一点 (a，b)，使得f(b)+f(a)=f()(b-a) (2)将(2)式代入(1)式可得*整理得*证毕)解析：考点提示 微分中值定理17.设向量 1， 2， t，是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，向量 不是方程组 Ax=0 的解，即 A0试证明：向量组 ，+ 1，+
17、 2，+ t线性无关（分数：11.00）_正确答案：(设有一组数 k，k 1，k 2，k t使得*上式两边同时左乘矩阵 A，有*因为 A0，故*由式得*由于向量组 1， t，是基础解系，所以k1=k2=kt=0因而，由式得 k=0因此，向量组 ，+ 1，+ t线性无关)解析：考点提示 证明一组向量线性无关，最基本的方法是定义法评注 本题综合考查了基础解系的概念和向量组线性无关的判定，向量组的线性关系的判定常用定义法，并且一般要对等式 k1 1+k2 2+kn n=0 作恒等变形，常用技巧是在等式的两边同乘一个矩阵或向量以便利用已知条件18.设 m 元线性方程组 Ax=b，其中（分数：11.00
18、）_正确答案：() 利用行列式性质，有*() 若方程组 Ax=b 有唯一解，则|A|=(n+1)a n0，即 a0则由克莱姆法则得*() 若使方程组 Ax=b 有无穷多解，则|A|=(n+1)a n=0，即 a=0把 a=0 代入到矩阵 A 中，显然有*，方程组的基础解系含一个解向量它的基础解系为k(1，0，0，0) T(k 为任意常数)代入 a=0 后方程组化为*特解取为(0，1，0，0) T，则方程组Ax=b 的通解为k(1，0，0，0) T+(0，1，0，0) T，其中的 k 为任意常数)解析：考点提示 线性方程组解的结构和通解19.设某种商品的单价为 p 时，售出的商品数量 Q 可以表
19、示成（分数：10.00）_正确答案：(设售出商品的销售额为 R，则*令 R=0，得*当*时，有 R0，所以随单价 P 的增加，相应的销售额也增加当*，有 R0，所以随单价 P 的增加，相应的销售额将减少(2) 由(1)可知，当*时，销售额 R 取得最大值，最大销售额为*)解析：考点提示 由经济意义知，销售额为 R=pQ销售额的增减性可由 R(p)的符号来确定20.假设随机变量 U 在区间-2，2上服从均匀分布，随机变量（分数：11.00）_正确答案：(1) 由题设，(X，Y)的取值有四种可能即(-1，-1)，(-1，1)，(1，-1)，(1, 1)，由已知U 在-2，2上均匀分布，即*；*从而
20、(X，Y)的分布是*(2) 由此X+Y 的分布是*且(X+Y) 2的分布是*从而*)解析：考点提示 联合概率分布、方差21.求连续函数 f(x)，使它满足 （分数：11.00）_正确答案：(方程*两边对 x 求导得f(x)+2f(x)=2x，令 x=0，由原方程得 f(0)=0于是，原问题就转化为求微分方程 f(x)+2f(x)=2x 满足初始条件 f(0)=0 的特解由一阶线性微分方程的通解公式，得*代入初始条件 f(0)=0，得*从而*)解析：考点提示 先在等式两边对 x 求导，消去变限积分，将原方程化为关于未知函数 f(x)的微分方程，再求解该微分方程评注 1 对于含有变限积分的函数方程
21、问题，一般先在等式两边对 x 求导，消去变限积分，将原方程化为关于未知函数的微分方程，再求解该微分方程评注 2 本题虽然只给出 f(x)是连续函数，实际上，隐含着 f(x)可导因为变限积分*可导，所以*可导评注 3 由含有变限积分的函数方程转化为微分方程，一般隐含着初始条件，应在原方程中确定初始条件22.将函数 f(x)=ln(1-x-2x2)展开成 x 的幂级数，并指出其收敛区间（分数：11.00）_正确答案：(由于 f(x)=ln(1-x-2x2)=ln(1+x)+ln(1-2x)，而*所以，*易求得其收敛区间为*)解析：考点提示 幂级数的收敛区间23.设 n 阶矩阵（分数：11.00）_
22、正确答案：() 由题设，先由特征方程|A-E|=0 求 A 的特征值，由*因此 A 的特征值为 1=1+(n-1)b， 2= 3= n=1-b当 b0 时，对应于 1=1+(n-1)b，*不难求出*是(A- 1E)x=0 的基础解系，从而属于 1的特征向量为 C 1=*，其中 C 为任意非 0 常数对应于 2= 3= n=1-b，*易得出基础解系为*从而特征向量为 C2 2+C3 3+Cn n，其中 C2，C 3，C n是不全为 0 的常数当 b=0 时，*，从而 A-E=0，任意非零向量皆为其特征向量() 由前述已知，当 b0A 有 n 个线性无关的特征向量，令P=( 1， 2， 3， n)，则*而当 b=0 时，A=E，任取 P 为可逆矩阵，都有 P-1AP=E)解析：考点提示 特征值、特征向量、矩阵对角化
