1、考研数学三-7 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1. ( )（分数：4.00）A.B.C.D.2.微分方程 y“-2y+y=ex有特解形式 ( )（分数：4.00）A.y*=Ae*，(A0)B.y*=(A+Bx)e*，(B0)C.y*=(A+Bx+Cx2)ex，(C0)D.y*=(A+Bx+Cx2+Dx3)ex，(D0)3.设 f(x)在(0，+)内可导，下述论断正确的是 ( )（分数：4.00）A.设存在 x0，在区间(x，+)内 f(x)有界，则 f(x)在(x，+)内亦必有界B.设存在 x0，在区间(x，+)内 f(x)有界
2、，则 f(x)在(x，+)内亦必有界C.设存在 0，在区间(0，)内f(x)有界，则 f(x)在(0，)内亦必有界D.设存在 0，在区间(0，)内 f(x)有界，则 f(x)在(0，)内亦必有界4.设 1， 2， s是 n 维列向量，A 是 mn 矩形，记向量组() 1， 2， s，()A 1，A 2，A s，则下列命题正确的是 ( )（分数：4.00）A.()线性无关B.()线性无关C.()线性相关D.()()具有相同的线性相关性5. （分数：4.00）A.B.C.D.6.随机变量列 X1，X 2，X n，服从大数定律，则随机变量列 X1，X 2，X n，( )（分数：4.00）A.两两不相
3、关且服从同一指数分布B.两两不相关且服从同一离散型分布C.相互独立且 E(Xi)有界D.相互独立且 D(Xi)存在7.某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 ，已知此人射击 4 次中恰好命中目标2 次，则这 2 次命中是连中的概率为 ( )（分数：4.00）A.B.C.D.8.下列矩阵中是正定矩阵的是 ( )（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）10.设函数 f 与 g 可微，z=f(xy，g(xy)+lnx)，则 （分数：4.00）填空项 1:_11.微分方程 y=(1-y2)tanx 满足 y(0)=2 的特解为
4、 y=_（分数：4.00）填空项 1:_12.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 A 是三阶矩阵，有特征值 1=1， 2=2， 3=2A *是 A 的伴随矩阵，E 是三阶单位阵，则 （分数：4.00）填空项 1:_14.设 X1，X 2，X n为来自标准正态总体的简单随机样本， 和 S2分别为样本均值和样本方差，已知 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设()F“(x)；() （分数：10.00）_16.设 D=(x，y)|0x2，0y2，计算 （分数：10.00）_17.()叙述二元函数 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微及微分 的定义；(
5、)证明下述可微的必要条件定理：设 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微，则 fx(x0，y 0)与 fy(x0，y 0)都存在，且 （分数：10.00）_18.设常数 a0，讨论曲线 y=ax 与曲线 y=2lnx 的公共点的个数（分数：10.00）_19.设 f(x)在 a，b 上存在二阶导数，且 f“(x)0证明： （分数：10.00）_20.设 2，1，2 T，=1，2，-2 T，A=E+ T，计算：()A；()A -1；()A n（分数：11.00）_21.已知 （分数：11.00）_22.商店经销某种商品，每周进货量 X(公斤)与顾客对该种商品的需求量 Y(公斤)是相互独立的
6、，且都在区间 10，20 上服从均匀分布商店每售出该种商品一公斤可得利润 1000 元，若需求量超过进货量，商店可从其他商店调货，这时每公斤商品获利 500 元，若需求量不到进货量，商店因积压，每公斤商品损失 500元，试计算商店经销该种商品每周所得利润的期望值（分数：11.00）_23.某系统由两个相互独立工作的元件串联而成，只要有一个元件不工作，系统就不工作，设第 i 个元件工作寿命为 Xi，已知 XiE( i)， i0，i=1，2试求：()该系统的工作寿命 X 的概率密度 f(x)；()证明：对 t，s0 有 PXt+s|Xt=PXs（分数：11.00）_考研数学三-7 答案解析(总分：
7、150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1. ( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：将 min1，t 2写成分段函数*2.微分方程 y“-2y+y=ex有特解形式 ( )（分数：4.00）A.y*=Ae*，(A0)B.y*=(A+Bx)e*，(B0)C.y*=(A+Bx+Cx2)ex，(C0) D.y*=(A+Bx+Cx2+Dx3)ex，(D0)解析：因为右边 ex指数上的 1 是二重特征根故为 y*=Ax2ex的形式(A0)，即(C)中 C0 的形式故选(C)3.设 f(x)在(0，+)内可导，下述论断正确的是 ( )（分数：4.00）A.设存
8、在 x0，在区间(x，+)内 f(x)有界，则 f(x)在(x，+)内亦必有界B.设存在 x0，在区间(x，+)内 f(x)有界，则 f(x)在(x，+)内亦必有界C.设存在 0，在区间(0，)内f(x)有界，则 f(x)在(0，)内亦必有界 D.设存在 0，在区间(0，)内 f(x)有界，则 f(x)在(0，)内亦必有界解析：对于区间(0，)内任意 x，再另取一固定的 x1，f(x)-f(x1)=f()(x-x 1)f(x)=f(x1)+f()(x-x 1)f(x)|f(x 1)|+M|x-x1|f(x 1)+M所以 f(x)在(0)内必有界其中 M 为 f(x)在(0，)内的一个界可以举出
9、反例说明(A)，(B)，(D)均不成立，例略4.设 1， 2， s是 n 维列向量，A 是 mn 矩形，记向量组() 1， 2， s，()A 1，A 2，A s，则下列命题正确的是 ( )（分数：4.00）A.()线性无关B.()线性无关 C.()线性相关D.()()具有相同的线性相关性解析：A 1，A 2，A线性无关*() 1， 2， s线性无关成立证明(用反证法)如下：假设 1， 2， 3， s，线性相关，则存在不全为零的数 k1，k 2，k 2，使得k1 1+k2 2+ks s=0 (*)(*)式左乘 A，得A(k1 1+k2 2+ks s)=k1A 1+k2A 2+ksA s=0因 k
10、1，k 2，k s不全为零，得 A 1，A 2，A s线性相关，这和已知矛盾，故 1， 2， s必线性无关，(B)成立(A)，(C)，(D)不成立，只需举出反例即可例*线性无关，取 A=0，则()A 1，A 2线性相关则1() 1， 2线性无关*A 1，A 2线性无关不成立，(A)不成立2()A 1，A 2线性相关* 1， 2线性相关不成立，(C)不成立3 1， 2和 A 1，A 2具有相同的线性相关性不成立，(D)不成立由排除法，应选(B)5. （分数：4.00）A.B.C. D.解析：f(x)为偶函数，f(0)0，由积分中值定理，*6.随机变量列 X1，X 2，X n，服从大数定律，则随机
11、变量列 X1，X 2，X n，( )（分数：4.00）A.两两不相关且服从同一指数分布 B.两两不相关且服从同一离散型分布C.相互独立且 E(Xi)有界D.相互独立且 D(Xi)存在解析：(A)满足 X1，X 2，x n两两不相关，E(x i)，D(x i)存在常数 C，使*根据切比雪夫大数定律条件，随机变量列服从大数定律(B)同一离散型分布，可能 E(Xi)，D(X i)不存在(C)X i相互独立，如果同分布，则要求 E(Xi)存在，但是不一定同分布如果方差有界，D(X i)C，则服从切比雪夫大数定律(D)X i相互独立，如果同分布可以服从大数定律；如果 D(Xi)C 也行，现都不成立7.某
12、人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 ，已知此人射击 4 次中恰好命中目标2 次，则这 2 次命中是连中的概率为 ( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：显然这是一个条件概率。设 A4 次射击中命中 2 次；B4 次射击中 2 次连中*8.下列矩阵中是正定矩阵的是 ( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：正定矩阵的必要条件是 aij0，*及行列式0(A)及(C)中因 a33=0 及 c33=-1，故均不正定应排除*由排除法，应选(B) * 故 B 是正定阵，应选(B)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）解析：*上式存在且不为零的充要
13、条件是指数 2011-k+1=0，即 k=201210.设函数 f 与 g 可微，z=f(xy，g(xy)+lnx)，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：f 2）解析：*11.微分方程 y=(1-y2)tanx 满足 y(0)=2 的特解为 y=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：分析 分离变量，两边积分，有*注 一般，由初始条件 y(x0)=y0求特解时，应该先从通解中求出 y=y(x，c)，再去定 C如本例，不要贪图方便从()中就去定 C*12.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：分析 由斜渐近线公式，考虑*13.设 A 是三阶
14、矩阵，有特征值 1=1， 2=2， 3=2A *是 A 的伴随矩阵，E 是三阶单位阵，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2 11）解析：*14.设 X1，X 2，X n为来自标准正态总体的简单随机样本， 和 S2分别为样本均值和样本方差，已知 （分数：4.00）解析：*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设()F“(x)；() （分数：10.00）_正确答案：(将第一个积分作积分变量变换 t=-u，并将变换后的 u 仍记为 t，并与第三项合并，注意到这两个反常积分都是收敛的，于是从而)解析：16.设 D=(x，y)|0x2，0y2，计算 （分数：10.00）_正确答
15、案：( )解析：17.()叙述二元函数 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微及微分 的定义；()证明下述可微的必要条件定理：设 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微，则 fx(x0，y 0)与 fy(x0，y 0)都存在，且 （分数：10.00）_正确答案：(定义：设 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)的某邻域 U 内有定义，(x 0+x，y 0+y)U增量为 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处的微分()设 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微，则()式成立命y=0，于是()当 fx(x0，y 0)与 fy(x0，y 0)存在时 z=f(x，y)在点(x 0，
16、y 0)处未必可微反例：设两个偏导数存在，以下用反证法证出 f(x，y)在点(0，0)处不可微若可微，则有f=f(x，y)-f(0，0)=0x+0y+o()，)解析：18.设常数 a0，讨论曲线 y=ax 与曲线 y=2lnx 的公共点的个数（分数：10.00）_正确答案：(曲线 y=2lnx 的定义域为 x0，故只要考虑右半平面 x0 上两曲线 y=2lnx 与 y=ax 的公共点即可命f(x)=ax-2lnx，有)解析：19.设 f(x)在 a，b 上存在二阶导数，且 f“(x)0证明： （分数：10.00）_正确答案：(命是 (x)0，所以当 xa 时 (x)0，有 (b)0，左边得证再
17、证右边命)解析：20.设 2，1，2 T，=1，2，-2 T，A=E+ T，计算：()A；()A -1；()A n（分数：11.00）_正确答案：( ()求 A-1方法一方法二 因 A2=(E+ T)(E+ T)=E+2 T+ T T，故 A2=E+2 T=2E+2 T-E=2A-E，A2-2A=A(A-2E)=-E，A(2E-A)=E，得 )解析：评注 ()中方法二显然比方法一简捷，且可为()作铈垫21.已知 （分数：11.00）_正确答案：(故有 1=1+a， 2=a， 3=1-a看特征值是否有重根，对任意 a， 1=1+a 2=a对应线性无关特征向量只有一个，当 a=0 时， 1= 3=
18、1，是二重特征值对应线性无关特征向量也只有一个， )解析：分析 先求 A 的特征值再根据特征值的情况讨论 A 是否可相似对角化评注讨沦是否能相似对角化，不必具体汁算出特征向量，在有重特征值时，只需计算，r(EA)，讨论线性无关特征向量个数是否和重数相等即可22.商店经销某种商品，每周进货量 X(公斤)与顾客对该种商品的需求量 Y(公斤)是相互独立的，且都在区间 10，20 上服从均匀分布商店每售出该种商品一公斤可得利润 1000 元，若需求量超过进货量，商店可从其他商店调货，这时每公斤商品获利 500 元，若需求量不到进货量，商店因积压，每公斤商品损失 500元，试计算商店经销该种商品每周所得
19、利润的期望值（分数：11.00）_正确答案：(当 YX 时，需求全满足，有利润 1000Y但还有 X-Y 的商品积压 M，损失 500(X-Y)，最后利润为 1000Y-500(X-Y)=500(3Y-X)当 YX 时供不应求，所进商品全出清，利润为 1000X，供应不足部分为(Y-X)。调剂利润 500(Y-X)最后利润： 1000X+500(Y-X)=500(X+Y)总之 )解析：分析 显然利润是进货量 X 和需求量 Y 的函数 Z=g(X，Y)而(X，Y)是二维均匀分布，XY 相互独立均服从 U10，20其边缘概率密度应为*(XY)的密度为*先求 Z=g(X，Y)，然后求 E(Z)=Eg(X，Y)23.某系统由两个相互独立工作的元件串联而成，只要有一个元件不工作，系统就不工作，设第 i 个元件工作寿命为 Xi，已知 XiE( i)， i0，i=1，2试求：()该系统的工作寿命 X 的概率密度 f(x)；()证明：对 t，s0 有 PXt+s|Xt=PXs（分数：11.00）_正确答案：(当 x0 时)解析：分析 ()系统是串联工作所以 X=min(X1X 2)先求出 X 的分布函数F(x)=PXx有 f(x)=F(x)；()*所以只要求出 PXx，就不难进一步计算。
