1、考研数学三（多元函数微分学）模拟试卷 7 及答案与解析一、填空题1 2 二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。3 (1)若 f(x)= ，试证 f(0)=0；(2)若 f(x)在(一，+) 上连续，且 f(x)=0xf(t)dt，试证 f(x)0(一x +)4 5 已知 I()= 求积分 -32I()d6 设函数 f(x)连续，且 0xtf(2x 一 t)dt= 已知 f(1)=1，求 12f(x)dx 的值7 设在区间e，e 2上，数 p，q 满足条件 px+qln x，求使得积分取得最小值时 p，q 的值8 设 f(x)在0，+)上连续，且 收敛，其中常数 A0证明：9 求曲线
2、 的一条切线 l，使该曲线与切线 l 及直线 x=0，x=2 所围成图形的面积最小10 设函数 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内大于零，并且满足 xf(x)=f(x)+ (a 为常数)，又曲线 y=f(x)与 x=1，y=0 所围的图形 S 的面积为 2求函数 y=f(x)，并问a 为何值时，图形 S 绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积最小11 设函数 y(x)(x0)二阶可导且 y(x)0，y(0)=1过曲线 y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S1，区间 0，x上以 y=y(x) 为曲边的曲边梯形面积记为
3、 S2，并设 2S1 一 S2 恒为 1，求此曲线 y=y(x)的方程12 设 f(x)在( 一，+)内连续，以 T 为周期，证明： (1) aa+Tf(x)dx=0Tf(x)dx(a 为任意实数)； (2) 0xf(t)dt 以 T 为周期 0Tf(x)dx=0； (3)f(x)dx(即 f(x)的全体原函数)周期为 T 0Tf(x)dx=013 计算不定积分14 求定积分 的值15 设常数 0a 1，求16 设 a，b 均为常数， a一 2 且 a0，求 a，b 为何值时，有17 直线 y=x 将椭圆 x2+3y2=6y 分为两块，设小块面积为 A，大块面积为 B，求 的值18 设 f(x
4、)= 求曲线 y=f(x)与直线 所围成的平面图形绕 x 轴旋转所成旋转体的体积19 设 f(x)=0xg(t)dt(1)证明 y=f(x)为奇函数，并求曲线的水平渐近线；(2)求曲线 y=f(x)与它所有水平渐近线及 y 轴所围成图形的面积20 设函数 f(x)在0，1上连续， (0，1)内可导，且 f(x)dx=f(0)证明：在(0，1)内存在一点 c，使 f(c)=021 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续证明：至少存在一点 (a，b)，使得 f()bg(x)dx=g()af(x)dx22 f(x)在0，1上有连续导数，且 f(0)=0证明：存在一点 0，1，使得 f()=201f
5、(x)dx23 设 f(x)在a，b上连续且严格单调增加证明： (a+b) abf(x)dx2 abxf(x)dx24 设函数 f(x)在a，b上连续，且 f(a)=0证明：25 设 f(x)，g(x) 在0 ，1上的导数连续，且 f(0)=0，f(x)0，g(x)0 证明：对任意 a0，1，有 0ag(x)f(x)dx+01f(x)g(x)dxf(a)g(1)26 设函数 f(x)在a，b上有连续导数，在(a，b) 内二阶可导，且 f(a)=f(b)=0， abf(x)dx=0 证明： (1)在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f()=f()； (2)在(a，b)内至少存在一点 ，且 ，使得
6、 f“()=f()27 设 f(x)在a，b上连续，且 g(x)0证明：存在一点 a，b，使 abf(x)g(x)dx=f()abg(x)dx28 设 f(x)在区间一 a，a(a0)上具有二阶连续导数，且 f(0)=0 (1)写出 f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式； (2)证明：存在 -a，a，使 a3f“()=3-aaf(x)dx29 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 f(1)= xe1-xf(x)dx(k1) 证明：至少存在一点 (0，1)，使 f()=(1 一 -1)f()30 设 ab，证明： abf(x)g(x)dx2abf2(x)dxabg2(x)dx3
7、1 设出售某种商品，已知某边际收益是 R(x)=(10 一 x)e-x,边际成本是 C(x)=(x24x+6)e-x，且固定成本是 2求使这种商品的总利润达到最大值的产量和相应的最大总利润考研数学三（多元函数微分学）模拟试卷 7 答案与解析一、填空题1 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分2 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。3 【正确答案】 (1)因为(2)由 f(x)=0xf(t)dt 可知 f(x)=f(x)，其通解为 f(x)=Cex 又 f(0)=0，故 f(x)0【知识模块】 微积分4 【正确答案】 因 k
8、 值不同，故分情况讨论：当 k1 时，原式=即积分收敛；当 k=1 时，原式=即积分发散；当 k1 时，原式=，即积分发散综上，当 k1 时，原积分为 ；当 k1 时，原积分发散.【知识模块】 微积分5 【正确答案】 当 0 且 a1 时，当 =1 时，I()=当 =一 1 时，I()=当 =0 时，I()= 0sin xdx=2综上，【知识模块】 微积分6 【正确答案】 令 u=2x 一 t，则 t=2x 一 u，dt=一 du当 t=0 时，u=2x；当 t=x 时，u=x故 0xtf(2x-t)dt=一 2xx(2x-u)f(u)du=2xx2xf(u)du-x2xuf(u)du，由已知
9、得 2xx2xf(u)dux2xuf(u)du= 两边对 x 求导，得 2x2xf(u)du+2x2f(2x)一 f(x)一2xf(2x)2 一 xf(x)= 即【知识模块】 微积分7 【正确答案】 设直线 y=px+q 与曲线 y=ln x 相切于点(t ，lnt)，则有【知识模块】 微积分8 【正确答案】 所以【知识模块】 微积分9 【正确答案】 又 S“(1)0，故 t=1 时，S(t)取最小值，此时 l 的方程为【知识模块】 微积分10 【正确答案】 由题设，当 x0 时, ，据此并由 f(x)在点 x=0 处的连续性，得【知识模块】 微积分11 【正确答案】 曲线 y=y(x)上点
10、P(x，y)处的切线方程为 Y y=y(X-x)它与 x轴的交点为 由于 y(x)0，y(0)=1，从而 y(x)0(x0)，于是又 S2=0xy(t)dt，由条件 2S1 一 S2=1，知式两边对 x 求导并化简得yy“=(y)2令 p=y，则方程可化为注意到 y(0)=1，并由式得y(0)=1由此可得 C1=1，C 2=0，故所求曲线的方程是 y=ex【知识模块】 微积分12 【正确答案】 (1) =f(a+T)一 f(a)=0，故 aa+Tf(x)dx=aa+Tf(x)dx|a=0=0Tf(x)dx(2) 0xf(t)dt 以 T 为周期 0x+Tf(t)dt0xf(t)dt=0x+Tf
11、(t)dt 0Tf(t)dt=0 (3)由f(x)dx= 0xf(t)dt+C，易知此命题成立【知识模块】 微积分13 【正确答案】 【知识模块】 微积分14 【正确答案】 【知识模块】 微积分15 【正确答案】 对后者作变量代换 x=一 t，得 ，所以【知识模块】 微积分16 【正确答案】 若 ba0，上述极限不存在，所以要使原等式成立，必有 a=b，那么所以=2ln 22，解得 a=b=8e-2 一 2【知识模块】 微积分17 【正确答案】 直线与椭圆的交点为(0，0)， ，则令 y 一 1=sint，则【知识模块】 微积分18 【正确答案】 先求 f(x)的表达式，注意到函数 ex 在
12、x+与 x一 的极限，可知 显然，x0 时 f(x)与直线 无法围成图形当 x0 时，y=f(x)与 y= 的交点横坐标为 x=1，且显然 0x1 时所以所求旋转体体积为【知识模块】 微积分19 【正确答案】 (1)因 f(一 x)= =一 f(x)，故 f(x)为奇函数因 故y=f(x)有两条水平渐近线 (2)由所考虑的平面图形的对称性及分部积分法得所求的面积为 其中，由洛必达法则得【知识模块】 微积分20 【正确答案】 由积分中值定理知，在 上存在一点 1，使从而有 f(1)=f(0)，故 f(x)在区间0， 1上满足罗尔定理条件，因此在(0 ， 1)内存在一点 c，使 f(c)=0，c
13、(0， 1) (0，1)【知识模块】 微积分21 【正确答案】 记 G(x)=f(x)xbg(t)dt-g(x)axf(t)dt，则 G(x)的原函数为 F(x)= axf(t)dtxbg(t)dt+C， 其中 C 为任意常数 因为 f(x)，g(x)在a ，b上连续，所以 F(x)在a， b上连续，在(a，b)内可导，F(a)=F(b)=C ， 即 F(x)在a ，b 上满足罗尔定理，所以，至少存在一个 (a，b)，使得 F()=0，即 f() bg(x)dx=g()af(x)dx【知识模块】 微积分22 【正确答案】 因为 f(x)在0，1上连续，所以 f(x)在0，1上有最小值和最大值，
14、设为 m，M ，即存在 x1，x 20，1，使 f(x1)=m，f(x 2)=M： 由拉格朗日中值定理，对任意 x0，1，存在 (0，x)，使 f(x)=f(x)-f(0)=f()x，于是有 f(x 1)x=mxf(x)=f(x)一 f(0)=f()xMx=f(x2)x，两边积分得 f(x1)01xdx01f(x)dxf(x2)01xdx，即f(x1)01f(x)dx f(x2)，故 f(x1)201f(x)dxf(x2) 因为 f(x)在0，1上连续，由介值定理，必存在 x1，x 2 0，1，或 x2，x 1 0，1，使 f()=201f(x)dx【知识模块】 微积分23 【正确答案】 令
15、F(t)=(a+t)atf(x)dx 一 2atxf(x)dx，则 F(t)= atf(x)dx+(a+t)f(t)一2tf(t) =atf(x)dx 一(t-a)f(t)= atf(x)dxatf(t)dx =atf(x)一 f(t)dx 因为 axt，且 f(x)在a ，b上严格单调增加，所以 f(x)一 f(t)0，于是有 F(t)= atf(x)一 f(t)dx0， 即F(t)单调递减，又 F(a)=0，所以 F(b)0，即 (a+b) abf(x)dx 一 2abxf(x)dx0， 即 (a+b)abf(x)dx2 abxf(x)dx【知识模块】 微积分24 【正确答案】 因为f(x
16、) 2=f(x)一 f(a)2=axf(t)dt2，而 axf(t)dt2(x-a)axf(t)2dt(x-a)abf(t)2dt(施瓦茨不等式)，所以 abf(x)2dxab(x-a)dxabf(t)2dt=【知识模块】 微积分25 【正确答案】 令 F(a)=0ag(x)f(x)dx+01f(x)g(x)dx 一 f(a)g(1)，a0，1，则 F(a)=g(a)f(a)-f(a)g(1)=f(a)g(a)一 g(1) 因为 x0，1时，f(x)0，g(x)0，即函数f(x)，g(x) 在0，1上单调递增，又 a1，所以 F(a)=f(a)g(a)一 g(1)0， 即函数F(a)在0，1上
17、单调递减，又 F(1)=01g(x)f(x)dx+01f(x)g(x)dx 一 f(1)g(1) =01g(x)f(x)dx 一 f(1)g(1)=g(1)f(1)一 g(0)f(0)一 f(1)g(1) =一 f(0)g(0)=0， 所以 F(a)F(1)=0，即 0ag(x)f(x)dx+01f(x)g(x)dx 一 f(a)g(1)0， 即 0ag(x)f(x)dx+01f(x)g(x)dxf(a)g(1)【知识模块】 微积分26 【正确答案】 (1)由积分中值定理知，至少存在一点 c(a，b)，使得设 G(x)=e-xf(x)，则 G(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 G(a
18、)=G(b)=G(c)=0，G(x)=e -xf(x)一 e-xf(x)=e-xf(x)一 f(x)由罗尔定理知，分别存在 1(a，c)和 2(c，b)，使得 G(1)=G(2)=0，从而 f(1)=f(1)，f( 2)=f(2) (2)设 F(x)=exf(x)一 f(x)，则 F(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且F(1)=F(2)=0，则 F(x)=e xf“(x)一 f(x)+exf(x)一 f(x)=exf“(x)一 f(x) 对 F(x)在区间 1， 2上应用罗尔定理，即存在 (1， 2) (a，b)，使得 F()=0，故有 f”()=f()，且 i(i=1，2) 【知识模
19、块】 微积分27 【正确答案】 因 f(x)在a ，b上连续，故 mf(x)M，其中 m，M 分别为 f(x)的最小值、最大值 因为 g(x)0，所以 mg(x)f(x)g(x)Mg(x)，故 m abg(x)dxabf(x)g(x)dxMabg(x)dx， 从而存在 a，b，使得 f()=即 abf(x)g(x)dx=f()abg(x)dx【知识模块】 微积分28 【正确答案】 (1)对任意 x一 a，a，有(2)因为 f“(x)在一 a，a上连续，由最值定理：mf“(x)M，x一 a，a，其中 m，M 分别为 f“(x)的最小值和最大值于是有 mx 2f“()x2Mx2，由介值定理，存在
20、一a，a ，使得 即 a3f“()=3-aaf(x)dx【知识模块】 微积分29 【正确答案】 令 F(x)=xe-xf(x)，因，F(1)=e -1f(1)=e-f()=F()，故在，1 0，1上，对 F(x)运用罗尔定理，可得 (，1) (0，1) ，使 f()=(1 一-1)f()【知识模块】 微积分30 【正确答案】 构造辅助函数 F(t)= atf(x)g(x)dx2atf2(x)dxatg2(x)dx， 则 F(a)=0，且 F(t)=2aftf(x)g(x)dx.f(t)g(t)一 f2(t)atg2(x)dxg2(t)atf2(x)dx =at2f(x)g(x)f(t)g(t)
21、一 f2(t)g2(x)一 g2(t)f2(x)dx =一 atf(t)g(x)一 g(t)f(x)2dx0， 所以 F(b)0，即 abf(x)g(x)dx2abf2(x)dxabg2(x)dx0，即 abf(x)g(x)dx2abf2(x)dxabg2(x)dx【知识模块】 微积分31 【正确答案】 R(x)= 0xR(t)dt=0x(10 一 t)e-tdt=9 一(9 一 x)e-x， C(x)=C(0)+ 0xC(t)dt=2+0x(t2 一 4t+6)e-tdt=6 一(x 2 一 2x+4)e-x 于是利润 L(x)=R(x)-C(x)=3+(x2-x 一 5)e-x 令 L(x)=0 得 x0=4(x0)，且 L“(4)=一 5e-40可知 L(x)在 x=4 时有极大值，也就是最大值，且最大总利润为 L(4)=3+7e-4【知识模块】 微积分
