1、考研数学三（多元函数微分学）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x，y)= ，则 f(x，y)在(0 ，0)处( )（A）对 x 可偏导，对 y 不可偏导（B）对 x 不可偏导，对 y 可偏导（C）对 x 可偏导，对 y 也可偏导（D）对 x 不可偏导，对 y 也不可偏导2 设 fx(x0，y 0)，f y(x0，y 0)都存在，则( )（A）f(x，y 在(x 0，y 0)处连续（B） 存在（C） f(x，y)在(x 0，y 0)处可微（D） 存在3 设 f(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，且满足 =一 3，则函数 f(x
2、，y)在点(0，0)处 ( )（A）取极大值（B）取极小值（C）不取极值（D）无法确定是否有极值4 设 f(x，y)在(0，0)的某邻域内连续，且满足 =一 3，则f(x，y)在(0，0)处( )（A）取极大值（B）取极小值（C）不取极值（D）无法确定是否取极值二、填空题5 =_6 设 =_7 由 x=zey+z 确定 z=z(x，y)，则 dz|e，0 =_8 设 =_9 设 z=f(x，y)=x 2arctan =_10 设 f(x，y)满足 =2，f(x，0)=1，f y(x，0)=x，则 f(x，y)=_11 z= f(xy)+yg(x2+y2)，其中 f，g 二阶连续可导，则 =_1
3、2 设 u=f(x， y，z)=e xyz2，其中 z=z(x，y)是由 x+y+z+xyz=0 确定的隐函数，则=_13 设 z= ，其中 f(u)可导，则 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 u=xyz，求 du15 设 z=yf(x2 一 y2)，其中 f 可导，证明：16 已知 u(x，y)= ，其中 f，g 具有二阶连续导数，求xuxx“+yuxy“。17 设 u=f(x+y，x 2+y2)，其中 f 二阶连续可偏导，求18 设 z=fxg(y)，xy ，其中 f 二阶连续可偏导，g 二阶可导，求19 设 z=z(x，y)由 ryz=x+y+z 确定，求2
4、0 举例说明多元函数连续不一定可偏导，可偏导不一定连续21 设 f(x，y)= 讨论函数 f(x，y)在点(0，0)处的连续性与可偏导性22 讨论 f(x， y)= 在点 (0，0) 处的连续性、可偏导性及可微性23 设 f(x，y)= 试讨论 f(x，y)在点(0，0)处的连续性，可偏导性和可微性24 设 z=f(esint，tant)，求25 设 z=26 设 z= f(t，e t)dt，f 有一阶连续的偏导数，求27 设 u= ，求 du28 设函数 z=z(x，y)由方程 x2+y2+z2=xyf(z2)所确定，其中 f 是可微函数，计算并化成最简形式29 设 f(t)二阶可导，g(u
5、，)二阶连续可偏导，且 z=f(2x 一 y)+g(x，xy)，求30 设 z=f(exsiny，x 2+y2)，且 f(u，)二阶连续可偏导，求31 设 z=f(x2+y2，xy，x)，其中 f(u， ，) 二阶连续可偏导，求考研数学三（多元函数微分学）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 不存在，所以 f(x，y)在(0，0)处对 x 不可偏导；因为=0，所以 fy(0，0)=0，即 f(x，y)在(0，0)处对 y 可偏导，应选(B)【知识模块】 多元函数微分学2 【正确答案】 D【试题解析】 多元函
6、数在一点可偏导不一定在该点连续，(A)不对；函数在(0，0)处可偏导，但 不存在，(B)不对； f(x，y)在(x 0，y 0)处可偏导是可微的必要而非充分条件，(C)不对，应选(D)，事实上由 fx(x0，y 0)= f(x0，y 0)=f(x0，y 0)【知识模块】 多元函数微分学3 【正确答案】 A【试题解析】 因为 =一 3，根据极限保号性，存在 0，当0 时，有 0，而 x2+1 一 xsinyx 2 一 x+1=所以当 0 时，有 f(x，y)一 f(0，0) 0，即f(x，y)f(0， 0)，所以 f(x，y)在点(0，0) 处取极大值，选(A) 【知识模块】 多元函数微分学4
7、【正确答案】 A【试题解析】 因为 =一 3，所以由极限的保号性，存在0，当 0 时， 0因为当0 时，|x|+y 20，所以当 0 时，有 f(x，y)f(0，0)，即 f(x，y) 在(0，0)处取极大值，选(A)【知识模块】 多元函数微分学二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学7 【正确答案】 【试题解析】 x=e，y=0 时，z=1x=ze y+z 两边关于 x 求偏导得，将 x=e，y=0，z=1 代入得x=zey+z 两边关于 y 求偏导得 ，将 x=e，y=0，z=1 代入得 ，故 dz(
8、e，0)=【知识模块】 多元函数微分学8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学10 【正确答案】 y 2+xy+1【试题解析】 由 =2y+1(x)，因为 fy(x，0)=x ，所以 1(x)=x，即=2y+x，再由 =2y+x 得 f(x，y)=y 2+xy+2(x)，因为 f(x，0)=1 ，所以 2(x)=1，故 f(x，y)=y 2+xy+1【知识模块】 多元函数微分学11 【正确答案】 +y2f“(xy)+2xg(x2+y2)+4xy2g“(x2+y2)【试题解析】 +2xyg(x2+y2)，+y2f“(
9、xy)+2xg(x2+y2)+4xy2g“(x2+y2)【知识模块】 多元函数微分学12 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学13 【正确答案】 2z 【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学15 【正确答案】 =2xyf(x2 一 y2)， =f(x2 一 y2)一 2y2f(x2 一 y2)，则=2yf(x2 一 y2)， f(x2 一 y2)一 2yf(x2 一 y2)= f(x2 一 y2)=【知识模块】 多元函数微分学16 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分
10、学17 【正确答案】 =f1+2xf2 f1+2yf2 =f“11+2xf“12+2f2+2x(f“21+2xf“22)=f“11+4xf“12+4x2f“22+2f2， =f“11+2yf“12+2f2+2y(f“21+2yf“22)=f“11+4yf“12+4yzf“22+2f2，则 =2f“11+4(x+y)f“12+4(x2+y2)f“22+4f2【知识模块】 多元函数微分学18 【正确答案】 =g(y)f1+f2， =g(y)f1+g(y)xg(y)f“11 一 f“12+xg(y)f“21 一f“22=g(y)f1+xg(y)g(y)f“11+xg(y)一 g(y)f“12 一 f
11、“22.【知识模块】 多元函数微分学19 【正确答案】 令 F=xyz 一 x 一 y 一 z，【知识模块】 多元函数微分学20 【正确答案】 设 f(x，y)= 显然 f(x，y)在点(0，0)处连续，但不存在，所以 f(x，y)在点(0，0)处对 x 不可偏导，由对称性，f(x，y)在点(0，0)处对 y 也不可偏导设 因为所以 f(x，y)在点(0 ，0)处可偏导，且 fx(0，0)=f y(0，0)=0因为 不存在，而f(0，0)=0，故 f(x，y)在点(0，0) 处不连续【知识模块】 多元函数微分学21 【正确答案】 因为所以 不存在，故函数 f(x，y)在点(0 ，0) 处不连续
12、，因为所以函数 f(x，y)在点(0，0)处对 x，y 都可偏导【知识模块】 多元函数微分学22 【正确答案】 因为所以 =0=f(0， 0)，即函数 f(x，y)在点(0，0)处连续，因为所以 fx(0，0)=0，根据对称性得 fy(0，0)=0，即函数f(x，y)在(0，0)处可偏导 z 一 fx(0，0)x 一 fy(0，0)y=f(x ，y)一 fx(0，0)x 一fy(0，0)y= 因为 不存在，所以函数 f(x，y)在(0，0)不可微【知识模块】 多元函数微分学23 【正确答案】 由 =0=f(0，0)得 f(x，y) 在点(0，0)处连续由得 fx(0，0)=0，由f(x，y)在
13、(0，0)可偏导，即 f(x，y)在(0，0)处可微【知识模块】 多元函数微分学24 【正确答案】 =et(sint+cost)f1+f2sec2t【知识模块】 多元函数微分学25 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学26 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学27 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学28 【正确答案】 x 2+y2+z2=xyf(22)两边对 x 求偏导得 2x+ =yf(z2)+2xyzf(z2)解得 x2+y2+z2 一 xyf(z2)两边对 y 求偏导得 2y+=xf(z2)+2xyzf(z2) 解得【知识模块】 多元函数微分学29 【正确答案】 =2
14、f(2x 一 y)+g1(x，xy)+yg 2(x，xy)， =一 2f“(2x 一 y)+xg“12(x，xy)+g 2(x，xy)+xyg“ 22(x，xy)【知识模块】 多元函数微分学30 【正确答案】 =f1exsiny+2xf2，=f 1exosy+exsiny(f“11excosy+2y“12)+2x(f“21ercosy+2yf“22) =f“1excosy+ f“11e2xsin2y+2ex(ysiny+xcosy)f“12+4xyf“22【知识模块】 多元函数微分学31 【正确答案】 =2xf1+yf2+f3， =2x(2yf“11+xf“12)+f2+y(2y“21+xf“22)+2yf“31+xf“32=4xyf“11+2(x2+y2)f“12+f2+xyf“22+2yf“31+xf“32【知识模块】 多元函数微分学
