1、考研数学三（多元函数微分学）模拟试卷 8 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 函数 f(x，y)= 不连续的点集为 ( )（A）y 轴上的所有点（B） x=0，y0 的点集（C）空集（D）x=0，y0 的点集2 考虑二元函数 f(x，y)的下面 4 条性质： f(x，y)在点(x 0，y 0)处连续；f(x，y)在点(x 0，y 0)处的两个偏导数连续； f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微；f(x，y)在点(x0，y 0)处的两个偏导数存在若用“ ”表示可由性质 P 推出性质 Q，则有 ( )3 函数 z=f(x，y)= 在点(0 ，0)处 (
2、)（A）连续，但偏导数不存在（B）偏导数存在，但不可微（C）可微（D）偏导数存在且连续4 函数 z=x3+y3 一 3x2-3y2 的极小值点是 ( )（A）(0 ，0)（B） (2，2)（C） (0，2)（D）(2 ，0)5 函数 f(x，y)=（A）等于 1（B）等于 2（C）等于 0（D）不存在6 设函数 则点(0，0)是函数 z 的 ( )（A）极小值点且是最小值点（B）极大值点且是最大值点（C）极小值点但非最小值点（D）极大值点但非最大值点7 设 f(x，y)= 则 fx(2，1)=8 zx(x0，y 0)=0 和 zy(x0，y 0)=0 是函数 z=z(x，y)在点 (x0，y
3、0)处取得极值的 ( )（A）必要条件但非充分条件（B）充分条件但非必要条件（C）充要条件（D）既非必要也非充分条件9 函数 f(x，y)= 在点(0，0)处 ( )（A）连续，偏导数存在（B）连续，偏导数不存在（C）不连续，偏导数存在（D）不连续，偏导数不存在10 极限（A）等于 0（B）不存在（C）等于（D）存在，但不等于 也不等于 011 12 极限（A）等于 0（B）不存在（C）等于（D）存在且不等于 0 及13 设 u=f(r)，其中 ,f(r)具有二阶连续导数，则14 利用变量代换 u=x，v= 可将方程 化成新方程 ( )15 设函数 u=u(x，y)满足 及 u(x，2x)=x
4、 ， u1(x，2x)=x 2，u 有二阶连续偏导数，则 u11“(x，2x)= ( )16 若函数 其中 f 是可微函数，且 =G(x，y)u，则函数G(x，y)= ( )（A）x+y（B） xy（C） x2 一 y2（D）(x+y) 217 设 u(x，y)在平面有界闭区域 D 上具有二阶连续偏导数，且则 u(x，y)的 ( )（A）最大值点和最小值点必定都在 D 的内部（B）最大值点和最小值点必定都在 D 的边界上（C）最大值点在 D 的内部，最小值点在 D 的边界上（D）最小值点在 D 的内部，最大值点在 D 的边界上二、填空题18 函数 f(x， y)=ln(x2+y2 一 1)的连
5、续区域是_19 设20 若函数 z=2x2+2y2+3xy+ax+by+c(a，b，c 均为常数)在点(一 2，3)处取得极小值一 3，则 abc=_21 设 u=x4+y4 一 4x2y2，则22 设函数 z=z(x，y)由方程 sin x+2yz=ez 所确定，则23 函数 的定义域为_24 设 f(u)可导，P(x，y)= 其中 xy0，则25 26 设 f(x，y)= 则 fx=r(0，1)=_27 设 z=esinxy，则 dz=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。28 设 f(x)可导，F(x，y)= 一 x+，y0求：29 已知 其中 a0，a1，求 dz30 设
6、 ，其中 f，g 均可微，计算31 设 z=f(2xy)+g(x，xy)，其中函数 f(t)二阶可导，g(u，v)具有二阶连续偏导数，求32 设 u=f(x， y，z)有连续偏导数，y=y(x)和 z=z(x)分别由方程 exy 一 y=0 和 ez 一xz=0 所确定，求33 厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为 p1 和 p2，销售量分别为q1 和 q2，需求函数分别为 q1=2402p 1 和 q2=10005p 2，总成本函数为C=35+40(q1+q2)试问：厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大?最大总利润为多少?34 在球面 x2+y2+z2=5R2(x0
7、，y0，z0)上，求函数 f(x，y，z)=ln x+ln y+3ln z的最大值，并利用所得结果证明不等式 (a0，b0，c 0)考研数学三（多元函数微分学）模拟试卷 8 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 当 x0时，f(x，y)为二元连续函数，而当所以(0，y 0)为 f(x，y)的连续点，故此函数的不连续点的集合为空集【知识模块】 微积分2 【正确答案】 A【试题解析】 如图 141 所示，本题考查 4 条性质的因果关系【知识模块】 微积分3 【正确答案】 B【试题解析】 从讨论函数是否有偏导数和是否可微入手由于所以
8、 f(0，0)=0，同理 fy(0，0)=0令 =zfx(0，0)x 一 fy(0，0)y= 当(x，y)沿 y=x 趋于点(0，0) 时， ，即 不是 的高阶无穷小，因此 f(x，y)在点(0 ，0)处不可微，故选(B) 【知识模块】 微积分4 【正确答案】 B【试题解析】 由 =3x26x=0 和 =3y26y=0，可得到 4 个驻点(0，0)，(2，2)，(0，2)和(2，0)又 在(0，2)点和(2，0)点，均有 ACB20，因而这两个点不是极值点；在(0，0)点，ACB2=360，且 A=一 60 ，所以(0，0)点是极大值点；在(2，2) 点，ACB2=360，且 A=60，所以
9、(2，2)点是极小值点，故选(B)【知识模块】 微积分5 【正确答案】 C【试题解析】 当 xy0时， |x|+|y|，当(x，y)(0，0)时，由夹逼准则，可得极限值为 0【知识模块】 微积分6 【正确答案】 B【试题解析】 由极值点的定义可知【知识模块】 微积分7 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 D【试题解析】 若 z=z(x，y)= ，则点(0 ，0) 为其极小值点，但 zx(0，0)，zy(0，0)均不存在【知识模块】 微积分9 【正确答案】 C【试题解析】 取 y=kx，可得 f(x，y)在(0，0)处不连续由偏导数定义，可得f(x，y)在(0，0
10、)处的偏导数存在【知识模块】 微积分10 【正确答案】 B【试题解析】 当取 y=kx 时， 与 k 有关，故原极限不存在【知识模块】 微积分11 【正确答案】 A【试题解析】 将 x 视为常数，属基本计算【知识模块】 微积分12 【正确答案】 B【试题解析】 取 y=x，则 故原极限不存在【知识模块】 微积分13 【正确答案】 B【试题解析】 属基本计算，考研计算中常考这个表达式【知识模块】 微积分14 【正确答案】 A【试题解析】 由复合函数微分法 于是又 u=x，故【知识模块】 微积分15 【正确答案】 B【试题解析】 等式 u(x，2x)=x 两边对 x 求导得 u1+2u2=1，两边
11、再对 x 求导得 u11“+2u12“+2u21“+4u22“=0， 等式 u1(x，2x)=x 2 两边对 x 求导得 u11“+2u12“=2x， 将式及 u12“=u21“，u 11“=u22“代入 式中得 u11“(x，2x)=【知识模块】 微积分16 【正确答案】 B【试题解析】 设 则 u=xyf(t)，于是于是 =(xy)xyf(t)=(xy)u，即 G(x，y)=xy【知识模块】 微积分17 【正确答案】 B【试题解析】 令 由于 B2 一 AC0，函数 u(x，y)不存在无条件极值，所以 D 的内部没有极值，故最大值与最小值都不会在 D 的内部出现但是 u(x，y)连续，所以
12、，在平面有界闭区域 D 上必有最大值与最小值，故最大值点和最小值点必定都在 D 的边界上【知识模块】 微积分二、填空题18 【正确答案】 (x，y)|x 2+y21【试题解析】 一切多元初等函数在其有定义的区域内是连续的【知识模块】 微积分19 【正确答案】 0【试题解析】 本题属于基本计算，考研中多次考过这种表达式【知识模块】 微积分20 【正确答案】 30【试题解析】 由极值的必要条件知在点(一 2，3)处，z x=0，z y=0，又 z(-2，3)=一3，从而可求出 a，b ，c 分别为一 1，一 6，5，故 abc=30【知识模块】 微积分21 【正确答案】 12x 2 一 8y2【试
13、题解析】 因 =4x3 一 8xy2，故 =12x2 一 8y2【知识模块】 微积分22 【正确答案】 【试题解析】 方程两端对 x 求偏导数得【知识模块】 微积分23 【正确答案】 (x，y，z)| ，且 z0)【试题解析】 由一 1 1，且 z0即得【知识模块】 微积分24 【正确答案】 一 2【试题解析】 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 一 sin 【试题解析】 由 x=rcos，y=rsin ，得 u=cos, =一 sin.【知识模块】 微积分26 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 微积分27 【正确答案】 e sinxycos xy(ydx+xdy)【试题解析】
14、z x=esinxycos xy.y，z y=esinxycos xy.x，则 dz=esinxycos xy(ydx+xdy)【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。28 【正确答案】 【知识模块】 微积分29 【正确答案】 【知识模块】 微积分30 【正确答案】 设 z=f(u，v)+g()u=xy， 则【知识模块】 微积分31 【正确答案】 =2f+g1+yg2，则 =一 2f“+xg12“+xyg22“+g2【知识模块】 微积分32 【正确答案】 方程 exyy=0 两边关于 x 求导，有方程 ez 一 xz=0 两边关于 x 求导，有于是【知识模块】 微
15、积分33 【正确答案】 总收入函数为 R=p 1q1+p2q2=24p102p 12+10p2005p 22总利润函数为 L=RC=32p 102p 12 一 005p 22+12p2 一 1395由极值的必要条件，得方程组 解此方程组得 p1=80，p 2=120由问题的实际含义可知，当 p1=80，p 2=120 时，厂家所获得的总利润最大，其最大总利润为【知识模块】 微积分34 【正确答案】 作拉格朗日函数 L(x，y，z ，)=ln x+ln y+3ln z+(x2+y2+z2 一 5R2)，并令 由前 3 式得 x2=y2= ，代入第 4 式得可疑点，因 xyz3 在有界闭集 x2+y2+z2=5R2(x0，y0 ，z0)上必有最大值，且最大值必在 x0，y0，z0 取得，故 f(x，y，z)=ln(xyz 3)在 x2+y2+z2=5R2 上也有最大值，而 是唯一可疑点，故最大值为 又 ln x+ln y+3ln z 故 x2y2z627R10令 x2=a，y 2=b，z 2=c，又知x2+y2+z2=5R2，则 abc3 (a0，b0，c 0)【知识模块】 微积分
