1、考研数学一（多元函数微分学）模拟试卷 8 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x，y)=xy(x，y)，其中 (x，y)在点 (0，0)处连续且 (0，0)=0 ，则f(，y)在点(0，0)处（A）连续，但偏导数不存在（B）不连续，但偏导数存在（C）可微（D）不可微2 在下列二元函数中， (0，0)的二元函数是（A）f(x，y) =x 4+2x2y2+y10（B） f(x，y)=ln(1+x 2+y2)+cosxy（C）（D）3 设 u(x，y) 在 M0 取极大值，且 则（A）（B）（C）（D）4 设 f(x，y)在(x 0，y 0)邻域存在
2、偏导数 且偏导数在点(x 0，y 0)处不连续，则下列结论中正确的是（A）f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微且（B） f(x，y)在点(x 0，y 0)处不可微（C） f(x，y)在点(x 0，y 0)沿 方向 方向导数（D）曲线 在点(x 0，y 0，f(x 0，y 0)处的切线的方向向量是二、填空题5 设 z= f(t，e t)dt，其中 f 是二元连续函数，则 dz=_6 设 z=z(x，y)满足方程 2ze z+2xy=3 且 z(1，2)=0，则 dz (1，2) =_7 设 z=yf(x2y 2)，其中 f(u)可微，则 =_8 设 f(x，y)有连续偏导数，满足 f(1，2
3、)=1 ，f x(1，2)=2，f y(1，2)=3，(x)=f(x， 2f(x，2f(x，2x)，则 (1)=_9 设 x=x(y，z)，y=y(z ，x)，z=z(x，y)都是由方程 F(x，y，z)=0 所确定的隐函数，并且 F(x，y，z)满足隐函数存在定理的条件，则 =_10 函数 z=1(x 2+2y2)在点 M0( )处沿曲线 C： x2+2y2=1 在该点的内法线方向n 的方向导数为_11 过曲面 z ez+2xy=3 上点 M0(1，2，0) 处的切平面方程为_12 过曲面 z=4x 2y 2 上点尸处的切平面平行于 2x+2y+z 一 1=0，则 P 点的坐标为_13 曲线
4、 在 M0(1，1，2)处的切线方程为_，法平面方程为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 z=f(x，y)满足 =sinx，求 f(x，y)15 设 u=yf 16 设 u=u(x，y)由方程 u=(u)+ P(t)dt 确定，其中 可微，P 连续，且 (u)1，求 P(y)+ p(x)17 设函数 u(x，y) 有连续二阶偏导数，满足 =0，又满足下列条件：u(x，2x)=x ， ux(x，2x)=x 2(即 ux(x，y) y=2x=x2)，求 uxx(x，2x) ，u xy(x，2x)，uyy(x，2x) 18 设 u= 19 已知函数 f(x，y，z)=x 3
5、y2z 及方程 x+y+z3+e 3 =e(x+y+z) ， (*)( )如果x=x(y，z)是由方程(*) 确定的隐函数满足 x(1，1)=1，又 u=f(x(y，z)，y，z) ，求；() 如果 z=z(x，y)是由方程(*) 确定的隐函数满足 z(1，1)=1，又=f(x，y，z(x，y)，求 ；20 设 z=f(x，y，u)，其中 f 具有二阶连续偏导数，u(x，y)由方程 u35xy+5u=1 确定求 21 设 y=f(x， t)，且方程 F(x，y，t)=0 确定了函数 t=t(x，y)，求 22 若可微函数 z=f(x，y)在极坐标系下只是 的函数，求证： x =0 (r0)23
6、 作自变量与因变量变换：u=x+y，v=x y，w=xyz，变换方程为 w 关于 u，v 的偏导数满足的方程，其中 z 对 x，y 有连续的二阶偏导数24 设 u=u(x，y)，v=v(x，y)有连续的一阶偏导数且满足条件： F(u，v)=0，其中 F有连续的偏导数且25 设 z=z(x，y)满足 0，由 z=z(x，y)可解出 y=y(z，x)求：() ；()y=y(z，x)26 设 f(x，y)=2(yx 2)2 x7y 2()求 f(x，y)的驻点；()求 f(x，y)的全部极值点，并指明是极大值点还是极小值点27 求 z=2x+y 在区域 D： x2+ 1 上的最大值与最小值28 设函
7、数 f(u，v)具有二阶连续偏导数，函数 g(y)连续可导，且 g(y)在 y=1 处取得极值 g(1)=2求复合函数 z=f(xg(y)，x+y) 的二阶混合偏导数 在点(1，1)处的值29 设 f(x，y)在点(a，b)的某邻域具有二阶连续偏导数，f y(a，b)0，证明由方程f(x，y)=0 在 x=a 的某邻域所确定的隐函数 y=(x)在 x=a 处取得极值 b=(a)的必要条件是：f(a，b)=0，f x(a，b)=0，且当 r(a，b)0 时，b=(a)是极大值；当 r(a，b)0 时，b=(a)是极小值其中30 造一容积为 V0 的无盖长方体水池，问其长、宽、高为何值时有最小的表
8、面积31 已知三角形的周长为 2p，将它绕其一边旋转而构成一立体，求使立体体积最大的那个三角形32 证明条件极值点的必要条件(89)式，并说明(89)式的几何意义33 求函数 u=xy+yz+zx 在 M0(2，1，3)处沿与各坐标轴成等角方向的方向导数34 求椭球面 S：x 2+y2+z2 yz1=0 上具有下列性质的点(x，y，z)的轨迹：过(x，y， z)的切平面与 Oxy 平面垂直35 过球面 x2+y2+z2=169 上点 M(3，4，12)分别作垂直于 x 轴与 y 轴的平面，求过这两平面与球面的截线的公共点的两截线的切线方程，并求通过这两条切线的平面方程36 设 a，b， c0，
9、在椭球面 =1 的第一卦限部分求一点，使得该点处的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积最小37 若函数 f(x，y)对任意正实数 t，满足 f(tx，ty)=t n(x，y)， (*)称 f(x，y)为 n 次齐次函数设 f(x，y)是可微函数，证明：f(x ，y)为 n 次齐次函数(*)考研数学一（多元函数微分学）模拟试卷 8 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 逐项分析：()xy在(0，0) 连续，(x ，y)在点(0，0)处连续f(x，y)在点(0，0)处连续f(x，y)在点(0，0)处可微选 (C)【知识模块】 多
10、元函数微分学2 【正确答案】 C【试题解析】 对于(A) ，(B) ：f(x ，y)均是二元初等函数，因而(C)，(D) 中必有一个是 fxy(0，0)=fyx(0，0) ，而另一个是 fxy(0，0)f yx(0，0)现考察(C) (x，y)(0，0)时，因此，f xy(0，0)f yx(0，0) 选(C)【知识模块】 多元函数微分学3 【正确答案】 C【试题解析】 偏导数实质是一元函数的导数，把二元函数的极值转化为一元函数的极值由一元函数的极大值的必要条件可得相应结论令 f(x)=u(x，y 0) x=x0是 f(x)的极大值点 (若0，则 x=x0是 f(x)的极小值点，于是得矛盾) 同
11、理，令 g(y)=u(x0，y) y=y0 是 g(y)的极大值点 因此，选(C)【知识模块】 多元函数微分学4 【正确答案】 D【试题解析】 当 f(x，y)在(x 0，y 0)邻域 偏导数，而 在(x 0，y 0)不连续时，不能确定 f(x，y)在(x 0，y 0)是否可微，也不能确定它在 (x0，y 0)是否存在方向导数故(A) ，(B)，(C)不正确，只有(D)正确或直接考察曲线它在点(x 0，y 0，f(x 0，y 0)处的切向量是故(D)正确【知识模块】 多元函数微分学二、填空题5 【正确答案】 f(x 2y，e x2y)(2xydx+x2dy)【试题解析】 dz=f(x 2y，e
12、 x2y)d(x2y)=f(x2y，e x2y)(2xydx+x2dy)【知识模块】 多元函数微分学6 【正确答案】 一 4dx 一 2dy【试题解析】 将方程分别对 x，y 求偏导数，得令 x=1，y=2 ，z=0 得dz (1，2) =4dx2dy【知识模块】 多元函数微分学7 【正确答案】 【试题解析】 =yf(x2 一 y2).2x=2xyf(x2 一 y2)， =yf(x2 一 y2)(一 2y)+f(x2 一 y2)=2y 2f(x2 一 y2)+f(x2 一 y2)，【知识模块】 多元函数微分学8 【正确答案】 302【试题解析】 (x)=f(x，u(x)，u(x)=2f(x，v
13、(x) ，v(x)=2f(x，2x)，v(1)=2f(1 ，2)=2， u(1)=2f(1，v(1)=2f(1 ，2)=2，(1)= (1，2)u(1)=2+3u(1)，u(1)=2 (1，2)v(1)=22+3v(1)，v(1)=2 (1，2)=2(2+2.3)=16往回代 u(1)=2(2+3.16)=100，(1)=2+3.100=302【知识模块】 多元函数微分学9 【正确答案】 一 1【试题解析】 由隐函数求导法知(如，由 F(x，y，z)=0 确定x=x(y，z)，将方程对 y 求偏导数得 其余类似)将这三式相乘得【知识模块】 多元函数微分学10 【正确答案】 【试题解析】 M 0
14、 在曲线 C 上，C 在 M0 点的内法线方向 n=grad(x 2+2y21)=(2x，4y) M0，单位内法向n0= gradz M0=grad(x 2+2y2) M0=( ，2)按方向导数计算公式，【知识模块】 多元函数微分学11 【正确答案】 2x+y 一 4=0【试题解析】 曲面方程 F(x，y，z)=0 ，F(x，y，z)=ze z+2xy 一 3，=2y，2x，1 一 ez，gradF M0=4，2，0=22，1，0点M0 的切平面方程为 2(x 一 1)+(y 一 2)=0，即 2x+y 一 4=0【知识模块】 多元函数微分学12 【正确答案】 (1，1，2)【试题解析】 P(
15、x ，y，z)处一个法向量 n=2x，2y，1，平面 2x+2y+z 一 1=0 的法向量 n0=2， 2，1 ，由 n=n0 x=，y=，=1 x=1，y=1 ，z=411=2，因此P 点是(1 ，1， 2)【知识模块】 多元函数微分学13 【正确答案】 y 一 x=0【试题解析】 M 0 在曲线上， M0 处的切向量 =(一 4yz+4y)i+(一 4x+4xz)j+(8xy 一 8xy)kM0=一 4i+4j=4一 1， 1，0M 0 处切线方程法平面方程 一(x 一 1)+(y 一 1)=0， 即 y 一 x=0【知识模块】 多元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步
16、骤。14 【正确答案】 =2xy+(x)，(x)为 x 的任意函数 f(x，y)=xy2+(x)y+(x)，(x)也是 x 的任意函数由 =sinx，2xy+(x) y=0=sinx，则 (x)=sinx由 f(x，1)=0，得xy 2+(x)y+(x) y=1=x+sinx+(x)=0，则 (x)=x sinx因此，f(x，y)=xy 2+ysinx 一 x 一 sinx【知识模块】 多元函数微分学15 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学16 【正确答案】 原方程对 x 求导 +P(x) 将原方程对 y 求导P(y) 由 P(y)+P(x)得由于 (u)1 P(x)=0【知识模块】
17、多元函数微分学17 【正确答案】 将 u(x，2x)=x 两边对 x 求导，由复合函数求导法及 (x，2x)=x 2得 (1x 2)现将(1 一 x2)分别对 x 求导得式2 一 式，利用条件 (x，2x)得代入式得【知识模块】 多元函数微分学18 【正确答案】 u 是 u=f(s，t)与 s= 复合而成的 x，y，z 的三元函数先求 du由一阶全微分形式不变性及全微分四则运算法则，得【知识模块】 多元函数微分学19 【正确答案】 () 依题意， 为 fx(y，z)，y，z对 y 的偏导数，故有因为题设方程 (*)确定 x 为 y，z 的隐函数，所以在(*)两边对 y 求导数时应将 x 看成常
18、量，从而有由此可得 =1代入式，得 ()同()一样，求得在题设方程(*)中将 x 看成常量，对 y 求导，可得 = 1，故有【试题解析】 f 是 x，y，z 的函数，而 x 和 z 又分别是 y，z 和 x，y 的函数，所以在( )中把 x 看成中间变量，在() 中把 z 看成中间变量【知识模块】 多元函数微分学20 【正确答案】 将方程 u55xy+5u=1 两端对 x 求导数，得 5u4，故 在上式对 x 求导数时，应注意其中的 仍是 x，y，u 的函数，而 u 又是 x，y 的函数，于是【试题解析】 z 是 x，y， u 的函数，而 u 是由方程 u55xy+5u=1 所确定的 x，y的
19、隐函数，所以本题是隐函数的复合函数求偏导数的问题【知识模块】 多元函数微分学21 【正确答案】 由 y=f(x，t(x，y)两端对 x 求导得 而 t=t(x，y)由 F(x，y，t)=0 所确定，则 将 的表达式代入式即得【试题解析】 由本题要求的 知，y 应该是 x 的一元函数，分析清楚这一点是解答本题的关键由题设知 F(x，y，t)=0 确定了 t=t(x，y)，将 t=t(x，y)代入y=f(x，t) 得 y=f(x，t(x，y)，这是关于 x 和 y 的方程，它可确定 y 是 x 的一元函数另一种方法是利用一阶全微分形式不变性求解上面两种解法都是由方程式确定的隐函数的求导问题另一种思
20、路是，看作由方程组 确定的隐函数问题，其中 x 为自变量，y 与 t 为因变量(两个方程确定两个因变量)，然后求出 【知识模块】 多元函数微分学22 【正确答案】 由 z=f(rcos，rsin)与 r 无关 =0【知识模块】 多元函数微分学23 【正确答案】 由于 z=xy 一 w，则【知识模块】 多元函数微分学24 【正确答案】 将方程 F(u，v)=0 分别对 x，y 求偏导数，由复合函数求导法得按题设，这个齐次方程有非零解 ，其系数行列式必为零，即【知识模块】 多元函数微分学25 【正确答案】 () 以 z，x 为自变量，y 为因变量 y=y(z，x)，它满足z=z(x，y(z，x)
21、将 z=z(x，y)对 x 求偏导数，得 0= 再对 x 求偏导数，得 将 代入上式，得()因 y=y(z，x)，y=x(z)+(z)【知识模块】 多元函数微分学26 【正确答案】 () 解即驻点为(0，0)与(一 2， 8)()A= =2在(一 2，8)处， ，ACB 20，A0 (一 2，8)为极小值点在(0，0)处，ACB 2=0，该方法失效但令 x=0 f(0，y)=y 2，这说明原点邻域中 y 轴上的函数值比原点函数值大，又令 y=x2，f(x，x 2)=x3)，这说明原点邻域中抛物线 y=x2 上的函数值比原点函数值小，所以(0，0) 不是极值点【知识模块】 多元函数微分学27 【
22、正确答案】 令 F(x，y，)=2x+y+(x 2+ 一 1)，解方程组由，得 y=2x，代入得 x= 相应地因为 z 在 D 存在最大、最小值 z 在 D的最大值为 ，最小值为【试题解析】 因 z=2x+y 在 D 内无驻点 z 在 D 的最值于 D 的边界上达到，故归结为求 z=2x+y 在条件 x2+ 1=0 下的最大值与最小值【知识模块】 多元函数微分学28 【正确答案】 计算可得将 x=1与 y=1 代入并利用 g(1)=2，g(1)=0 即得【知识模块】 多元函数微分学29 【正确答案】 y=(x) 在 x=a 处取得极值的必要条件是 (a)=0按隐函数求导法，(x)满足 fx(x
23、，(x)+f y(x，(x)(x)=0 (*) 因 b=(a)，则有 f(a，b)=0 ， (a)=0，于是 fx(a，b)=0将(*) 式两边对 x 求导得 fxx(x，(x)+f xy(x，(x)(x)+ fy(x，(x)(x)+f y(x，(x)(x)=0 ，上式中令 x=a，(a)=b，(a)=0，得 因此当 0 时，(a)0，故 b=(a)是极大值；当0 时，(a) 0，故 b=(a)是极小值【知识模块】 多元函数微分学30 【正确答案】 设长、宽、高各为 x，y，z，则表面积为 S=xy+2(xz+yz)，容积V0=xyz问题是求三元函数 S 在条件 xyzV0=0 下的最小值点化
24、为无条件最值问题由条件解出z= =xy+2V0 (x0，y0)因该实际问题存在最小值，所以当长、宽、高分别为 时无盖长方体水池的表面积最小【知识模块】 多元函数微分学31 【正确答案】 设三角形的三边长为 a，b，c ，并设以 AC 边为旋转轴(见图 81)，AC 上的高为 h，则旋转所成立体的体积为V= h2b又设三角形的面积为 S，于是有所以 V= (Pa)(Pb)(Pc)问题化成求 V(a，b，c)在条件 a+b+c 一 2p=0 下的最大值点，等价于求 V0(a，b，c)=ln (P一 a)(p 一 b)(pc)=ln(p 一 a)+ln(p 一 b)+ln(pc)一 lnb 在条件
25、a+b+c 一 2p=0 下的最大值点用拉格朗日乘子法令 F(a，b，c，)=V 0(a，b，c)+(a+b+c 一 2p)，求解方程组比较，得 a=c，再由得 b=2(p 一 a) 比较， 得 b(p 一 b)=(p 一 a)p 由，解出 b= 由实际问题知，最大体积一定存在，而以上解又是方程组的唯一解因而也是条件最大值点所以当三角形的边长分别为 的边旋转时，所得立体体积最大【知识模块】 多元函数微分学32 【正确答案】 所设条件，(x，y)=0 在 x=x0 的某邻域确定隐函数 y=y(x)满足y0=y(x0)，于是 P0(x0，y 0)是 z=f(x，y)在条件 (x，y)=0 下的极值
26、点 z=f(x，y(x)在 x=x0 取极值 又由(x，y(x)=0，两边求导得 x(x0，y 0)+y(x0，y 0)，y(x 0)=0，解得 y(x0)= x(x0，y 0) y(x0，y 0) 将式代入式得 fx(x0，y 0)一 fy(x0，y 0)x(x0，y 0) y(x0，y 0)=0因此 (89)在 Oxy 平面上看，(x，y)=0 是一条曲线，它在 P0(x0，y 0)的法向量是( x(P0)， y(P0)，而 f(x，y)=f(x0， y0)是一条等高线，它在 P0 的法向量是(f x(P0)，f y(P0)，(89)式表示这两个法向量平行，于是曲线 (x，y)=0 与等高
27、线 f(x，y)=f(P 0)在点 P0 处相切【知识模块】 多元函数微分学33 【正确答案】 先求出所设方向的方向余弦设所求方向与各坐标轴的夹角为，由方向余弦的性质得 cos2+cos2+cos2=1均与各坐标轴成等角【知识模块】 多元函数微分学34 【正确答案】 椭球面 S 上 点(x，y，z)处的法向量 n=2x，2y 一 z，2zy点 (x，y，z) 处切平面Oxy 平面，则 n.k=0，即 2zy=0又(x，y，z) 在 S 上x2+y2+z2 一 yz 一 1=0因此所求点的轨迹：它是圆柱面 x2+ y2=1 与平面 2zy=0 的交线【知识模块】 多元函数微分学35 【正确答案】
28、 过 M 点分别与 x、y 轴垂直的平面是 x=3 与 y=4，与球面的截线它们的交点是 M1(3，4，12)， M 2(3，4，一12) 1 在 M1 的切向量 T= =0，2z ，2y M1=0，24，8=80，3，1， 2 在 M1 的切向量 T= =一 2z，0，2X M1=一24，0，6=6一 4，0，1 1， 2 在 M1 点的切线方程分别为过这两条切线的平面方程是=0，即 3(X 一 3)+4(y 一 4)+12(z 一 12)=0又 1 在 M2 的切向量 T= =0，2z，一 2yM2=0，一 24，一 8=80，一 3，一 1， 2 在M2 的切向量 T=一 2z，0，2x
29、 M2=24，0，6=64，0，1 1， 2 在 M2 点的切线方程分别为 过两条切线的平面方程是 =0， 即 3(x 一 3)+4(y 一 4)一 12(z+12)=0【知识模块】 多元函数微分学36 【正确答案】 写出椭球面上 点(x，y，z) 处的切平面方程，然后求出它在三条坐标轴上的截距，由此可写出四面体的体积表达式 V(x，y，z) 问题化为求V(x，y ，z) 在条件 =1 下的最小值点将椭球面方程改写成 G(x，y，z) 1=0 椭球面第一卦限部分上 点(x，y，z)处的切平面方程是其中(x，y， Z)为切平面上任意点的坐标分别令 Y=Z=0，Z=X=0，X=Y=0，得该切平面与
30、三条坐标轴的交点分别为四面体的体积为V(x，y ，z)= 为了简化计算，问题转化成求V0=xyz(x0，y0，z0)在条件 =1 下的最大值点令 F(x，y，z ，)=xyz+ ，求解方程组将方程，分别乘 x，y，z 得 代入方程 得 x=因实际问题存在最小值，因此椭球面上点(x，y，z)=处相应的四面体的体积最小【知识模块】 多元函数微分学37 【正确答案】 设 f(x，y)是 n 次齐次函数，按定义，得 f(tx，ty)=t nf(x，y)( t0)为恒等式将该式两端对 t 求导，得令 t=1，则 x (x，y)=nf(x， y)现设上式成立考察 (t)= t0)，由复合函数求导法则可得 即 (t)为常数，(t)=(1)=f(x， y)，即 f(tx，ty)=t nf(x，y)【试题解析】 将题设等式(*)对 t 求导，由(*) 可导出题设等式 (*)而由(*)导出(*)，即证 对 t0 为常数，亦即证 =0，其中关键是应用复合函数求导法则【知识模块】 多元函数微分学
