1、考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷 8 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x，y)在(0，0)的某邻域内连续，且满足 ，则 f(x，y)在(0，0)处( )（A）取极大值（B）取极小值（C）不取极值（D）无法确定是否取极值2 设 u=f(x+y，xz)有二阶连续的偏导数，则 =( )（A）f 2+xf11+(x+z)f12+xzf22（B） xf12+xzf22（C） f2+xf12+xzf22（D）xzf 223 函数 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)可偏导是函数 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)连续的( )（A）充分条件（B
2、）必要条件（C）充分必要条件（D）非充分非必要条件4 设可微函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处取得极小值，则下列结论正确的是 ( )（A）f(x 0，y)在 y=y0 处导数为零（B） f(x0，y)在 y=y0 处导数大于零（C） f(x0，y)在 y=y0 处导数小于零（D）f(x 0，y)在 y=y0 处导数不存在二、填空题5 设 y=y(x，z)是由方程 ex+y+z=x2+y2+z2 确定的隐函数，则 =_6 设 z=f(x，y)是由 e2yz+x+y2+z= 确定的函数，则 =_7 设 y=y(x)由 =_8 设 z=z(x，y)由 z+ez=xy2 确定，则 dz=_9
3、设 z=f(x+y， y+z，z+z)，其中 f 连续可偏导，则 =_10 设 z=xy+xf =_11 由方程 确定的隐函数 z=z(x，y)在点(1，0，-1)处的微分为 dz=_12 设 f(x，y， z)=exyz2，其中 z=z(x，y)是由 x+y+z+xyz=0 确定的隐函数，则fx(0，1，-1)=_13 设 f(x，y)可微，且 f1(-1，3)=-2，f 2(-1，3)=1 ，令 ，则dz (1,3)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 z=f(exsiny，x 2+y2)，且 f(u，v)二阶连续可偏导，求15 设 z=f(x2+y2，xy，x)
4、，其中 f(u，v，w)二阶连续可偏导，求16 设 z=z(x，y)由 z-yz+yez-x-y=0 确定，求 及 dz17 设 z=f(x-y+g(x-y-z)，其中 f，g 可微，求18 设 u=f(z)，其中 z 是由 z=y+xg(z)确定的 x，y 的函数，其中 f(z)与 (z)为可微函数证明：19 设 xy=xf(z)+yg(z)，且 xf(z)+yg(z)0，其中 z=z(x，y)是 x，y 的函数证明：20 设 z=f(x，y)由方程 z-y-x+xez-y-z=0 确定，求 dz21 设 u=f(x， y，z)有连续的偏导数，y=y(z)，z=z(x)分别由方程 exy-y
5、=0 与 ez-xz=0确定，求22 设 y=y(x)， z=z(x)是由方程 z=xf(x+y)和 F(x，y， z)=0 所确定的函数，其中 f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求23 设 y=f(x， t)，其中 t 是由 G(x，y，t)=0 确定的 x，y 的函数，且 f(x，t) ，G(x，y ，t) 一阶连续可偏导，求24 设25 设变换，求常数 a26 设 z=fx+(x-y)，y，其中 f 二阶连续可偏导， 二阶可导，求27 设 f(z+y，x-y)=x 2-y2+28 求二元函数 f(x，y)=x 2(2+y2)+ylny 的极值29 求 u=x2+y2+z2
6、在 上的最小值30 平面曲线 绕 x 轴旋转所得曲面为 S，求曲面 S 的内接长方体的最大体积考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷 8 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 因为 =-3，所以由极限的保号性，存在0，当时，x+y 20，所以当 0 时，有 f(x，y)f(0，0)，即 f(x，y)在(0，0)处取极大值，选 (A)【知识模块】 多元函数微分学2 【正确答案】 C【试题解析】 ，选(C)【知识模块】 多元函数微分学3 【正确答案】 D【试题解析】 如 f(x，y)= 在点(0，0)处可偏导，但不连续；又如 f(x
7、，y)= 在(0，0) 处连续，但对 x 不可偏导选(D) 【知识模块】 多元函数微分学4 【正确答案】 A【试题解析】 可微函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处取得极小值，则有 fx(x0，y 0)=0， fy(x0，y 0)=0， 于是 f(x0，y) 在 y=y0 处导数为零，选(A)【知识模块】 多元函数微分学二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 e x+y+z=x2+y2+z2 两边对 x 求偏导得【知识模块】 多元函数微分学6 【正确答案】 【试题解析】 将 x=两边求微分得 2e2yz(zdy+ydz)+dx+2ydy+dz=0，将 z=【知识模块】 多元函数微分学7
8、【正确答案】 e-1【试题解析】 当 x=0 时，y=1， 两边对 x 求导，得【知识模块】 多元函数微分学8 【正确答案】 【试题解析】 方法一 z+e z=xy2 两边关于 x 求偏导得z+ez=xy2 两边关于 y 求偏导得方法二 z+e z=xy2 两边求微分得 d(z+ez)=d(xy2)，即 dz+ezdz=y2dx+2xydy，解得【知识模块】 多元函数微分学9 【正确答案】 【试题解析】 z=f(x+y，y+z，z+x) 两边求 x 求偏导得【知识模块】 多元函数微分学10 【正确答案】 z+xy【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学11 【正确答案】 【试题解析】 把(1
9、，0， -1)代入上式得 dz=dx-【知识模块】 多元函数微分学12 【正确答案】 1【试题解析】 f x(x，y，z)= ，x+y+xyz=0 两边对 x 求偏导得解得 fx(0，1 ，-1)=1【知识模块】 多元函数微分学13 【正确答案】 -7dx+3dy【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 =f1exsiny+Zxf2， =f1excosy+exsiny(f11excosy+2yf“12)+2x(f21excosy+2yf12)=f2excosy+【知识模块】 多元函数微分学15 【正确答案】 =2xf1+yf
10、2+f3， =2x(2yf11+xf22)+f2+y(2yf21+xf22)+2yf31+xf32=4xyf11+2(x2+y2)f12【知识模块】 多元函数微分学16 【正确答案】 方程 x-yz+yez-x-y=0 两边对 x 求偏导得方程 x-yz+yez-x-y=0 两边对 y 求偏导得【知识模块】 多元函数微分学17 【正确答案】 等式 z=f(x-y+g(x-y-z)两边对 x 求偏导得等式 z=f(x-y+g(x-y-z)两边对 y 求偏导得【知识模块】 多元函数微分学18 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学19 【正确答案】 xy=xf(z)+yg(z)两边分别对 x，
11、y 求偏导，得【知识模块】 多元函数微分学20 【正确答案】 对 z-y-z+zez-y-x=0 两边求微分，得 dz-dy-dz+e z-y-xdx+xez-y-x(dz-dy-dx)=0，解得【知识模块】 多元函数微分学21 【正确答案】 ，方程 exy-y=0 两边对 x 求导得【知识模块】 多元函数微分学22 【正确答案】 z=xf(x+y)及 F(x，y，z)=0 两边对 x 求导数，得【知识模块】 多元函数微分学23 【正确答案】 将 y=f(x，t)与 G(x，y，z)=0 两边对 x 求导得【知识模块】 多元函数微分学24 【正确答案】 =0 两边对 x 求偏导得【知识模块】
12、多元函数微分学25 【正确答案】 将 u，v 作为中间变量，则函数关系为 z=f(u，v)，则有【知识模块】 多元函数微分学26 【正确答案】 z=fz+(x-y)，y两边关于 y 求偏导得 =f1+f2， =-(-f11+f12)+f1-f21+f22=f11()2-2f12+f1+f22【知识模块】 多元函数微分学27 【正确答案】 令【知识模块】 多元函数微分学28 【正确答案】 二元函数 f(x，y)的定义域为 D=(z，y)y0，【知识模块】 多元函数微分学29 【正确答案】 令 F=x2+y2+z2+【知识模块】 多元函数微分学30 【正确答案】 曲线 L： 绕 x 轴旋转一周所得的曲面为 S：根据对称性，设内接长方体在第一卦限的顶点坐标为M(x，y，2) ，则体积为 V=8xyz令 F=xyz+由实际问题的特性及点的唯一性，当 x= 时，内接长方体体积最大，最大体积为 V=【知识模块】 多元函数微分学
