1、考研数学三（概率统计）模拟试卷 7 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 X 的密度函数为 f(x)，且 f(x)为偶函数，X 的分布函数为 F(x)，则对任意实数 a，有 ( )（A）F(-a)=1 一 0af(x)（B） F(-a)= -0af(x)dx（C） F(-a)=F(a)（D）F(一 a)=2F(a)-12 设随机变量 X，Y 的分布函数分别为 F1(x)，F 2(x)，为使得 F(x)=aF1(x)+bF2(x)为某一随机变量的分布函数，则有( )3 设随机变量 X 的分布函数为 F(x)，则下列函数中可作为某随机变量的分布函
2、数的是( )（A）F(x 2)（B） F(一 x)（C） 1 一 F(x)（D）F(2x 一 1)4 设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，则随机变量 Y=min(X，2)的分布函数( )（A）是阶梯函数（B）恰有一个间断点（C）至少有两个间断点（D）是连续函数5 设随机变量 X，Y 相互独立，它们的分布函数为 FX(x)，F Y(y)，则 Z=min(X，Y)的分布函数为( ) （A）F Z(z)=maxFx(z)，Fy(z)（B） FZ(z)=minFx(z)，Fy(z)（C） FZ(z)=1 一1 一 FX(z)1 一 FY(z)（D）F Z(z)=FY(z)6 设随机变量 X，Y
3、 相互独立，它们的分布函数为 Fx(x)，Fy(y)，则Z=maxX，Y的分布函数为( )（A）F Z(z)=maxFX(z)，F Y(2)（B） FZ(z)=FX(z)FY(z)（C） FZ(z)=msx(FX(z)，F Y(z)（D）F Z(z)=FXY(z)7 设随机变量 X 与 Y 相互独立且都服从参数为 的指数分布，则下列随机变量中服从参数为 2 的指数分布的是( )（A）X+Y（B） XY（C） max(X，Y)（D）min(X ，Y)8 设随机变量 X 和 Y 都服从正态分布，则( )（A）X+Y 一定服从正态分布（B） (X，Y)一定服从二维正态分布（C） X 与 Y 不相关，
4、则 X，Y 相互独立（D）若 X 与 Y 相互独立，则 XY 服从正态分布9 若(X，Y) 服从二维正态分布，则 X，Y 一定相互独立；若 XY=0，则 X，Y一定相互独立；X 和 Y 都服从一维正态分布； X，Y 的任一线性组合服从一维正态分布，上述几种说法中正确的是( )（A）（B） （C） （D）10 设随机变量 X，Y 都是正态变量，且 X，Y 不相关，则( )（A）X，Y 一定相互独立（B） (X，Y)一定服从二维正态分布（C） X，Y 不一定相互独立（D）X+Y 服从一维正态分布11 设随机变量 X，Y 相互独立，且 XN ，则与 Z=YX 同分布的随机变量是( ) （A）X-Y（
5、B） X+Y（C） X-2Y（D）Y-2X二、填空题12 设一次试验成功的概率为 p，进行 100 次独立重复试验，当 p=_时，成功次数的标准差最大，其最大值为_13 设每次试验成功的概率为 p= ，x 表示首次成功需要试验的次数，则 X 取偶数的概率为_。14 设随机变量 X 的概率密度为 fX(x)= (一x+)，Y=X 2 的概率密度为_。15 设随机变量 X，Y 相互独立，且 XN(0，4)，Y 的分布律为Y ，则 P(X+2Y4)=_16 设(X，Y)的联合分布函数为 F(x，y)= ，则 Pmax(X，Y)1)= _17 设 X，Y 相互独立且都服从(0，2)上的均匀分布，令 Z
6、=min(X，Y)，则P(0Z1)= _。18 设随机变量 X 和 y 相互独立，且分布函数为 FX(x)=，令 U=X+Y，则 U 的分布函数为_19 设随机变量(X，Y) 的联合密度为 f(x，y)= ，则 P(X5y3)=_20 设 X，Y 为两个随机变量，且 P(X0，Y0)= ，则 Pmax(X，Y)0)= _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 有甲、乙两个口袋，两袋中都有 3 个白球 2 个黑球，现从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取 4 个球，设 4 个球中的黑球数用 X 表示，求 X 的分布律22 设一设备在时间长度为 t 的时间内发生故障的次数 N(t
7、)P(t) (1)求相继两次故障之间时间间隔 T 的概率分布；(2)求设备在无故障工作 8 小时下，再无故障工作 8 小时的概率23 设一电路由三个电子元件串联而成，且三个元件工作状态相互独立，每个元件的无故障工作时间服从参数为 的指数分布，设电路正常工作的时间为 T，求 T 的分布函数24 设随机变量 X 满足X1，且 P(X=一 1)= ，在 一1X1 发生的情况下，X 在(一 1，1)内任一子区间上的条件概率与该子区间长度成正比 (1)求 X 的分布函数； (2)求 P(X0)25 设 x 的密度函数为 fX(x)= 的密度fY(y)26 设随机变量 X 的概率密度为 fX(x)= ，求
8、 Y=eX 的概率密度 fX(y)27 设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，证明： Y=1 一 e-2X 在区间(0，1)上服从均匀分布28 设 Y ，求矩阵 A 可对角化的概率29 设随机变量 XE()，令 Y= ，求 P(X+Y=0)及 FY(y)30 设随机变量 X1，X 2，X 3，X 4 独立同分布，且 Xi的概率分布31 设随机变量 X，Y 独立同分布，且 P(X=i)= ， i=1，2，3 设随机变量U=maxX，Y)，V=min(X，Y (1)求二维随机变量(U，V)的联合分布； (2)求Z=UV 的分布； (3)判断 U，V 是否相互独立? (4)求 P(U=V)32
9、 设随机变量 X 与 Y 相互独立，下表列出二维随机变量(X，Y) 的联合分布律及关于 X 和 Y 的边缘分布律的部分数值，试将其余的数值填入表中空白处33 设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为 f(x， y)= (1)求随机变量 X，Y 的边缘密度函数；(2)判断随机变量 X，Y 是否相互独立；(3)求随机变量 Z=X+2Y 的分布函数和密度函数34 设随机变量(X，Y) 的联合密度函数为 f(x，y)= (1)求P(X2Y)； (2)设 Z=X+Y，求 Z 的概率密度函数35 设随机变量 XN(， 2)，YU-， ，且 X，Y 相互独立，令 Z=X+Y，求fZ(z)36 设随机变量 X
10、U(0，1)，在 X=x(0x1)下，Y U(0 ，x)(1)求 X，Y 的联合密度函数；(2)求 Y 的边缘密度函数37 设随机变量 X，Y 相互独立，且 X ，又设向量组1， 2， 3 线性无关，求 1+2， 2+X3，Y 1 线性相关的概率。38 设随机变量 X，Y 相互独立，且 XP(1)，Y P(2)，求 Pmax(X，Y)0)及Pmin(X，Y)039 设随机变量 X，Y 相互独立，且 X ，yE(4) ，令 U=X+2y，求 U的概率密度考研数学三（概率统计）模拟试卷 7 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 【
11、知识模块】 概率统计2 【正确答案】 D【试题解析】 根据性质 F(+)=1，得正确答案为 D【知识模块】 概率统计3 【正确答案】 D【试题解析】 函数 (x)可作为某一随机变量的分布函数的充分必要条件是：(1)0(x)1；(2)(x)单调不减；(3)(x)右连续；(4)(一)=0 ，(+)=1显然只有 F(2x 一 1)满足条件，选 D【知识模块】 概率统计4 【正确答案】 B【试题解析】 F Y(y)=P(Yy)=Pmin(X，2)y)=1 一 Pmin(X，2)y) =1-P(Xy，2 y)=1-P(Xy)P(2y) 当 y2 时，F Y(y)=1；当 y2 时，F Y(y)=1-P(
12、Xy)=P(Xy)=F X(y)，【知识模块】 概率统计5 【正确答案】 C【试题解析】 F Z(z)=P(Zz)=Pmin(X，Y)x=1 一 Pmin(X，Y) z =1 一P(Xz，Yz)=1 一 P(Xz)P(yz) =1 一1 一 P(Xz)1P(Yz)=1 一1 一FX(z)1 一 FY(z)，选 C【知识模块】 概率统计6 【正确答案】 B【试题解析】 F X(z)=P(Zz)=Pmax(X，Y)z)=P(Xz ，Yz) =P(Xz)P(Yz)=FX(z)FY(z)，选 B【知识模块】 概率统计7 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 概率统计8 【正确答案】 D【试题解析
13、】 若 X，Y 独立且都服从正态分布，则 X，Y 的任意线性组合也服从正态分布，选 D【知识模块】 概率统计9 【正确答案】 B【试题解析】 因为(X，Y)服从二维正态分布，所以 X，Y 都服从一维正态分布，aX+bY 服从一维正态分布，且 X，Y 独立与不相关等价，所以选 B【知识模块】 概率统计10 【正确答案】 C【试题解析】 只有当(X，Y)服从二维正态分布时，X，Y 独立才与 X，Y 不相关等价，由 X，Y 仅仅是正态变量且不相关不能推出 X，Y 相互独立，A 不对；若X，Y 都服从正态分布且相互独立，则(X，Y)服从二维正态分布，但 X，Y 不一定相互独立，B 不对；当 X，Y 相
14、互独立时才能推出 X+Y 服从一维正态分布，D 不对，故选 C【知识模块】 概率统计11 【正确答案】 B【试题解析】 Z=y XN(1，1)，因为 XYN(-1，1)，X+Y N(1 ，1)， X-2YN ，所以选 B【知识模块】 概率统计二、填空题12 【正确答案】 ，5【试题解析】 设成功的次数为 X，则 XB(100，p)，【知识模块】 概率统计13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率统计14 【正确答案】 【试题解析】 F Y(y)=P(Yy)=P(X2y) 当 y0 时，F Y(y)=0；【知识模块】 概率统计15 【正确答案】 046587【试题解析】 P(X+2Y4
15、)=P(Y=1)P(X42Y Y=1)+P(Y=2)P(X42Y Y=2) +P(Y=3)P(X4 一 2YY=3)【知识模块】 概率统计16 【正确答案】 e -2+e-3 一 e-5【试题解析】 由 FX(x)=F(x，+)= ，得 XE(2)，同理 YE(3)，且 X，Y 独立Pmax(X，Y)1)=P(X1 或 Y1)=1 一 P(X1，Y1)=1 一P(X1)P(Y1) =1 一 FX(1)FY(1)=1 一(1 一 e-2)(1 一 e-3)=e-2+e-3 一 e-5【知识模块】 概率统计17 【正确答案】 【试题解析】 由 X，Y 在(0，2)上服从均匀分布得因为 X，Y 相互
16、独立，所以FZ(z)=P(Zz)=1 一 P(Z2)=1 一 Pmin(X，Y)z=1 一 P(Xz，Yz) =1 一P(Xz)P(Yz)=1 一1 一 P(Xz)1 一 P(Yz) =1 一1 一 FX(z)1FY(z)于是P(0Z1)=F Z(1)一 FZ(0)=【知识模块】 概率统计18 【正确答案】 【试题解析】 F U(u)=P(Uu)=P(X+Yu)，当 U0 时，F U(u)=0；当 0u1 时，FU(u)=P(Uu)=P(X+Yu)=P(X=0，Yu)【知识模块】 概率统计19 【正确答案】 【试题解析】 P(X 5Y3)=【知识模块】 概率统计20 【正确答案】 【试题解析】
17、 令X0)=A，(Y0)=B，则有 P(AB)= ，故 Pmax(X，Y)0)=1 一 Pmax(X，Y) 0)=1 一 P(X0，Y 0) =【知识模块】 概率统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 设 A=从甲袋中取出黑球 ，X 的可能取值为 0，1，2，3，令X=i)=Bi(i=0，1，2，3)，则【知识模块】 概率统计22 【正确答案】 (1)T 的概率分布函数为 F(t)=P(Tt)， 当 t0 时，F(t)=0； 当 t0时，F(t)=P(Tt)=1-P(Tt)=1-P(N0)=1-e -t， 【知识模块】 概率统计23 【正确答案】 设三个元件正
18、常工作的时间为 Ti(i=1，2，3)，T 1，T 2，T 3 相互独立且其分布函数都是 当 t0 时，令 A=T1t，B=T 2t，C=T3t，且 A，B，C 独立， 则 FT(t)=P(Tt)=P(A+B+C) P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)， P(A)=P(B)=P(C)=1-e -t， F T(t)=3(1-e-t)-3(1-e-t)2+(1-e-t)3， 于是【知识模块】 概率统计24 【正确答案】 (1)当 x一 1 时，F(x)=0；【知识模块】 概率统计25 【正确答案】 【知识模块】 概率统计26 【正确答案】
19、 F Y(y)=P(Yy)=P(eXy)，当 y1 时，X0 ，F Y(y)=0；当 y1 时，X0，F Y(y)=P(eXy)=P(Xlny)=-lnyfX(x)dx=0lnye-xlny ， 【知识模块】 概率统计27 【正确答案】 因为 X 服从参数为 2 的指数分布，所以其分布函数为 FX(x)=，y 的分布函数为 FY(y)=P(Yy)=P(1 一 e-2Xy)，当 y0 时，F Y(y)=P(X0)=0；当 y1 时，F Y(y)=P(一X+)=1；【知识模块】 概率统计28 【正确答案】 由E 一 A= =( 一 1)( 一 2)(Y)=0得矩阵 A 的特征值为 1=1， 2=2
20、， 3=Y当 y1，2 时，矩阵 A 一定可以对角化；当 Y=1 时，A= ，=1 为二重特征值，因为 r(EA)=2，所以 A 不可对角化；当 Y=2 时，A= ，=2 为二重特征值，因为 r(2E 一 A)=1，所以 A 可对角化，故 A 可对角化的概率为 P(Y1，2)+P(Y=2)=P(Y=0)+P(Y=2)+P(Y=3)=【知识模块】 概率统计29 【正确答案】 P(X+Y=0)=P(Y= 一 X)=P(X 1)=P(X1)+P(X一 1) =P(X1)=1 一 P(X1)=1 一 FX(1)=e-FY(y)=P(Yy)P(yy，X1)+P(Yy，X 1) =P(XY，X1)+P(一
21、 Xy，X1)+P(一 Xy，X一 1) =P(Xy，0 X1)+P(X一 y，X1)当 y一 1 时，F Y(y)=P(X一 y)=ey；当一1y0 时，F Y(y)=P(X1)=e -；当 0y1 时，F Y(y)=P(Xy)+P(X1)=1 一 e-y+e-；当 y1 时，F Y(y)=P(0X1)+P(X1)=1，故【知识模块】 概率统计30 【正确答案】 X= =X1X4 一 X2X3，令 U=X1X4，V=X 2X3，且 U，V 独立同分布P(U=1)=P(X 1=1，X 4=1)=016，P(U=0)=084，X 的可能取值为一1，0，1P(X= 一 1)=P(U=0，V=1)=
22、P(U=0)P(V=1)=084016=0 134 4，P(X=1)=P(U=1，V=0)=P(U=1)P(V=0)=0 160 84=0 134 4，P(X=0)=1201344=07312，于是 X【知识模块】 概率统计31 【正确答案】 (1)由于 X，Y 相互独立，所以【知识模块】 概率统计32 【正确答案】 【知识模块】 概率统计33 【正确答案】 (1)f X(x)=-+f(x，y)dy当 X0 时，f X(x)=0；当 x0 时，f X(x)=-+f(x，y)dy= 0+2e-(x+2y)dy=e-x0+e-2yd(2y)=e-x，则 fX(x)= fY(y)=-+f(x，y)d
23、x，当 y0 时，f Y(y)=0；当 y0 时，f Y(y)=0+2e-(x+2y)dx=2e-2y0+e-xdx=2e-2y，则 fY(y)= (2)因为 f(x，y)=f X(x)fY(y)，所以随机变量X，Y 相互独立【知识模块】 概率统计34 【正确答案】 【知识模块】 概率统计35 【正确答案】 因为 XN(， 2)，YU-，所以 X，Y 的密度函数为【知识模块】 概率统计36 【正确答案】 【知识模块】 概率统计37 【正确答案】 令 k1(1+2)+k2(2+X3)+k3Y1=0，整理得(k 1+Yk3)1+(k1+k2)2+Xk23=0 因为 1， 2， 3 线性无关，所以有
24、 ，又1+2， 2+X3，Y 1 线性相关的充分必要条件是上述方程组有非零解，即=0，从而 XY=0，即 1+2， 2+X3， Y1 线性相关的充分必要条件是XY=0注意到 X，Y 相互独立，所以 1+2， 2+X3，Y 1 线性相关的概率为 【知识模块】 概率统计38 【正确答案】 Pmax(X，Y)0)=1 一 Pmax(X，Y)=0=1 一 P(X=0，Y=0) =1 一P(X=0)P(Y=0)=1 一 e-1e-2=1 一 e-3 Prain(X，Y)0)=1 一 Pmin(X，Y)=0， 令A=X=0)，B=Y=0)，则min(X，Y)=0)=A+B， 于是 Pmin(X，Y)=0)=P(A+B)=P(A)+P(B)一 P(AB) =e-1+e-2 一 e-1e -2=e-1+e-2 一 e-3， 故 Pmin(X，Y)0)=1 一 e-1一 e-2+e-3【知识模块】 概率统计39 【正确答案】 F U(U)=P(Uu)=P(X+2Yu) =P(X=1)P(X+2YuX=1)+P(X=2)P(X+2Yu X=2)【知识模块】 概率统计
