1、考研数学三（多元函数微积分学）模拟试卷 7 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 其中D=(x，y) x 2+y21)，则（A）I 3I 2 I1（B） I1I 2I 3（C） I2I 1I 3（D）I 3I 1 I22 设 f(x，y)与 (x，y) 均为可微函数，且 y(x，y)0 ，已知(x 0，y 0)是 f(x，y)在约束条件 (x，y)=0 下的一个极值点，下列选项正确的是（A）若 fx(x0，y 0)=0，则 fy(x0，y 0)=0（B）若 fx(x0，y 0)=0，则 fy(x0，y 0)0（C）若 fx(z0，y 0)0，则 fy
2、(x0，y 0)=0（D）若 fx(x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)03 设函数 f(x， y)连续，则二次积分 等于（A）（B）（C）（D）4 已知 则（A）f x(0，0)，(0，0)都存在（B） fx(0， 0)不存在，f y(0，0)存在（C） fx(0， 0)存在，f y(0，0)不存在。（D）f x(0，0)，f y(0，0)都不存在。5 设函数，连续，若 ，其中区域 Dun 为图中阴影部分，则（A）vf(u 2)（B）（C） vf(u)（D）6 设函数 f(t)连续，则二次积分（A）（B）（C）（D）7 设 D=(x， y)x 2+y22x,x2+y22y)，函数 f(
3、x，y) 在 D 上连续，则（A）（B）（C）（D）二、填空题8 设函数 f(u)可微，且 则 z=f(4x2 一 y2)在点(1，2)处的全微分_。9 设函数 z=z(X，y)由方程(z+y) X=Xy 确定，则 =_10 二次积分 =_11 若函数 z=z(x，y)由方程 ex+2y+3xxyz=1 确定，则 dz (0,0)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 计算二重积分 其中 D=(x，y)0x1，0y113 设 求14 计算二重积分 其中 D 是由直线 y=x，y=1，x=0 所围成的平面区域15 设 f(u，v)是二元可微函数16 设二元函数 计算二重积分1
4、7 设 z=z(x，y)是由方程 x2+y2 一 z=(x+y+z)所确定的函数，其中 具有 2 阶导数，且 一 1(I)求 dz；(II)18 设 D=(x， y)x 2+y21)，则19 计算 ，其中 D=(x，y)0x2，0y220 设 z=(x+ey)x，则21 求二元函数 f(x，y)=x 2(2+y2)+ylny 的极值22 计算二重积分 其中 D=(x，y)(x 一 1)2+(y 一 1)22，yx)23 求函数 u=xy+2yz 在约束条件 x2+y2+z2=10 下的最大值和最小值24 计算二重积分 其中 D 由曲线 与直线 及围成25 设函数26 已知函数 f(u，v)具有
5、二阶连续偏导数，f(1 ，1)=2 是 f(u，v)的极值，z=f(x+y，f(x,y)求27 设函数 f(x)在区间0， 1上具有连续导数，f(0)=1，且满足，其中 D1=(x，y)0yt 一 x，0xt)(0 t1) 求f(x)表达式28 设连续函数 z=f(x，y)满足28 某企业为生产甲、乙两种型号的产品投入的固定成本为 10 000(万元)设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为 x(件)和 y(件) ，且这两种产品的边际成本分别为(万元件) 与 6+y(万元件)29 求生产甲、乙两种产品的总成本函数 C(x，y)(万元)；30 当总产量为 50 件时，甲、乙两种产品的产量各为多少时
6、可使总成本最小?求最小成本；31 求总产量为 50 件且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义32 计算二重积 ,其中。是以曲线 及 y 轴为边界的无界区域.33 设 DK 是圆域 D=(x，y)x 2+y21)在第 k 象限的部分，记(k=1，2，3，4) ，则34 设平区域 D 由直线 x=3y，y=3y 及 x+y=8 围成，计算 35 设平面区域 D=(x，y)1x 2+y24，x0，y0)，计算36 计算二重积分 其中 D=(x，y)x 2+y22，yx 3)考研数学三（多元函数微积分学）模拟试卷 7 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1
7、 【正确答案】 A【试题解析】 由于当 时，cosx 是减函数，而当 0x2+y21 时,则 故即 I1I2I3【知识模块】 多元函数微积分学2 【正确答案】 D【试题解析】 由拉格朗日乘数法知，若(x 0，y 0)是 f(x，y)在条件 (x，y)=0 下的极值点，则必有 若 fx(x0，y 0)0，由 式知 0，由原题设知 y(x0，y 0)0，由式可知 fy(x0，y 0)0，故应选 D【知识模块】 多元函数微积分学3 【正确答案】 B【试题解析】 二次积分 对应的二重积分的积分域 D 如右图所示交换二次积分次序得 故应选 B【知识模块】 多元函数微积分学4 【正确答案】 B【试题解析】
8、 解【知识模块】 多元函数微积分学5 【正确答案】 A【试题解析】 故应选 A【知识模块】 多元函数微积分学6 【正确答案】 B【试题解析】 方程 r=2cos 两端同乘 rr 2=2rcos 即 x 2+y2=2x 又 r=2，即 x2+y2=4则积分域 D 是由圆 x2+y2=2x，x 2+y2=4 和 y 轴围成的区域，如图则故应选 B【知识模块】 多元函数微积分学7 【正确答案】 B【试题解析】 积分域 D 如右图所示故应选 B【知识模块】 多元函数微积分学二、填空题8 【正确答案】 4dx 一 2dy【试题解析】 【知识模块】 多元函数微积分学9 【正确答案】 2-2ln2【试题解析
9、】 方程(2+y) 2=xy 两端取对数得 xln(x+y)=lnx+lny 上式两端对 x 求偏导得 将 x=1，y=2 代入上式，并注意 z=0得【知识模块】 多元函数微积分学10 【正确答案】 【试题解析】 积分 中的第二项适合先对 x 后对 y 积分，但第一项适合先对 y 后对 x 积分【知识模块】 多元函数微积分学11 【正确答案】 【试题解析】 将 x=0，y=0 代入 ex+2y+3z+xyz=1 中得 e3z=1，则 z=0 方程ex+2y+3z+xyz=1 两端微分得 ex+2y+3z(dx+2dy+3dz)+yzdx+xzdy+xydz=0 将x=0，y=0，z=0 代入上
10、式得 dx+2dy+3dz=0 则【知识模块】 多元函数微积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 如图，将 D 分成 D1 与 D2 两部分【知识模块】 多元函数微积分学13 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学14 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数微积分学16 【正确答案】 由于被积函数 f(x，y)关于 x 和 y 都是偶函数，而积分域 D 关于 x轴和 y 抽都对称则 其中 D1 为直线 x+y=1 与x 轴和 y 轴围成的区域，D 2 为直线 x+y=1，x+y=2 与 x
11、轴和 y 轴所围成的区域(如图)【知识模块】 多元函数微积分学17 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学18 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数微积分学19 【正确答案】 曲线 xy=1 将区域 D 分成如图所示的两个区域 D1 和 D2【知识模块】 多元函数微积分学20 【正确答案】 21n2+1【试题解析】 由 z=(x+ey)x 知，z(x ，0)=(x+1) x【知识模块】 多元函数微积分学21 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学22 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学23 【正确答案】 设 F(x，y，z，)=xy+2yz+(x 2+y2+
12、z2 一 10)令得可能的最值点 因为在A，D 两点处 ；在 B，C 两点处 在 E，F 两点处 u=0，所以【知识模块】 多元函数微积分学24 【正确答案】 区域 D 如图所示【知识模块】 多元函数微积分学25 【正确答案】 (1+2ln2)(dxdy)【试题解析】 【知识模块】 多元函数微积分学26 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学27 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学28 【正确答案】 2dxdy【试题解析】 【知识模块】 多元函数微积分学【知识模块】 多元函数微积分学29 【正确答案】 由题设知 从而有【知识模块】 多元函数微积分学30 【正确答案】 由题设知
13、x+y=50，此时的成本函数为求导得令 f(x)=0 解得唯一驻点 x=24又 ，所以 x=24 是成本函数 C(x，50 一 x)的最小值点故当甲为 24 件，乙为 26 件时，总成本达到最小，最小成本为 C(24，26)=11118 万元【知识模块】 多元函数微积分学31 【正确答案】 其经济意义为：当生产乙产品 26 件时，生产第 25 件甲产品需 32 万元【知识模块】 多元函数微积分学32 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学33 【正确答案】 B【试题解析】 由于 D1 和 D2 关于直线 y=x 对称，则而在 D2 上，y-x0，在 D3 上y-x0 ，则 I20，I0 故应选 B【知识模块】 多元函数微积分学34 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学35 【正确答案】 由于积分域 D 关于直线 y=x 对称，则【知识模块】 多元函数微积分学36 【正确答案】 因为区域 D 关于 y 轴对称，所以【知识模块】 多元函数微积分学
