1、考研数学三（微积分）模拟试卷 7 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)是连续函数，F(x) 是 f(x)的原函数，则（A）当 f(x)是奇函数时， F(x)必是偶函数（B）当 f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数（C）当 f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数（D）当 f(x)是单调增函数时， F(x)必是单调增函数2 已知 y=x/lnx 是微分方程 y=y/x+(x/y)的解，则 (x/y)的表达式为（A）-y 2/x2（B） y2/x2（C） -x2/y2（D）x 2/y23 设 y1，y 2 是一阶线性非齐次微分方程 y.+p
2、(x)y=q(x)的两个特解，若常数 ， 使y1+y2 是该方程的解，y 1-y2 是该方程对应的齐次方程的解，则（A）=1/2,=1/2（B） =-1/2,=-1/2（C） =2/3,=1/3（D）=2/3,=2/34 若 f(x)不变号，且曲线 y=f(x)在点(1，1) 处的曲率圆为 x2+y2=2，则函数 f(x)在区间(1， 2)内（A）有极值点，无零点（B）无极值点，有零点（C）有极值点，有零点（D）无极值点，无零点5 设 u=e-x sinx/y,则 2 u/xy 在点（2,1/）处的值_。6 设 an0(n=l ，2，) ，S n=a1+a2+an，则数列S n有界是数列a n
3、收敛的（A）充分必要条件（B）充分非必要条件（C）必要非充分条件（D）既非充分也非必要条件7 “对任意给定的 (0，1)，总存在正整数 N，当 nN 时，恒有x n-a2”是数列xn收敛于 a 的（A）充分条件但非必要条件（B）必要条件但非充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分条件又非必要条件8 设函数 f(x)在(-，+) 内单调有界，x n为数列，下列命题正确的是（A）若x n收敛，则f(x n)收敛（B）若 xn单调，则f(x n)收敛（C）若 f(xn)收敛，则x n收敛（D）若f(x n)单调，则x n收敛9 函数 f(x)=丨 x 丨 sin(x-2)/x(x-1)(x-2)2存
4、下列哪个区间内有界（A）(-1，0)（B） (1，0)（C） (1，2)（D）（2,3）10 设 f(x)=ln10x，g(x)=x ，h(x)=e x/10，则当 x 充分大时有（A）g(x)0 且 f(a)0（D）f(a)0，f(b)f(a)（B）至少存在一点 xo(a，b)，使得 f(xo)f(b)（C）至少存在一点 xo(a，b)，使得 f(xo)=0（D）至少存在一点 xo(a，b)，使得 f(xo)=017 设函数 f(x)在区间(-，)内有定义，若当 x(-，)时，恒有丨 f(x)丨x 2，则x=0 必是 f(x)的（A）间断点（B）连续而小可导的点（C）可导的点，f(0)=0（
5、D）町导的点，f(0)018 设函数 f(x)连续，f(0)0，则存在 0，使得（A）f(x)在(0，)内单调增加（B） f(x)存(-，0) 内单凋减少（C）对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)（D）对任意的 x(-，0)有 f(x)f(0)19 设函数 f(x)=(ex-1)(e2x-2)(enx-n)，其中 n 为正整数，则 f(0)=（A）(-1) n-1(n-1)!（B） (-1)n(n-1)!（C） (-1)n-1n!（D）(-1) nn!二、填空题20 当 x0 时，f(x)=x-sinax 与 g(x)=x2ln(1-bx)是等价无穷小，则a=_,b=_.21 已知当 x0
6、 时，函数 f(x)=3sinx-sin3x 与 cxk 是等价无穷小，则k=_,c=_.22 设当 x0 时，(1-cosx)ln(1+x 2)是比 xsinxn 高阶的无穷小，而 xsinxn 是比 ex2-1 高阶的无穷小，则正整数 n 等于23 设函数 f(x)在 x=2 的某邻域内可导，且 f(x)=ef(x)，f(2)：1，则 f“(2)=_.24 设函数 f(u)可导，y=f(x 2)当自变量 x=-1 处取得增量x=-01 时，相应的函数增量y 的线性主部为 01 ，则 f(1)=_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。25 试确定常数 A，B，C 的值，使得 e
7、 x(1+Bx+Cx2)=1+Ax+o(x3)， 其中 o(x3)是当x0 时比 x3 高阶的无穷小考研数学三（微积分）模拟试卷 7 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【知识模块】 微积分2 【正确答案】 A【知识模块】 微积分3 【正确答案】 A【知识模块】 微积分4 【正确答案】 B【知识模块】 微积分5 【正确答案】 2/2【知识模块】 微积分6 【正确答案】 B【试题解析】 解决数列极限问题的基本方法是：求数列极限转化为求函数极限;利用适当放大缩小法(夹逼定理);利用定积分定义求某些和式的极限.【知识模块】 微积分7 【正确答案
8、】 C【试题解析】 函数与极限的几个基本性质：有界与无界，无穷小与无穷大，有极限与无极限(数列的收敛与发散)，以及它们之间的关系，例如，有极限(局部)有界，无穷大无界，还有极限的不等式性质及极限的运算性质等【知识模块】 微积分8 【正确答案】 B【知识模块】 微积分9 【正确答案】 A【知识模块】 微积分10 【正确答案】 C【知识模块】 微积分11 【正确答案】 B【知识模块】 微积分12 【正确答案】 D【知识模块】 微积分13 【正确答案】 C【知识模块】 微积分14 【正确答案】 D【知识模块】 微积分15 【正确答案】 B【知识模块】 微积分16 【正确答案】 D【知识模块】 微积分
9、17 【正确答案】 C【知识模块】 微积分18 【正确答案】 C【知识模块】 微积分19 【正确答案】 A【知识模块】 微积分二、填空题20 【正确答案】 1,-1/6【知识模块】 微积分21 【正确答案】 3,4【知识模块】 微积分22 【正确答案】 2【知识模块】 微积分23 【正确答案】 2e 3【知识模块】 微积分24 【正确答案】 1/2【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。25 【正确答案】 把 ex 的带皮亚诺余项的麦克劳林公式 e x=1+x+1/2x2+1/6x3+ox3， 代入经整理可得 e x(1+Bx+Cx2)-(1+Ax)=(1-A+B)x+(1/2+B+C)x2+(1/6+B/2+C)x3+o(x3) 从而使得 ex(1+Bx+Cx2)=1+Ax+o(x3)成立的充分必要条件是常数A，B，C 同时满足 1-A+ B=o，1/2+B+C=o 与 1/6+B/2+C=0，解出即得 A=1/3，B=-2/3，C=1/6【知识模块】 微积分
