1、考研数学三（一元函数微分学）-试卷 21 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.曲线 （分数：2.00）A.1 条B.2 条C.3 条D.4 条3.设函数 f(x)=(e x 1)(e 2x 2)(e nx n)，其中 n 为正整数，则 f(0)= ( )（分数：2.00）A.(1) n1 (n1)！B.(1) n (n1)！C.(1) n1 n！D.(1) n n！4.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=1，f(1)=0，则在
2、(0，1)内至少存在一点 ，使 ( )（分数：2.00）A.B.C.D.5.f(x)=xe x 的 n 阶麦克劳林公式为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.若 f(x)在开区间(a，b)内可导，且 x 1 ，x 2 是(a，b)内任意两点，则至少存在一点 ，使下列诸式中成立的是 ( )（分数：2.00）A.f(x 2 )f(x 1 )=(x 1 x 2 )f()，(a，b)B.f(x 1 )f(x 2 )=(x 1 x 2 )f()， 在 x 1 ，x 2 之间C.f(x 1 )f(x 2 )=(x 2 x 1 )f()，x 1 x 2D.f(x 2 )f(x 1 )=(x 2 x
3、 1 )f()，x 1 x 27.在区间0，8内，对函数 f(x)= （分数：2.00）A.不成立B.成立，并且 f(2)=0C.成立，并且 f(4)=0D.成立，并且 f(8)=08.给出如下 5 个命题： (1)若不恒为常数的函数 f(x)在(，+)内有定义，且 x 0 0 是 f(x)的极大值点，则x 0 必是f(x)的极大值点； (2)设函数 f(x)在a，+)上连续，f(x)在(a，+)内存在且大于零，则 F(x)= （分数：2.00）A.2B.3C.4D.5二、填空题(总题数：3，分数：6.00)9.设 y= （分数：2.00）填空项 1:_10.设 y= （分数：2.00）填空项
4、 1:_11.y=sin 4 x+cos 4 x，则 y (n) = 1(n1)（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：20，分数：40.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_13.求证：当 x0 时，不等式 arctanx+ （分数：2.00）_14.利用导数证明：当 x1 时， （分数：2.00）_15.设 x(0，1)，证明下面不等式： (1)(1+x)ln 2 (1+x)x 2 ； (2) （分数：2.00）_16.求证：当 x0 时，(x 2 1)lnx(x1) 2 （分数：2.00）_17.证明： （分数：2.00）_18.求使不
5、等式 （分数：2.00）_19.设函数 f(x)在(，+)内二阶可导，且 f(x)和 f(x)在(，+)内有界证明：f(x)在(，+)内有界（分数：2.00）_20.设 n 为自然数，试证： （分数：2.00）_21.已知f(x)二阶可导，且 f(x)0，f(x)f(x)f(x) 2 0(xR) (1)证明：f(x 1 )f(x 2 )f 2 ( （分数：2.00）_22.设 f(x)在闭区间0，c上连续，其导数 f(x)在开区间(0，c)内存在且单调减少，f(0)=0试应用拉格朗日中值定理证明：f(a+b)f(a)+f(b)，其中常数 a，b 满足条件 0aba+bc（分数：2.00）_23
6、.证明：当 x0 时，有 （分数：2.00）_24.证明：当 0ab 时，bsinb+2cosb+basina+2cosa+a（分数：2.00）_25.设 bae，证明：a b b a （分数：2.00）_26.证明：当 x0 时，不等式 （分数：2.00）_27.证明：当 x 时，不等式 （分数：2.00）_28.已知某种商品的需求量 x 对价格 p 的弹性为 =-2p 2 ，而市场对该商品的最大需求量为 1(万件)(1)确定需求函数；(2)若价格服从1，2上的均匀分布，计算期望收益值（分数：2.00）_29.一商家销售某种商品的价格满足关系 P=702x(万元单位)，x 为销售量，成本函数
7、为 C=3x+1(万元)，其中 x 服从正态分布 N(5p，1)，每销售一单位商品，政府要征税 t 万元，求该商家获得最大期望利润时的销售量（分数：2.00）_30.设需求函数为 P=abQ，总成本函数为 C= Q 3 7Q 2 +100Q+50，其中 a，b0 为待定的常数，已知当边际收益 MR=67，且需求价格弹性 E p = （分数：2.00）_31.某集邮爱好者有一个珍品邮票，如果现在(t=0)就出售，总收入为 R 0 元如果收藏起来待来日出售，t 年末总收入为 R(t)=R 0 e (t) ，其中 (t)为随机变量，服从正态分布 N( （分数：2.00）_考研数学三（一元函数微分学）
8、-试卷 21 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.曲线 （分数：2.00）A.1 条B.2 条 C.3 条D.4 条解析：解析： ，曲线 y=f(x)有水平渐近线 y= 曲线 y=f(x)有铅直渐近线 x=0 曲线y=f(x)无斜渐近线3.设函数 f(x)=(e x 1)(e 2x 2)(e nx n)，其中 n 为正整数，则 f(0)= ( )（分数：2.00）A.(1) n1 (n1)！ B.(1) n (n1)！C.(1) n1 n！D.(1
9、) n n！解析：解析：用导数定义 f(0)= 4.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=1，f(1)=0，则在(0，1)内至少存在一点 ，使 ( )（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：设 F(x)=xf(x)，则 F(x)在0，1上满足罗尔定理的条件，故存在 (0，1)，使得(xf(x) x= =0，即 f()+f()=0，有 f()= 5.f(x)=xe x 的 n 阶麦克劳林公式为 ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因为 f(x)=xe x ，f(0)=0，f(x)=e x (1+x)，f(0)=1，f (n) (x)=e x (
10、n+x)，f (n) (0)=n，f (n+1) (x)=e x (n+1+x)，f (n+1) (x)=e x (n+1+x)，依次代入到泰勒公式，即得(B)6.若 f(x)在开区间(a，b)内可导，且 x 1 ，x 2 是(a，b)内任意两点，则至少存在一点 ，使下列诸式中成立的是 ( )（分数：2.00）A.f(x 2 )f(x 1 )=(x 1 x 2 )f()，(a，b)B.f(x 1 )f(x 2 )=(x 1 x 2 )f()， 在 x 1 ，x 2 之间 C.f(x 1 )f(x 2 )=(x 2 x 1 )f()，x 1 x 2D.f(x 2 )f(x 1 )=(x 2 x
11、1 )f()，x 1 x 2解析：解析：由拉格朗日中值定理易知(A)，(C)错，(B)正确，又因未知 x 1 与 x 2 的大小关系，知(D)不正确7.在区间0，8内，对函数 f(x)= （分数：2.00）A.不成立B.成立，并且 f(2)=0C.成立，并且 f(4)=0 D.成立，并且 f(8)=0解析：解析：因为 f(x)在0，8上连续，在(0，8)内可导，且 f(0)=f(8)，故 f(x)在0，8上满足罗尔定理条件 令 f(x)=8.给出如下 5 个命题： (1)若不恒为常数的函数 f(x)在(，+)内有定义，且 x 0 0 是 f(x)的极大值点，则x 0 必是f(x)的极大值点；
12、(2)设函数 f(x)在a，+)上连续，f(x)在(a，+)内存在且大于零，则 F(x)= （分数：2.00）A.2B.3 C.4D.5解析：解析：对上述 5 个命题一一论证 对于(1)，只要注意到：若 f(x)在点 x 0 取到极大值，则f(x)必在点 x 0 处取到极小值，故该结论错误； 对于(2)，对任意 xa，由拉格朗日中值定理知，存在(a，x)使 f(x)f(a)=f()(xa)， 则 由 f(x)0 知，f(x)在(a，+)内单调增加，因此，对任意的 x 与 ，ax，有 f(x)f()，从而由上式得 F(x)0，所以函数 F(x)在(a，+)内单调增加，该结论正确； 对于(3)，因
13、 f(x 0 )=0，故所给定的方程为 f(x 0 )= 二、填空题(总题数：3，分数：6.00)9.设 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：10.设 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：11.y=sin 4 x+cos 4 x，则 y (n) = 1(n1)（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4 n1 cos(4x+ ）解析：解析：三、解答题(总题数：20，分数：40.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：13.求证：当 x0 时，不等式 ar
14、ctanx+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f(x)=arctanx+ ，则 f(+)= =0因为 f(x)= 0，所以 f(x)单调递减，且当 0x+时，f(x)f(+)=0，即 arctanx+ )解析：14.利用导数证明：当 x1 时， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f(x)=(1+x)ln(1+x)xlnx，有 f(1)=2ln20 由 f(x)=ln(1+ )0(x0)知，f(x)单调递增，且当 x1 时， f(x)f(1)=2ln20，lnx0， 从而得 )解析：15.设 x(0，1)，证明下面不等式： (1)(1+x)ln 2 (1+x)x 2 ；
15、 (2) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 (x)=x 2 (1+x)ln 2 (1+x)，有 (0)=0，且 (x)=2xln 2 (1+x)2ln(1+x)，(0)=0 当 x(0，1)时，(x)= xln(1+x)0，知 (x)单调递增，从而 (x)(0)=0，知 (x)单调递增，则 (x)(0)=0，即(1+x)ln 2 (1+x)x 2 (2)令f(x)= ，x0，1，则有 由(1)得，当 x(0，1)时 f(x)0，知 f(x)单调递减，从而f(x)f(1)= 1 又因为 当 x(0，1)时，f(x)0，知 f(x)单调递减，且 f(x)f(0 + )= ，所以
16、)解析：16.求证：当 x0 时，(x 2 1)lnx(x1) 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f(x)=(x 2 1)lnx(x1) 2 ，所以 f(1)=0 又因为 f(x)=2xlnxx+2 ，f(1)=0，且 f(x)=2lnx+1+ ，f(1)=20，f(x)= )解析：17.证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 令 f(x)= ，只需证明 f(x)1由 f(O)=1，只需证 因此，当x(0， )解析：18.求使不等式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：已知不等式等价于(n+)ln(1+ )1(n+)ln(1+ )即 n 令 f(x)= ，x
17、(0，1，则 令 g(x)=(1+x)ln 2 (1+x)x 2 ，x0，1，则g(0)=0，且 g(x)=ln 2 (1+x)+21n(1+x)2x，g(0)=0， 故 g(x)在0，1上严格单调递减，所以 g(x)g(0)=0同理，g(x)在0，1上也严格单调递减，故 g(x)g(0)=0，即(1+x)ln 2 (1+x)x 2 0，从而 f(x)0(0x1)，因此 f(x)在(0，1上也严格单调递减 令 x= ，则f(x)，有 故使不等式对所有的自然数 n 都成立的最大的数 为 1，最小的数 为 )解析：19.设函数 f(x)在(，+)内二阶可导，且 f(x)和 f(x)在(，+)内有界
18、证明：f(x)在(，+)内有界（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：存在正常数 M 0 ，M 2 ，使得对 x(，+)，恒有 f(x)M 0 ，f(x)M 2 由泰勒公式，有 f(x+1)=f(x)+f(x)+ f()， 其中 介于 x 与x+1 之间，整理得 f(x)=f(x+1)f(x) f()， 所以 f(x)f(x+1)+f(x)+ f()2M 0 + )解析：20.设 n 为自然数，试证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：右端不等式等价于证明 即 设 f(x)= 1，x0，则=ln1+lne1=0 又 故 =0当 x0 时，有 从而，当 x0 时，f(x)单调增，且当
19、x+时，f(x)趋于零，所以，当 x0 时，f(x)0进而知当 x0 时，f(x)单调减，且当x+时，f(x)趋于零，于是，当 x0 时，f(x)0所以，对一切自然数 n，恒有 f(n)0，故有从而右端不等式成立 类似地，引入辅助函数 )解析：21.已知f(x)二阶可导，且 f(x)0，f(x)f(x)f(x) 2 0(xR) (1)证明：f(x 1 )f(x 2 )f 2 ( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)记 g(x)=lnf(x)，则 g(x)= 0，故 即 f(x 1 )f(x 2 ) (2)g(x)=g(0)+g(0)x+ x 2 =lnf(0)+ )解析：22.设
20、f(x)在闭区间0，c上连续，其导数 f(x)在开区间(0，c)内存在且单调减少，f(0)=0试应用拉格朗日中值定理证明：f(a+b)f(a)+f(b)，其中常数 a，b 满足条件 0aba+bc（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 a=0 时，等号成立；当 a0 时，由于 f(x)在区间0，a及b，a+b上满足拉格朗日中值定理，所以，存在 1 (0，a)， 2 (b，a+b)， 1 2 ，使得 f(a+b)f(b)f(a)f(0)=af( 2 )af( 1 ) 因为 f(x)在(0，c)内单调减少，所以 f( 2 )f( 1 )，于是， f(a+b)f(b)f(a)f(0)0， 即
21、f(a+b)f(a)+f(b) 于是有 F(b)F(0)=0，即 f(a+b)f(b)f(a)0，即 f(a+b)f(a)+f(b)解析：23.证明：当 x0 时，有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 ，所以 ln(1+x)1nx ，且函数 f(t)=lnt 在x，1+x上满足拉格朗日中值定理，故存在 (x，1+x)，使得 ln(1+x)lnx=f()= 因为 x1+x，所以，于是有 ln(1+x)lnx 即 )解析：24.证明：当 0ab 时，bsinb+2cosb+basina+2cosa+a（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)=xsinx+2cosx+x，
22、只需证明 F(x)在(0，)上单调递增 F(x)=sinx+xcosx2sinx+=+xcossinx， 由此式很难确定 F(x)在(0，)上的符号，为此有 F(x)=xsinx0，x(0，)， 即函数 F(x)在(0，)上单调递减，又 F()=0，所以 F(x)0，x(0，)，于是 F(b)F(a)，即 bsin b+2cos b+basina+2cosa+a)解析：25.设 bae，证明：a b b a （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f(x)= ，则 f(x)= ，其中 lnx1ne=1，所以，f(x)0，即函数 f(x)单调递减因此，当 bae 时， )解析：26.证明：
23、当 x0 时，不等式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：构造辅助函数 f(x)=1+x ，则 f(0)=0，且 f(x)=1 由题设条件很难确定 f(x)=1 的符号，但是 f(0)=0，f(x)= 0， 所以 f(x)=1 0，从而，当 x0 时， f(x)=1+x 0， 即 )解析：27.证明：当 x 时，不等式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x 0，而 cosx0，所以不等式成立 当 x 时，构造辅助函数 f(x)= cosx，则 f(x)= (2xcosx2sinx+x 3 ) 上式中，当 x 0，但是，2xcosx2sinx+x 3 的符号无法直接确定，为此，
24、令 g(x)=2xcosx2sinx+x 3 ，则 g(0)=0，且 g(x)=x 2 +2x(xsinx)0，所以，当 x 时，g(x)=2xcosx2sinx+x 3 0 从而，当 x 时，f(x)= (2xcosx2sinx+x 3 )0，又 =0，所以，当 x )解析：28.已知某种商品的需求量 x 对价格 p 的弹性为 =-2p 2 ，而市场对该商品的最大需求量为 1(万件)(1)确定需求函数；(2)若价格服从1，2上的均匀分布，计算期望收益值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由弹性公式： 两边积分有 lnx(p)=p 2 +c 1 =x(p)= 由 x(0)=1 得
25、c=1，故 x(p)= )解析：29.一商家销售某种商品的价格满足关系 P=702x(万元单位)，x 为销售量，成本函数为 C=3x+1(万元)，其中 x 服从正态分布 N(5p，1)，每销售一单位商品，政府要征税 t 万元，求该商家获得最大期望利润时的销售量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：收益为 R=xp，利润为 L=RCT，其中税收 T=tx于是 L=xp(3x+1)tx=x(702x)(3x+1)tx=02x 2 +(4t)x1， EL=02Ex 2 +(4t)Ex1=02Dx+(Ex) 2 +(4t)Ex1 =021+(5p) 2 +(4t)5p1=5p 2 +5(4t)p1
26、2， 令 因此，当 P= (4t)即 x=355p=25+ )解析：30.设需求函数为 P=abQ，总成本函数为 C= Q 3 7Q 2 +100Q+50，其中 a，b0 为待定的常数，已知当边际收益 MR=67，且需求价格弹性 E p = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：总收益：R=Qp=aQBQ 2 ，Q= (ap) L(Q)=RC= Q 3 +(7b)Q 2 +(a100)Q50 于是有 L(Q)=Q 2 +2(7b)Q+(a100) 由题设 a，b，Q 应满足 解得：a=111，b= ，Q=3 或 a=111，b=2，Q=11 (1)若 a=111，b= )解析：31.某集邮爱好者有一个珍品邮票，如果现在(t=0)就出售，总收入为 R 0 元如果收藏起来待来日出售，t 年末总收入为 R(t)=R 0 e (t) ，其中 (t)为随机变量，服从正态分布 N( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由连续复利公式，t 年末售出总收入 R 的现值为：A(t)=Re rt 于是 A(t)=R 0 e (t) e rt =R 0 e (t)rt ， EA(t)=R 0 e rt Ee (t) = 令 ，可见当 t 0 = 时，期望的现值(取到极大值)最大若 r=006，t= )解析：
