1、考研数学三（一元函数微分学）-试卷 4 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)分别满足如下两个条件中的任何一个： ()f(x)在 x=0 处三阶可导，且 ()f(x)在 x=0邻域二阶可导，f“(0)=0，且 （分数：2.00）A.f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)不是曲线 y=f(x)的拐点B.f(0)是 f(x)的极小值C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(0)是 f(x)的极大值3.设函数 f(x)有二阶连续导数
2、，且 （分数：2.00）A.f(x)在 x=0 处取极大值B.f(x)在 x=0 处取极小值C.点(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点4.设函数 f(x)在 x=1 的某邻域内连续，且 （分数：2.00）A.不可导点B.可导点，但非驻点C.驻点，但非极值点D.驻点，且为极值点5.设函数 y(x)=x 3 +3ax 2 +3bx+c 在 x=2 处有极值，其图形在 x=1 处的切线与直线 6x+2y+5=0 平行，则y(x)的极大值与极小值之差为（分数：2.00）A.1B.2C.3D.4二、解答题(总题数：22，
3、分数：44.00)6.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_7.设函数 f(x)在a，+)上连续，f“(x)在(a，+)内存在且大于零记 F(x)= （分数：2.00）_8.设 f(x)在(a，b)四次可导，且存在 x 0 (a，b)使得 f“(x 0 )=f“(x 0 )=0，又设当 axb 时 f (4) (x)0，求证 f(x)的图形在(a，b)是凹的（分数：2.00）_9.求函数 （分数：2.00）_10.作函数 y= （分数：2.00）_11.设 f(x)在(a，b)内可导，且 (如图 212)，求证：f(x)在(a，b)恰有两个零点 （分数：2.00）_
4、12.求证：方程 （分数：2.00）_13.就 a 的不同取值情况，确定方程 lnx=x a (a0)实根的个数（分数：2.00）_14.讨论曲线 y=2lnx 与 y=2x+ln 2 x+k 在(0，+ao)内的交点个数(其中 k 为常数)（分数：2.00）_15.某商品的需求价格弹性为E p ，某人的收入为 M，全部用于购买该商品，求他的需求收入弹性（分数：2.00）_16.设某厂商生产某种产品，其产量与人们对该产品的需求量 Q 相同，其价格为 p试利用边际收益与需求价格弹性之间的关系解释：当E p 1 时价格的变动对总收益的影响（分数：2.00）_17.设 f(x)在(a，b)可导，且
5、（分数：2.00）_18.设 f(x)在a，b可导，且 f“ + (a)与 f“ - (b)反号，证明：存在 (a，b)使 f“()=0（分数：2.00）_19.设 f(x)在0，1三阶可导，且 f(0)=f(1)=0设 F(x)=x 2 f(x)，求证：在(0，1)内存在 c，使得F“(c)=0（分数：2.00）_20.设 f(x)在0，1上连续，且满足 （分数：2.00）_21.设 f(x)在0，1二阶可导，且 f(0)=f(1)=0，试证：存在 (0，1)使得 （分数：2.00）_22.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，又 ba0求证：存在 ，(a，b)使 （分数：2.00
6、）_23.设 a0，求 f(x)= （分数：2.00）_24.求函数 f(x)= （分数：2.00）_25.在椭圆 （分数：2.00）_26.已知某厂生产 x 件产品的成本为 C(x)=25000+200x+ （分数：2.00）_27.设平均收益函数和总成本函数分别为 AR=a-bQ， C= -7Q 2 +100Q+50， 其中常数 a0，b0 待定已知当边际收益 MR=67，且需求价格弹性 E p = （分数：2.00）_考研数学三（一元函数微分学）-试卷 4 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有
7、一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)分别满足如下两个条件中的任何一个： ()f(x)在 x=0 处三阶可导，且 ()f(x)在 x=0邻域二阶可导，f“(0)=0，且 （分数：2.00）A.f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)不是曲线 y=f(x)的拐点B.f(0)是 f(x)的极小值 C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(0)是 f(x)的极大值解析：解析：()由条件 =f“(0)=0用洛必达法则得 因 =f“(0)，若 f“(0)0，则J=，与 J=1 矛盾，故必有 f“(0)=0再由 f“(0)的定义知 因此，(0，f(0)是拐点选(C)
8、 ()已知 f“(0)=0，现考察 f“(0)由方程得 利用当 x0 时的等价无穷小关系 ，并求极限即得3.设函数 f(x)有二阶连续导数，且 （分数：2.00）A.f(x)在 x=0 处取极大值 B.f(x)在 x=0 处取极小值C.点(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析：解析：利用 f(x)在 x=0 处的二阶泰勒公式可得4.设函数 f(x)在 x=1 的某邻域内连续，且 （分数：2.00）A.不可导点B.可导点，但非驻点C.驻点，但非极值点D.驻点，且为极值点 解析：解析： 又由 f(x)连续性知 f
9、(1)=0，故5.设函数 y(x)=x 3 +3ax 2 +3bx+c 在 x=2 处有极值，其图形在 x=1 处的切线与直线 6x+2y+5=0 平行，则y(x)的极大值与极小值之差为（分数：2.00）A.1B.2C.3D.4 解析：解析：先确定三次函数 y(x)表达式中的常数 a，b，c 由 y“(x)=3x 2 +6ax+3b 及已知 x=2 是极值点，可得 y“(2)=3(4+4a+b)=0 又由在 x=1 处的斜率为 y“(1)=-3，得 3(1+2a+b)=-3 由、可得 a=-1，b=0 故三次函数 y(x)=x 3 -3x 2 +c 由 y“(x)=3x(x-2)得函数 y(x
10、)有驻点 x=0 与 x=2又由 y“(x)=6x-6 知 y“(0)0 与 y“(2)0故 y(x)的极大值为 y(0)=c， 极小值为 y(2)=-4+c 于是y(0)-y(2)=4故应选(D)二、解答题(总题数：22，分数：44.00)6.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：7.设函数 f(x)在a，+)上连续，f“(x)在(a，+)内存在且大于零记 F(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)证明 F“(x)0(xa)由题设条件，有 由拉格朗日中值定理知，存在(ax)使得 由 f“(x)0，可知 f“(x)在(a，+)内单调增加因此，
11、对于任何满足ax 的 x 和 ，有 f“(x)f“()又 x-a0，从而由可知 F“(x)0，于是 F(x)是单调增加的 (2)由式有 ，其中 (x)=f“(x)(x-a)-f(x)+f(a)(xa)，(a)=0 由 “(x)=f“(x)(x-a)0，可知 (x)在(a，+)上单调上升，从而当 xa 时，(x)(a)=0，于是 F“(x)= )解析：解析：要证 F(x)在(a，+)内单调增加，只需证 F“(x)0，为此需先求出 F“(x)条件“f”(x)在(a，+)内存在且大于零”隐含着 f“(x)在(a，+)上单调上升，因此要充分利用这一信息来证明 F“(x)08.设 f(x)在(a，b)四
12、次可导，且存在 x 0 (a，b)使得 f“(x 0 )=f“(x 0 )=0，又设当 axb 时 f (4) (x)0，求证 f(x)的图形在(a，b)是凹的（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由当 x(a，b)时 f (4) (x)0，知 f“(x)在(a，b)单调增加 又因 f“(x 0 )=0，故 )解析：9.求函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：函数 在定义域(0，+)上处处连续，先求 y“，y“和它们的零点及不存在的点 因此得 单调减少区间是(0，1)，单调增加区间是(1，+)，zx=1 是极小值点，凹区间是是拐点 最后求渐近线因 ，所以无垂直渐近线由于 )解析：
13、10.作函数 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1定义域 x1，间断点 x=1，零点 x=0，且是奇函数2求 y“，y“和它们的零点 由 y“=0 得三个驻点 x=0， 由 y“=0 得 x=0，用这些点及间断点 x=1 把函数的定义域分成六个区间 由此可列出函数如下分段变化表： 3求渐近线有两个间断点 x=1，由x=1 为垂直渐近线又 即 y=x 是斜渐近线，无水平渐近线 综上所述，作函数图形在 x0部分如图 211(由于奇函数图形关于原点对称，所以只作右半平面的图形，列表也可以只列右半部分) )解析：11.设 f(x)在(a，b)内可导，且 (如图 212)，求证：f(x)在
14、(a，b)恰有两个零点 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 (x 0 ，b)使 f(x 2 )0 又 f(x 0 )0，则 f(x)在(x 1 ，x 0 )与(x 0 ，x 2 )内各至少存在一个零点 因 f“(x)0( (a，x 0 )，从而 f(x)在(a，x 0 )单调增加；f“(x)0( )解析：12.求证：方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：即证 f(x)= 在(0，+)只有两个零点先考察它的单调性： 由于f(x)在(0，e)与(e，+)分别单调上升与下降，又 f(e)= ，故只需证明： (e，+)使 f(x 2 ) 则 )解析：13.就 a 的不同取值情况，确
15、定方程 lnx=x a (a0)实根的个数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=lnx-x a ，即讨论 f(x)在(0，+)有几个零点用单调性分析方法求f(x)的单调区间 则当 0xx 0 时，f(x)单调上升；当 xx 0 时，f(x)单调下降；当 x= 0 时，f(x)取最大值 f(x 0 )= 从而 f(x)在(0，+)有几个零点，取决于 y=f(x)属于图 213 中的哪种情形 方程 f(x)=0 的实根个数有下列三种情形： ()当 时，恒有 f(x)0 ( (0，+)，故 f(x)=0 没有根 ()当 f(x 0 )= 时，由于 x(0，+)，当 xx 0 =e
16、e 时，f(x)0，故 f(x)=0 只有一个根，即 x=x 0 =e e ()当 f(x 0 )= )解析：14.讨论曲线 y=2lnx 与 y=2x+ln 2 x+k 在(0，+ao)内的交点个数(其中 k 为常数)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=2x+ln 2 x+k-2lnx(x(0，+)，于是本题两曲线交点个数即为函数f(x)的零点个数由 令 f“(x)=0，可解得唯一驻点 x 0 =1(0，+) 当 0x1 时 f“(x)0，f(x)单调减少；而当 x1 时 f“(x)0，f(x)单调增加于是 f(1)=2+k 为 f(x)在(0，+)内唯一的极小值点，且为
17、(0，+)上的最小值点因此 f(x)的零点个数与最小值 f(1)=2+k 的符号有关 当 f(1)0 即 k=-2 时 f(x)在(0，+)内恒为正值函数，无零点 当 f(1)=0 即 k=-2 时 f(x)在(0，+)内只有一个零点 x 0 =1 当 f(1)0 即 k-2 时，需进一步考察 f(x)在 x0 + 与 x+的极限： 由连续函数的零点定理可得， )解析：15.某商品的需求价格弹性为E p ，某人的收入为 M，全部用于购买该商品，求他的需求收入弹性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 Q 为需求量，由于 0因此 当某人的收入 M 全部用于购买该商品时，M=pQ由需求收入弹
18、性 E M 的定义知道 E M = 在 M=pQ 时，两边求微分可得 dM=pdQ+Qdp因此 )解析：解析：设 Q 为需求量，则E p = 16.设某厂商生产某种产品，其产量与人们对该产品的需求量 Q 相同，其价格为 p试利用边际收益与需求价格弹性之间的关系解释：当E p 1 时价格的变动对总收益的影响（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设总收益为 R，则 R=pQ，边际收益 因此由 dp=p，知道收益的微分 当p 充分小时，RdR，因此 )解析：解析：设收益为 R，利用关系 R=pQ 就可以找出边际收益 MR= 与需求价格弹性E p = 17.设 f(x)在(a，b)可导，且 （分数
19、：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 g(x)= 则 g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 g(a)=g(b)，把罗尔定理用于 g(x)即知存在 (a，b)使得 g“()=f“()=0 (2)若 f(x)A( (a，b)，结论显然成立否则，必 (a，b)使得 f(x 0 )A不妨设 f(x 0 )A，由极限的不等式性质知， )解析：解析：这是罗尔定理的推广与罗尔定理比较，两者的不同在于本题中没有假设 f(x)在a，b上连续(1)的思路是利用 f(x)在 a 和 b 单侧极限存在，补充定义 f(x)在 a 和 b 两点的函数值就可转化为闭区间的情形(2)的思路是利用极限的不等式
20、性质把问题转化到(a，b)内的一个闭区间上讨论(2)的好处是适用于证明(a，+)，(-，6)或(-，+)上的相应问题18.设 f(x)在a，b可导，且 f“ + (a)与 f“ - (b)反号，证明：存在 (a，b)使 f“()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由极限的不等式性质和题设知，存在 0 使得 a+b-，且 于是 f(a+)f(a)，f(b-)f(b) 这表明 f(x)在a，b上的最大值必在(a，b)内某点取到，即存在(a，b)使得 f()= 由费马定理知 f“()=0 (2)f(x)在a，b必有最大值若最大值在x=a(或 x=b)取到，由最值点处的导数性质知，f“
21、 + (a)0(f“ - (b)0)，这与已知矛盾因此 f(x)在a，b的最大值不能在 x=a 及 x=b 取到，即 )解析：解析：因 f(x)在a，b上可导，因而必连续，故存在最大值和最小值如能证明最大值或最小值在(a，b)内取得，那么这些点的导数值必为零，从而证明了命题注意，由于题设条件中未假设 f“(x)连续，所以不能用连续函数的介值定理来证明证明时不妨设 f“ + (a)0 且 f“ - (b)0.19.设 f(x)在0，1三阶可导，且 f(0)=f(1)=0设 F(x)=x 2 f(x)，求证：在(0，1)内存在 c，使得F“(c)=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于
22、F(0)=F(1)=0，F(x)在0，1可导，故存在 1 (0，1)使得 F“( 1 )=0又 F“(x)=x 2 f“(x)+2xf(x)， 于是由 F“(0)=0，F“( 1 )=0 及 F“(x)在0，1可导知，存在 2 (0， 1 )使得 F“( 2 )=0又因 F“(x)=x 2 f“(x)+4xf“(x)+2f(x)， 于是由 F“(0)=F“( 2 )=0 及 F“(x)在0，1可导知，存在 c(0， 2 ) )解析：20.设 f(x)在0，1上连续，且满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)= ，显然 G(c)在0，1可导，G(0)=0，又 对 C(x)在0
23、，1上用罗尔定理知， (0，1)使得 G“(c)=F(c)=0 现由 F(x)在0，1可导，F(0)=F(c)=F(1)=0，分别在0，c，c，1对 F(x)用罗尔定理知， )解析：解析：为证 f(x)在(0，1)内存在两个零点，只需证 f(x)的原函数 F(x)= 在0，1区间上有三点的函数值相等由于 F(0)=0，F(1)=0，故只需再考察 F(x)的原函数 G(x)=21.设 f(x)在0，1二阶可导，且 f(0)=f(1)=0，试证：存在 (0，1)使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 因此 F(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导 由于 f(0)=f(1)=0，由罗尔定
24、理知， (0，1)使 f“()=0因此，F()=F(1)=0，对 F(x)在，1上利用罗尔定理得，(，1)使得 )解析：解析：即证22.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，又 ba0求证：存在 ，(a，b)使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 g(x)=lnx，由柯西中值定理知，存在 (a，b)使得 由拉格朗日中值定理知，存在 (a，b)使得 f(b)-f(a)=f“()(b-a)，代入即得 )解析：解析：把要证的结论改写成23.设 a0，求 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用 可得函数 f(x)的分段表达式 从而函数 f(x)在(-，+)上连续
25、，且分别在(-，0)，(0，a)，(a，+)三个区间内可导，其导函数是 由此得 x(-，0)时 f“(x)0，故 f(x)在(-，0单调增加；x(0，+)时 f“(x)0，故 f(x)在a，+)单调减少从而 f(x)在0，a上的最大值就是 f(x)在(-，+)上的最大值 当 x(0，a)时，由 由于 f(x)在(-，0)上单调增加，在(a，+)上单调减少，又 f(x)在0，a上的最小值 )解析：24.求函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 f(x)是偶函数，我们只需考察 x0，+)由变限积分求导公式得由上述单调性分析，为求最小值，只需比较 f(0)与 的大小由于 )
26、解析：解析：f(x)的定义域是(-，+)，由于它是偶函数，故只需考虑 x0，+)求 f“(x)和驻点并考察驻点两侧的单调性由于需要考察 f(0)是否为最值，还需求极限值25.在椭圆 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：过椭圆上任意点(x 0 ，y 0 )的切线的斜率 y“(x 0 )满足 分别令 y=0 与x=0，得 x，y 轴上的截距： 于是该切线与椭圆及两坐标轴所围图形的面积(图 214)为 问题可进一步化为求函数 f(x)=x 2 (a 2 -x 2 )在闭区间0，a上的最大值点 由 f“(x)=2x(a 2 -2x 2 )=0(x(0，a)得 a 2 -2x 2 =0，x=x 0
27、 = 注意 f(0)=f(a)=0，f(x 0 )0，故 x 0 = 是 f(x)在0，a的最大值点因此 )解析：26.已知某厂生产 x 件产品的成本为 C(x)=25000+200x+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()生产 x 件产品的平均成本 在其唯一驻点 x=1000 处取得最小值即应生产 1000 件产品才可使平均成本最小 ()若该产品以每件 500 元的价格售出，则生产 x 件产品可获利润(单位：元) 由边际利润 ML=L“(x)=300- )解析：27.设平均收益函数和总成本函数分别为 AR=a-bQ， C= -7Q 2 +100Q+50， 其中常数 a0，b0 待定
28、已知当边际收益 MR=67，且需求价格弹性 E p = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：总利润函数 L(Q)=R-C=Q.AR-C= +(7-b)Q 2 +(a-100)Q-50， 从而使总利润最大的产量 Q 及相应的 a，b 应满足 L“(Q)=0，MR=67 及 E p = 由此得到两组可能的解：a=111，b= ，Q=3 与 a=111，b=2，Q=11 把第一组数据中的 a，b 代人得总利润函数 虽然 L“(3)=0，L“(3)0，即 L(3)确实是 L(x)的最大值，但 L(3)0，不符合实际，故应舍去 把第二组数据中的 a，b 代人得总利润函数 L= +5Q 2 +11Q-50， 也有 L“(11)=0，L“(11)0，即 L(11)= )解析：解析：平均收益函数 AR=a-bQ 其实就是价格 P 与销售量 Q 的关系式，由此可得总收益函数 R=Q.AR=aQ-bQ 2 2， 需求函数(它是 P=a-bQ 的反函数)Q= (a-P)，进而可得需求价格弹性
