1、考研数学三（一元函数微分学）-试卷 8 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 （分数：2.00）A.f(x)在 x=a 处可导且 f“(a)0B.f(a)为 f(x)的极大值C.f(a)不是 f(x)的极值D.f(x)在 x=a 处不可导3.设 f(x)二阶连续可导，f“(0)=0，且 （分数：2.00）A.x=0 为 f(x)的极大点B.x=0 为 f(x)的极小点C.(0，f(0)为 y=f(x)的拐点D.x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f
2、(0)也不是 y=f(x)的拐点4.设 f(x)可导，则当x0 时，y 一 dy 是x 的( )（分数：2.00）A.高阶无穷小B.等价无穷小C.同阶无穷小D.低阶无穷小5.若 f(x)在 x=0 的某邻域内二阶连续可导，且 （分数：2.00）A.x=0 是 f(x)的零点B.(0，f(0)是 y=f(x)的拐点C.x=0 是 f(x)的极大点D.x=0 是 f(x)的极小点6.设 f(x)=x 3 +ax 2 +bx 在 x=1 处有极小值一 2，则( )（分数：2.00）A.a=1，b=2B.a=一 1，b=一 2C.a=0，b=一 3D.a=0，b=37.设 f(x)，g(x)(axb)
3、为大于零的可导函数，且 f“(x)g(x)一 f(x)g“(x)0，则当 axb 时，有( )（分数：2.00）A.f(x)g(6)f(b)g(x)B.f(x)g(a)f(a)g(x)C.f(x)g(x)f(b)g(b)D.f(x)g(x)f(a)g(a)二、填空题(总题数：5，分数：10.00)8.y= （分数：2.00）填空项 1:_9.设周期为 4 的函数 f(x)处处可导，且 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_11.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_12.曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：1
4、5，分数：30.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_14.设 f(x)=|x 一 a|g(x)，其中 g(x)连续，讨论 f“(a)的存在性（分数：2.00）_15.设 y=y(x)由方程 e y +6xy+x 2 一 1=0 确定，求 y“(0)（分数：2.00）_16.设 y=y(x)由 x 一 1 x+y e t2 dt=0 确定，求 （分数：2.00）_17.设 f(x)连续，且对任意的 x，y(一，+)有 f(x+y)=f(x)+f(y)+2x 一 y，f“(0)=1，求 f(x)（分数：2.00）_18.设 f(x)连续，且 g(x)= 0 x x 2 f(
5、x 一 t)dt，求 g“(x)（分数：2.00）_设 f(x)二阶可导，f(0)=0，令 g(x)= （分数：4.00）(1).求 g“(x)；（分数：2.00）_(2).讨论 g“(x)在 x=0 处的连续性（分数：2.00）_19.设 f(x)= （分数：2.00）_20.设 f(x)在0，1上连续，证明：存在 (0，1)，使得 0 f(t)dt+( 一 1)f()=0（分数：2.00）_21.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)，且 f(x)在a，b上不恒为常数证明：存在 ，(a，b)，使得 f“()0，f“()0（分数：2.00）_22.证明：当 x
6、0 时，x 2 (1+x)ln 2 (1+x)（分数：2.00）_23.证明：对任意的 x，yR 且 xy，有 （分数：2.00）_24.设 k0讨论常数 k 的取值，使 f(x)=xlnx+k 在其定义域内没有零点、有一个零点及两个零点（分数：2.00）_25.证明：当 0x1，证明： （分数：2.00）_26.求 y=f(x)= （分数：2.00）_考研数学三（一元函数微分学）-试卷 8 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 （分数：2.00
7、）A.f(x)在 x=a 处可导且 f“(a)0B.f(a)为 f(x)的极大值C.f(a)不是 f(x)的极值D.f(x)在 x=a 处不可导 解析：3.设 f(x)二阶连续可导，f“(0)=0，且 （分数：2.00）A.x=0 为 f(x)的极大点 B.x=0 为 f(x)的极小点C.(0，f(0)为 y=f(x)的拐点D.x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是 y=f(x)的拐点解析：4.设 f(x)可导，则当x0 时，y 一 dy 是x 的( )（分数：2.00）A.高阶无穷小 B.等价无穷小C.同阶无穷小D.低阶无穷小解析：解析：因为 f(x)可导，所以 f(x)可微分
8、，即y=dy+0(x)，所以y 一 dy 是x 的高阶无穷小，选(A)5.若 f(x)在 x=0 的某邻域内二阶连续可导，且 （分数：2.00）A.x=0 是 f(x)的零点B.(0，f(0)是 y=f(x)的拐点C.x=0 是 f(x)的极大点D.x=0 是 f(x)的极小点 解析：解析：由 =1 得 f“(0)=0，由 1=6.设 f(x)=x 3 +ax 2 +bx 在 x=1 处有极小值一 2，则( )（分数：2.00）A.a=1，b=2B.a=一 1，b=一 2C.a=0，b=一 3 D.a=0，b=3解析：解析：f“(x)=3x 2 +2ax+b，因为 f(x)在 x=1 处有极小
9、值一 2，所以 7.设 f(x)，g(x)(axb)为大于零的可导函数，且 f“(x)g(x)一 f(x)g“(x)0，则当 axb 时，有( )（分数：2.00）A.f(x)g(6)f(b)g(x) B.f(x)g(a)f(a)g(x)C.f(x)g(x)f(b)g(b)D.f(x)g(x)f(a)g(a)解析：解析：由 f“(x)g(x)一 f(x)g“(x)0 得 0，从而 为单调减函数，由 axb 得二、填空题(总题数：5，分数：10.00)8.y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：lny=sin 2 (2x+1)lnx， 9.设周期为 4 的函
10、数 f(x)处处可导，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2x 一 4）解析：解析：由 得 f(1)=2，再由10.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2）解析：解析：f(0+0)= =a，f(0)=2，f(0 一 0)=c， 因为 f(x)在 x=0 处连续，所以 f(0+0)=f(0)=f(0 一 0)， 从而 a=2，c=2，即 11.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 解得 A=3，B=一 212.曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案
11、：x）解析：解析：由 =0，得曲线 y 一 x+三、解答题(总题数：15，分数：30.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：14.设 f(x)=|x 一 a|g(x)，其中 g(x)连续，讨论 f“(a)的存在性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 =一 g(a)得 f“(a)=一 g(a)； 由 )解析：15.设 y=y(x)由方程 e y +6xy+x 2 一 1=0 确定，求 y“(0)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 x=0 代入得 y=0， e y +6xy+x 2 一 1=0 两边对 x 求导得 将 x=0，y=0 代入得 y“(0)
12、=0 两边再对 x 求导得 )解析：16.设 y=y(x)由 x 一 1 x+y e t2 dt=0 确定，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x=0 时，y=1 对 x 一 1 x+y +ye 一 t2 dt=0 两边关于 x 求导得 将x=0，y=1，代入得 )解析：17.设 f(x)连续，且对任意的 x，y(一，+)有 f(x+y)=f(x)+f(y)+2x 一 y，f“(0)=1，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x=y=0 时，f(0)=2f(0)，于是 f(0)=0 对任意的 x(一，+)， )解析：18.设 f(x)连续，且 g(x)= 0 x
13、x 2 f(x 一 t)dt，求 g“(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：g(x)=一 x 2 0 x f(x 一 t)d(x 一 t)一一 x 2 0 x f(u)du=x 2 0 x f(u)du， g“(x)=2x 0 x f(u)du+x 2 f(x)解析：设 f(x)二阶可导，f(0)=0，令 g(x)= （分数：4.00）(1).求 g“(x)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 =f“(0)=g(0)，所以 g(x)在 x=0 处连续 当 x0 时，g“(x)= 当x=0 时，由 )解析：(2).讨论 g“(x)在 x=0 处的连续性（分数：2.00）_正
14、确答案：(正确答案：因为 )解析：19.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(1 一 0)=f(1)=f(1+0)=1 得 f(x)在 x=1 处连续，从而 f(x)在0，2上连续得 f(x)在 x=1 处可导且 f“(1)=一 1，从而 f(x)在(0，2)内可导， 故 f(x)在02上满足拉格朗日中值定理的条件 f(2)一 f(0)= =一 1 当 x(0，1)时，f“(x)=一 x；当 x1 时，f“(x)=即 当 01 时，由 f(2)一 f(0)=2f“()得一 1=一 2，解得 = 当 12 时，由 f(2)一 f(0)一 2f“()得一 1= 解得 =
15、 )解析：20.设 f(x)在0，1上连续，证明：存在 (0，1)，使得 0 f(t)dt+( 一 1)f()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=x 0 x f(t)dt 一 0 x f(t)dt 因为 (0)=(1)=0，所以由罗尔定理，存在 (0，1)，使得 “()=0 而 “(f)=f(t)dt+(x 一 1)f(x)，故 0 f(t)dt+( 一 1)f()=0)解析：解析：由 0 x f(t)dt+(x 一 1)f(x)=0，得 0 x f(t)dt+xf(x)一 f(x)=0，从而 (x 0 x f(t)dt 一 0 x f(t)dt)“=0，辅助函数为 (x
16、)=x 0 x f(t)dt 一 0 x f(t)dt21.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)，且 f(x)在a，b上不恒为常数证明：存在 ，(a，b)，使得 f“()0，f“()0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在a，b上不恒为常数且 f(a)=f(b)，所以存在 c(a，b)，使得 f(c)f(a)=f(b)，不妨设 f(c)f(a)=f(b)， 由微分中值定理，存在 (a，c)，(c，b)，使得 )解析：22.证明：当 x0 时，x 2 (1+x)ln 2 (1+x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=x 2
17、 一(1+x)ln 2 (1+x)，f(0)=0; f“(x)=2x 一 ln 2 (1+x)一 2ln(1+x)，f“(0)=0; 由 得 f“(x)0(x0)； 由 )解析：23.证明：对任意的 x，yR 且 xy，有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(t)=e t ，因为 f“(t)=e t 0，所以函数 f(t)=e t 为凹函数，根据凹函数的定义，对任意的 x，yR 且 xy，有 )解析：24.设 k0讨论常数 k 的取值，使 f(x)=xlnx+k 在其定义域内没有零点、有一个零点及两个零点（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)的定义域为(0，+)， 由
18、 f“(x)一 lnx+1=0，得驻点为 x= 由 f“(x)= 0，得 x= 为 f(x)的极小值点，也为最小值点，最小值为 (1)当 k 时，函数f(x)在(0，+)内没有零点； (2)当 k= 时，函数 f(x)在(0，+)内有唯一零点 x= (3)当0k 时，函数 f(x)在(0，+)内有两个零点，分别位于 与 )解析：25.证明：当 0x1，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=(1+x)1n(1+x)一 ，f(0)=0， f“(x)=1n(1+x)+ 0(0x1)， 由 得当 0x1 时，f(x)0，故 )解析：解析：26.求 y=f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 =，所以 y=f(x)没有水平渐近线， 由 =一得 x=0 为铅直渐近线， 由 =得 x=2 为铅直渐近线， 由 =1， )解析：
