1、考研数学三（一元函数积分学）-试卷 12 及答案解析(总分：82.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 F(x)= 其中 f(x)为连续函数，则 （分数：2.00）A.a 2 B.a 2 f(a)C.0D.不存在3.若连续函数 f(x)满足关系式 f(x)= （分数：2.00）A.e x ln2B.e 2x ln2C.e x +ln2D.e 2x +ln24.使不等式 成立的 x 的范围是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.数列极限 =( ) （分数：2.00）
2、A.B.C.D.6. （分数：2.00）A. 1 2 ln 2 xdxB.2 1 2 lnxdxC.2 1 2 ln(1+x)dxD. 1 2 ln 2 (1+x)dx7.设 m，n 均是正整数，则反常积分 （分数：2.00）A.仅与 m 的取值有关B.仅与 n 的取值有关C.与 m，n 的取值都有关D.与 m，n 的取值都无关8.若连续函数满足关系式 f(x)= 则 f(x)=( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.设 （分数：2.00）A.I 1 I 2 1B.1I 1 I 2 C.I 2 I 1 1D.1I 2 I 110. （分数：2.00）A.B.C.D.11.设 f(x)在a
3、，b连续，则 f(x)在a，b非负且在a，b的任意子区间上不恒为零是 F(x)= a x f(t)dt 在a，b单调增加的( )（分数：2.00）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件二、填空题(总题数：15，分数：30.00)12. （分数：2.00）填空项 1:_13.已知f(x 3 )dx=x 3 +C(C 为任意常数)，则 f(x)= 1.（分数：2.00）填空项 1:_14. （分数：2.00）填空项 1:_15. （分数：2.00）填空项 1:_16. （分数：2.00）填空项 1:_17. （分数：2.00）填空项 1:_18. （分数：2.00
4、）填空项 1:_19. （分数：2.00）填空项 1:_20.设可导函数 y=y(x)由方程 （分数：2.00）填空项 1:_21. （分数：2.00）填空项 1:_22.设位于曲线 （分数：2.00）填空项 1:_23.曲线 y= 0 x tantdt （分数：2.00）填空项 1:_24.设 F(x)= （分数：2.00）填空项 1:_25.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_26.f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：30.00)27.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_28.设 y=f(x)是区间0，1上的任一非负连
5、续函数 (1)试证存在 x 0 (0，1)，使得在区间0，x 0 上以 f(x 0 )为高的矩形面积，等于在区间x 0 ，1上以 y=f(x)为曲边的梯形面积 (2)又设 f(x)在区间(0，1)内可导，且 f(x) （分数：2.00）_29.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，且满足 a x f(t)dt a x g(t)dta,b), a b f(t)dt= a b g(t)dt 证明 a b xf(x)dx a b xg(x)dx（分数：2.00）_30. （分数：2.00）_31.设 f(x)，g(x)在0，1上的导数连续，且 f(0)=0,f(x)0，g(x)0证明对任何 a0，1
6、，有 0 a g(x)f(x)dx+ 0 1 f(x)g(x)dxf(a)g(1)（分数：2.00）_32.在 xOy 坐标平面上，连续曲线 L 过点 M(1，0)，其上任意点 P(x，y)(x0)处的切线斜率与直线 OP 的斜率之差等于 ax(常数 a0) (1)求 L 的方程； (2)当 L 与直线 y=ax 所围成平面图形的面积为（分数：2.00）_33.设曲线 y=f(x)，其中 y=f(x)是可导函数，且 f(x)0已知曲线 y=f(x)与直线 y=0，x=1 及 x=t(t1)所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的 t 倍，求该曲线方程（分数：2.0
7、0）_34.设函数 f(x)在0，3上连续，在(0，3)内存在二阶导数，且 2f(0)= 0 2 f(x)dx=f(2)+f(3) (1)证明存在 (0，2)，使 f()=f(0)； (2)证明存在 (0，3)，使 f”()=0（分数：2.00）_35. （分数：2.00）_36.(1)比较 0 1 |lnt|ln(1+t) n dt 与 0 1 t n |lnt|dt(n=1，2，)的大小，说明理由 (2)记 u n = 0 1 |lnt|ln(1+t) n dt(n=1，2，)，求极限 （分数：2.00）_37.设 f(x)在区间a，b上可导，且满足 f(b).cosb= （分数：2.00
8、）_38. （分数：2.00）_39.某企业为生产甲、乙两种型号的产品投入的固定成本为 10000(万元)，设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为 x(件)和 y(件)，且这两种产品的边际成本分别为 （分数：2.00）_40. （分数：2.00）_41.设 f(x)在一 ，上连续，且有 f(x)= （分数：2.00）_考研数学三（一元函数积分学）-试卷 12 答案解析(总分：82.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 F(x)= 其中 f(x)为连续函数，则 （分数
9、：2.00）A.a 2 B.a 2 f(a) C.0D.不存在解析：解析：利用洛必达法则因3.若连续函数 f(x)满足关系式 f(x)= （分数：2.00）A.e x ln2B.e 2x ln2 C.e x +ln2D.e 2x +ln2解析：解析：在等式 f(x)= 两端对 x 求导得 f(x)=2f(x)，则 4.使不等式 成立的 x 的范围是( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：原问题可化为 求 f(x)= 成立时 x 的取值范围，由5.数列极限 =( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析： 其中将积分区间0，1n 等分，n 等分后每个小区间是 (i=1，
10、2，n)， i 是区间的右端点 6. （分数：2.00）A. 1 2 ln 2 xdxB.2 1 2 lnxdx C.2 1 2 ln(1+x)dxD. 1 2 ln 2 (1+x)dx解析：解析：结合积分的定义，则7.设 m，n 均是正整数，则反常积分 （分数：2.00）A.仅与 m 的取值有关B.仅与 n 的取值有关C.与 m，n 的取值都有关D.与 m，n 的取值都无关 解析：解析：显然 x=0，x=1 是两个瑕点，有8.若连续函数满足关系式 f(x)= 则 f(x)=( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：由题意 f(1)= 1 1 f(t 2 )dt+e，所以,f(1
11、)=e 9.设 （分数：2.00）A.I 1 I 2 1B.1I 1 I 2 C.I 2 I 1 1D.1I 2 I 1解析：解析：因为当 x0 时，有 tanxx，于是有 从而，10. （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：这是无界函数的反常积分，x=1 为瑕点，与求定积分一样，作变量替换 x=sint，其中11.设 f(x)在a，b连续，则 f(x)在a，b非负且在a，b的任意子区间上不恒为零是 F(x)= a x f(t)dt 在a，b单调增加的( )（分数：2.00）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件解析：解析：已知 g(x)在a，b上
12、连续，在(a，b)内可导，则 g(x)在a，b单调增加,g“(x)0(x(a，b)，在(a，b)内的任意子区间内 g(x)0 因此，F(x)= 0 x f(t)dt(在a，b可导)在a，b单调增加,F“(x)=f(x)0(x(a，b)且在(a，b)内的任意子区间内 F(x)=f(x)0故选 C二、填空题(总题数：15，分数：30.00)12. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 4）解析：解析：13.已知f(x 3 )dx=x 3 +C(C 为任意常数)，则 f(x)= 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：对等式f(x 3 )dx
13、=x 3 +C 两边求导，得 f(x 3 )=3x 2 14. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：15. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：令 x 一 1=sint，则16. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：令 t=x 一 1 得17. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：令 x1=t，则18. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：19. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln2）解析：
14、解析：20.设可导函数 y=y(x)由方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1）解析：解析：已知 =x 0 x sin 2 tdt，令 x=0，则 y(0)=0等式两端同时对 x 求导，得 21. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：22.设位于曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：23.曲线 y= 0 x tantdt （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：24.设 F(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：对 F
15、(x)求导，可得 F(x)= 则 F(x)为常数25.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：26.f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设 x 一 2=t，dx=dt，当 x=1 时，t=一 1；当 x=4 时，t=2三、解答题(总题数：15，分数：30.00)27.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：28.设 y=f(x)是区间0，1上的任一非负连续函数 (1)试证存在 x 0 (0，1)，使得在区间0，x 0 上以 f(x 0 )为高的矩形面积，等于在区间x 0 ，1上
16、以 y=f(x)为曲边的梯形面积 (2)又设 f(x)在区间(0，1)内可导，且 f(x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)本题可转化为证明 x 0 f(x 0 )= 令 (x)=一 x x 1 f(t)dt，则 (x)在闭区间0，1上是连续的，在开区间(0，1)上是可导的，又因为 (0)=(1)=0，根据罗尔定理可知，存在 x 0 (0，1)，使得 (x 0 )=0，即 (2)令 F(x)=xf(x)一 x 1 f(t)dt， )解析：29.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，且满足 a x f(t)dt a x g(t)dta,b), a b f(t)dt= a b g(
17、t)dt 证明 a b xf(x)dx a b xg(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)=f(x)一 g(x)，G(x)= a x F(t)dt，由题设 G(x)0，xa，b)，且G(a)=G(b)=0，G(x)=F(x) 从而 a b xF(x)dx= a b xdG(x)=xG(x)| a b 一 a b G(x)dx= 一 a b G(x)dx，由于 G(x)0，xa，b)， 故有一 a b G(x)dx0，即 a b xF(x)dx0 因此 a b xf(x)dx a b xg(x)dx)解析：30. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31
18、.设 f(x)，g(x)在0，1上的导数连续，且 f(0)=0,f(x)0，g(x)0证明对任何 a0，1，有 0 a g(x)f(x)dx+ 0 1 f(x)g(x)dxf(a)g(1)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 F(x)= 0 x g(t)f(t)dt+ 0 1 f(t)g“(t)dt 一 f(x)g(1)，则 F(x)在0，1上的导数连续，并且 F(x)=g(x)f(x)-f(x)g(1)=f(x)g(x)一 g(1) 由于 x0，1时,f(x)0，g(x)0，因此 F(x)0，即 F(x)在0，1上单调递减 注意到 F(1)= 0 1 g(t)f(t)dt+ 0 1
19、f(t)g“(t)dt 一 f(1)g(1)， 而 0 1 g(t)f(t)dt= 0 1 g(t)df(t)=g(t)f(t)| 0 1 一 0 1 f(t)g(t)dt =f(1)g(1)一 0 1 f(t)g(t)dt， 故 F(1)=0 因此 x0，1时，F(x)F(1)=0，由此可得对任何 a0，1，有 0 a g(x)f(x)dx+ 0 1 f(x)g“(x)dxf(a)g(1)解析：32.在 xOy 坐标平面上，连续曲线 L 过点 M(1，0)，其上任意点 P(x，y)(x0)处的切线斜率与直线 OP 的斜率之差等于 ax(常数 a0) (1)求 L 的方程； (2)当 L 与直
20、线 y=ax 所围成平面图形的面积为（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设曲线 L 的方程为 y=f(x)，则由题设可得 这是一阶线性微分方程，其中 代入通解公式得 又 f(1)=0，所以 C=一 a 故曲线 L 的方程为 y= ax 2 一 ax(x0) (2)L 与直线 y=ax(a0)所围成平面图形如图 32 所示 所以 )解析：33.设曲线 y=f(x)，其中 y=f(x)是可导函数，且 f(x)0已知曲线 y=f(x)与直线 y=0，x=1 及 x=t(t1)所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的 t 倍，求该曲线方程（分数：2.00）_正
21、确答案：(正确答案：旋转体的体积为 V= 1 t f 2 (x)dx=f 1 t f 2 (x)dx， 曲边梯形的面积为：s= 1 t f(x)dx，则由题可知 1 t f 2 (x)dx=t 1 t f(x)dx，即 1 t f 2 (x)dx=t 1 t f(x)dx 两边对 t 求导可得 f 2 (t)= 1 t f(x)dx+tf(t)，即 f 2 (t)一 tf(t)= 1 t f(x)dx， (*) 等式两端求导可得 2f(t)f(t)一 f(t)一 tf(t)=f(t)，化简可得(2f(t)一 t)f(t)=2f(t)，即 在(*)式中令 t=1，则 f 2 (1)一 f(1)=
22、0，因为已知 f(x)0，所以 f(1)=1，代入 所以该曲线方程为 )解析：34.设函数 f(x)在0，3上连续，在(0，3)内存在二阶导数，且 2f(0)= 0 2 f(x)dx=f(2)+f(3) (1)证明存在 (0，2)，使 f()=f(0)； (2)证明存在 (0，3)，使 f”()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)已知 2f(0)= 0 2 f(x)dx，又根据 f(x)在0，2上是连续的，且由积分中值定理得，至少有一点 (0，2)，使得 0 2 f(x)dx=f().(2 一 0) 因此可得 2f(0)=2f()，即存在 (0，2)，使得 f()=f(0) (
23、2)因 f(2)+f(3)=2f(0)，即 )解析：35. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：36.(1)比较 0 1 |lnt|ln(1+t) n dt 与 0 1 t n |lnt|dt(n=1，2，)的大小，说明理由 (2)记 u n = 0 1 |lnt|ln(1+t) n dt(n=1，2，)，求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 f(t)=ln(1+t)一 t 当 0t1 时， ，故当 0t1 时,f(t)f(0)=0， 即当 0t1 时，0ln(1+t)t1，从而ln(1+t) n t n (n=1，2，) 又由|lnt|0 得 0 1 |
24、lnt|ln(1+t) n dt 0 1 t n |lnt|dt(n=1，2，) (2)由(1)知，0u n = 0 1 |lnt|ln(1+t) n dt 0 1 t n |lnt|dt， 因为 0 1 t n |lnt|dt=一 0 1 t n (lnt)dt )解析：37.设 f(x)在区间a，b上可导，且满足 f(b).cosb= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x)在区间a，b上可导，知 f(x)在区间a，b上连续，从而 F(x)=f(x)cosx在 上连续，由积分中值定理，知存在一点 使得 在c，b上，由罗尔定理得至少存在一点(c，b) )解析：38. （分数：2
25、.00）_正确答案：(正确答案：使用分部积分法和换元积分法 )解析：39.某企业为生产甲、乙两种型号的产品投入的固定成本为 10000(万元)，设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为 x(件)和 y(件)，且这两种产品的边际成本分别为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 再对 y 求导，且有已知得， C y (x，y)=(y)=6+y， 因为C(0，0)=10000，所以 C=10000，于是 (2)若 x+y=50，则 y=50 一 x(0x50)，代入到成本函数得 所以，令 )解析：40. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：41.设 f(x)在一 ，上连续，且有 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 - f(x)sinxdx 存在，记为 A，于是可得， 对右边积分作积分变量变换：x= 一 t，当 x=0 时，t=；当 x= 时，t=0于是 )解析：
