1、考研数学三（一元函数积分学）-试卷 5 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设f(x)dx=x 2 +C，则xf(1 一 x 2 )dr 等于( )（分数：2.00）A.B.C.2(1 一 x 2 ) 2 +CD.一 2(1 一 x 2 ) 2 +C3.双纽线(x 2 +y 2 ) 2 =x 2 一 y 2 所围成的区域面积可表示为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：4，分数：8.00)4.= 1 （分数：2.00）填空项 1:
2、_5.设 f(x)是以 T 为周期的连续函数，且 F(x)= 0 x f(t)dt+bx 也是以 T 为周期的连续函数，则 b= 1（分数：2.00）填空项 1:_6.设 f(x)C1，+)，广义积分 1 + f(x)dx 收敛，且满足 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_7. 1 + （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：19，分数：40.00)8.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_9.求 （分数：2.00）_10.求 （分数：2.00）_11.求 （分数：2.00）_12.求 （分数：2.00）_13.求 （分数：2.00）_14.求x 2 arctan
3、cdx（分数：2.00）_15.设 (x)= a b ln(x 2 +t)dt，求 “(x)，其中 a0，b0（分数：2.00）_设 f(x)连续，且 F(x)= 0 x (x 一 2t)f(t)dt证明：（分数：4.00）(1).若 f(x)是偶函数，则 F(x)为偶函数;（分数：2.00）_(2).若 f(x)单调不增，则 F(x)单调不减（分数：2.00）_16.求 0 n |cosx|dx（分数：2.00）_17. （分数：2.00）_18.设 f(x)=sin 3 x+ 一 xf(x)dx，求 0 x f(x)dx（分数：2.00）_19.求 （分数：2.00）_20.求 （分数：2
4、.00）_21.计算 （分数：2.00）_设 f(a)=f(b)=0， a b f 2 (x)dx=1，f“(x)Ca，b（分数：4.00）(1).求 a b xf(x)f“( x)dx;（分数：2.00）_(2).证明： a b f “2 (x) dx x 2 f 2 (x)dx （分数：2.00）_22.求曲线 y= （分数：2.00）_23.设 f(x)= 一 1 x (1 一|t|)dt(x一 1)，求曲线 y=f(x)与 x 轴所围成的平面区域的面积（分数：2.00）_24.求由曲线 y=4 一 x 2 与 x 轴围成的部分绕直线 x=3 旋转一周所成的几何体的体积（分数：2.00）
5、_考研数学三（一元函数积分学）-试卷 5 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设f(x)dx=x 2 +C，则xf(1 一 x 2 )dr 等于( )（分数：2.00）A.B. C.2(1 一 x 2 ) 2 +CD.一 2(1 一 x 2 ) 2 +C解析：解析：xf(1 一 x 2 )dx= f(1 一 x 2 )d(1 一 x 2 )= 3.双纽线(x 2 +y 2 ) 2 =x 2 一 y 2 所围成的区域面积可表示为( ) （分数：2.00
6、）A. B.C.D.解析：解析：双纽线(x 2 +y 2 ) 2 =x 2 一 y 2 的极坐标形式为 r 2 =cos 2 ，再根据对称性，有 二、填空题(总题数：4，分数：8.00)4.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：5.设 f(x)是以 T 为周期的连续函数，且 F(x)= 0 x f(t)dt+bx 也是以 T 为周期的连续函数，则 b= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：6.设 f(x)C1，+)，广义积分 1 + f(x)dx 收敛，且满足 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答
7、案：正确答案：*）解析：解析：7. 1 + （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：19，分数：40.00)8.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：9.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为ln(tanx)“= 所以 )解析：10.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：11.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：12.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：13.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 =t，则 =t 2 arctan（1+t）一 t+
8、ln（t 2 +2t+2）+C )解析：14.求x 2 arctancdx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.设 (x)= a b ln(x 2 +t)dt，求 “(x)，其中 a0，b0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(x)= a b ln(x 2 +t)d(x 2 +t)= (x)=2xln(x 2 +b)一 2xln(x 2 +a)= )解析：设 f(x)连续，且 F(x)= 0 x (x 一 2t)f(t)dt证明：（分数：4.00）(1).若 f(x)是偶函数，则 F(x)为偶函数;（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f(一 x)=f(x)，
9、因为 F(一 x)=(一 x 一 2t)f(t)dt )解析：(2).若 f(x)单调不增，则 F(x)单调不减（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：F(x)= 0 x (x 一 2t)f(t)dt=x 0 x f(t)dt 一 2 0 x tf(t)dt， F“(x)= 0 x f(t)dt 一 xf(x)一 xf()一 f(x)，其中 介于 0 与 x 之间， 当 x0 时，x0，因为 f(x)单调不增，所以 F“(x)0， 当 x0 时，0x，因为 f(x)单调不增，所以 F“(x)0， 从而 F(x)单调不减)解析：16.求 0 n |cosx|dx（分数：2.00）_正确答案：(
10、正确答案： 0 n |cosx|dx=n 0 |cosx|dx= )解析：17. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.设 f(x)=sin 3 x+ 一 xf(x)dx，求 0 x f(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 一 xf(x)dx=A，则 f(x)=sin 3 x+A， xf(x)=xsin 3 x+Ax 两边积分得 一 xf(x)dx= 一 xsin 3 xdx+ 一 Axdx， 即 A= 一 xsin 3 xdx=2 0 xsin 3 xdx= 0 sin 3 xdx 从而 f(x)=sin 3 x+ 故 0 f(x)dx= 0 (sin
11、3 x+ )dx= 0 sin 3 xdx+ 0 dx= )解析：19.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 为奇函数， 所以 sin 2 xcos 2 xdx = sin 2 x(1 一 sin 2 x)dx=2(I 2 一 I 4 ) )解析：21.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x=1 为被积函数的无穷间断点，则 )解析：设 f(a)=f(b)=0， a b f 2 (x)dx=1，f“(x)Ca，b（分数：4.00）(1).求 a b xf(x)f“( x)dx;（分数：2.00）_正确答案：(
12、正确答案： a b xf(x)f“(x)dx= )解析：(2).证明： a b f “2 (x) dx x 2 f 2 (x)dx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： a b xf(x)f“(x)dx= )解析：22.求曲线 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：V x = 取x，x+dx ，则 dV y =2xcosxdx， 故 V y )解析：23.设 f(x)= 一 1 x (1 一|t|)dt(x一 1)，求曲线 y=f(x)与 x 轴所围成的平面区域的面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当一 1x0 时，f(x)= 一 1 x (1 一|t|)dt= 一 1 x (t+1)dt 当 x0 时，f(x)= 一 1 0 (t+1)dt+ 一 1 x (1 一 t)dt= 故所求的面积为 )解析：24.求由曲线 y=4 一 x 2 与 x 轴围成的部分绕直线 x=3 旋转一周所成的几何体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取x，x+dx 一 2，2，则 dV=2(3 一 x)(4 一 x 2 )dx， V= 一 2 2 dV=2 一 2 2 (3 一 x)(4 一 x 2 )dx=6 一 2 2 (4 一 x 2 )dx =12 0 2 (4 一 x 2 )dx=12 =64 )解析：
