1、考研数学三（中值定理与一元函数微分学的应用）模拟试卷 1及答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.曲线 （分数：2.00）A.1条B.2条C.3条D.4条3.函数 f(x)=x 3 一 3x+k只有一个零点，则 k的范围为( )（分数：2.00）A.|k|1B.|k|1C.|k|2D.k24.设 f(x)在 x=0的邻域内有定义，f(0)=1，且 （分数：2.00）A.可导，且 f(0)=0B.可导，且 f(0)=一 1C.可导，且 f(0)=2D.不可导5
2、.设 （分数：2.00）A.f(x)在 x=a处可导且 f(a)0B.f(a)为 f(x)的极大值C.f(a)不是 f(x)的极值D.f(x)在 x=a处不可导6.设 f(x)连续，且 （分数：2.00）A.f(x)在 x=0处不可导B.f(x)在,x=0 处可导且 f(0)0C.f(x)在 x=0处取极小值D.f(x)在 x=0处取极大值7.设 f(x)具有二阶连续可导，且 （分数：2.00）A.x=1为 f(x)的极大值点B.x=1为 f(x)的极小值点C.(1，f(1)是曲线 y=f(x)的拐点D.x=1不是 f(x)的极值点，(1，f(1)也不是 y=f(x)的拐点8.设 f(x)二阶
3、连续可导，f(0)=0，且 （分数：2.00）A.x=0为 f(x)的极大值点B.x=0为 f(x)的极小值点C.(0，f(0)为 y=f(x)的拐点D.x=0不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是 y=f(x)的拐点二、填空题(总题数：5，分数：10.00)9.设 f(x)=ln(1+x)，当 x0 时，f(x)=f(x)x，则 （分数：2.00）填空项 1:_10.函数 f(x)=xe -2x 的最大值为 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设 f(x)=e x ，f(x)一 f(0)=f(x)x，则 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 f(x)一阶可导，且 f(0)=f(
4、0)=1，则 （分数：2.00）填空项 1:_13.设函数 y=y(x)由 e 2x+y cosxy=e一 1确定，则曲线 y=y(x)在 x=0处的法线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：22，分数：44.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_15.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内可导，且 3f(0)=f(1)+2f(2)，证明：存在 (0，2)，使得f()=0（分数：2.00）_16.设 f(x)三阶可导， （分数：2.00）_17.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(1)=0，证明：存在 (0
5、，1)，使得 f()sin+f()cos=0（分数：2.00）_18.设 f(x)二阶可导，f(1)=0，令 (x)=x 2 f(x)，证明：存在 (0，1)，使得 f“()=0（分数：2.00）_19.设 f(x)二阶可导，且 （分数：2.00）_20.设 f(x)二阶可导， （分数：2.00）_21.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_22.设 f(x)二阶连续可导，且 f(0)=f(0)=0，f“(0)0，设 u(x)为曲线 y=f(x)在点(x，f(x)处的切线在 x轴上的截距，求 （分数：2.00）_23.证明曲线
6、 （分数：2.00）_24.设 （分数：2.00）_25.设函数 f(x)在区间0，3上连续，在(0，3)内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1 证明：存在(0，3)，使得 f()=0（分数：2.00）_26.设函数 f(x)和 g(x)在区间a，b上连续，在区间(a，b)内可导，且 f(a)=g(b)=0，g(x)0，试证明存在 (a，b)使 （分数：2.00）_27.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_28.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 g(x)0证明：存在 (a，b)
7、，使得（分数：2.00）_29.设 f(x)在0，1上连续，证明：存在 (0，1)，使得 （分数：2.00）_30.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)f(b)0， （分数：2.00）_31.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=f(1)，证明：存在 ，(0，1)，使得 f()+f()=0（分数：2.00）_32.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)证明：存在 ，(a，b)，使得 （分数：2.00）_33.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)，且 f(x)在a，b上不恒为常数证明：存在 ，(a，
8、b)，使得 f()0，f()0（分数：2.00）_34.设 ba0，证明： （分数：2.00）_35.设 f(x)在a，b上满足|f“(x)|2，且 f(x)在(a，b)内取到最小值证明： |f(a)|+|f(b)|2(b 一 a)（分数：2.00）_考研数学三（中值定理与一元函数微分学的应用）模拟试卷 1答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.曲线 （分数：2.00）A.1条B.2条 C.3条D.4条解析：解析：由 得 x=0为铅直渐近线；由3.函数
9、 f(x)=x 3 一 3x+k只有一个零点，则 k的范围为( )（分数：2.00）A.|k|1B.|k|1C.|k|2 D.k2解析：解析： 4.设 f(x)在 x=0的邻域内有定义，f(0)=1，且 （分数：2.00）A.可导，且 f(0)=0B.可导，且 f(0)=一 1 C.可导，且 f(0)=2D.不可导解析：解析：5.设 （分数：2.00）A.f(x)在 x=a处可导且 f(a)0B.f(a)为 f(x)的极大值 C.f(a)不是 f(x)的极值D.f(x)在 x=a处不可导解析：解析：由 根据极限的保号性，存在 0，当 0|xa| 时， 有6.设 f(x)连续，且 （分数：2.0
10、0）A.f(x)在 x=0处不可导B.f(x)在,x=0 处可导且 f(0)0C.f(x)在 x=0处取极小值D.f(x)在 x=0处取极大值 解析：解析：由 得 f(0)=1， 由极限的保号性，存在 0，当 0|x| 时，7.设 f(x)具有二阶连续可导，且 （分数：2.00）A.x=1为 f(x)的极大值点B.x=1为 f(x)的极小值点C.(1，f(1)是曲线 y=f(x)的拐点 D.x=1不是 f(x)的极值点，(1，f(1)也不是 y=f(x)的拐点解析：解析：由 及 f(x)二阶连续可导得 f“(1)=0， 因为 所以由极限保号性，存在 0，当0|x 一 1| 时， 从而8.设 f
11、(x)二阶连续可导，f(0)=0，且 （分数：2.00）A.x=0为 f(x)的极大值点 B.x=0为 f(x)的极小值点C.(0，f(0)为 y=f(x)的拐点D.x=0不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是 y=f(x)的拐点解析：解析：因为 所以由极限的保号性，存在 0，当 0|x| 时， 注意到 x 3 =(x)，所以当 0|x| 时，f“(x)0， 从而 f(x)在(一 ，)内单调递减，再由 f(0)=0，得 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)9.设 f(x)=ln(1+x)，当 x0 时，f(x)=f(x)x，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案
12、： 由 f(x)=f(x)得 解得 故）解析：10.函数 f(x)=xe -2x 的最大值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由 f(x)=(12x)e -2x =0得 当 时，f(x)0；当 时，f(x)0， 则 为 f(x)的最大值点，最大值为 ）解析：11.设 f(x)=e x ，f(x)一 f(0)=f(x)x，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由 f(x)一 f(0)=f(x)x 得 e x 一 1=xe x ，解得 故 ）解析：12.设 f(x)一阶可导，且 f(0)=f(0)=1，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案
13、：正确答案： ）解析：13.设函数 y=y(x)由 e 2x+y cosxy=e一 1确定，则曲线 y=y(x)在 x=0处的法线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：当 x=0时，y=1 对 e 2+y cosxy=e一 1两边关于 x求导得 将 x=0，y=1 代入得 故所求法线方程为 ）解析：三、解答题(总题数：22，分数：44.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：15.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内可导，且 3f(0)=f(1)+2f(2)，证明：存在 (0，2)，使得f()=0（分数：2.00）_
14、正确答案：(正确答案：因为 f(x)在1，2上连续，所以 f(x)在1，2上取到最小值 m和最大值 M， 又因为 所以由介值定理，存在 c1，2，使得 即 f(1)+2f(2)=3f(c)， 因为 f(0)=f(c)，所以由罗尔定理，存在 (0，c) )解析：16.设 f(x)三阶可导， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 得 f(0)=1，f(0)=0； 由 得 f(1)=1，f(1)=0 因为 f(0)=f(1)=1，所以由罗尔定理，存在 c(0，1)，使得 f(c)=0 由 f(0)=f(c)=f(1)=0，根据罗尔定理，存在 1 (0，c)， 2 (c，1)，使得 f“( 1
15、 )=f“( 2 )=0， 再根据罗尔定理，存在( 1 ， 2 ) )解析：17.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(1)=0，证明：存在 (0，1)，使得 f()sin+f()cos=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=f(x)sinx，(0)=(1)=0， 由罗尔定理，存在 (0，1)，使得()=0， 而 (x)=f(x)sinx+f(x)cosx，故存在 (0，1)，使得 f()sin+f()cos=0)解析：18.设 f(x)二阶可导，f(1)=0，令 (x)=x 2 f(x)，证明：存在 (0，1)，使得 f“()=0（分数：2.00）_正确答
16、案：(正确答案：(0)=(1)=0，由罗尔定理，存在 1 (0，1)，使得 ( 1 )=0， 而(x)=2xf(x)+x 2 f(x)， (0)=( 1 )=0，由罗尔定理，存在 (0， 1 ) )解析：19.设 f(x)二阶可导，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 得 f(0)=1，f(0)=0， f(0)=f(1)=1，由罗尔定理，存在 c(0，1)，使得 f(c)=0(x)=x 2 f(x)， (0)=(c)=0，由罗尔定理，存在 (0，c) )解析：20.设 f(x)二阶可导， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 得 f(0)=0，f(0)=1， 由拉格朗日中值
17、定理，存在 c(0，1)，使得 令 (x)=e -x f(x)一 1，(0)=(c)=0， 由罗尔定理，存在 (0，c) )解析：21.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 由柯西中值定理，存在 (a，b)，使得 整理得 )解析：22.设 f(x)二阶连续可导，且 f(0)=f(0)=0，f“(0)0，设 u(x)为曲线 y=f(x)在点(x，f(x)处的切线在 x轴上的截距，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 y=f(x)在点(x，f(x)的切线为 Y=f(x)=f(x)(Xx)，
18、令 Y=0，则 则)解析：23.证明曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对 两边关于 x求导得 )解析：24.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(1一 0)=f(1)=f(1+0)=1得 f(x)在 x=1处连续，从而 f(x)在0，2上连续得 f(x)在 x=1处可导且 f(1)=一 1，从而 f(x)在(0，2)内可导， 故 f(x)在0，2上满足拉格朗日中值定理的条件 当 x(0，1)时，f(x)=-x；当 x1时， 即 当 01 时，由f(2)一 f(0)=2f()得一 1=一 2，解得 当 12 时，由 f(2)一 f(0)=2f()得 解得)解析：25
19、.设函数 f(x)在区间0，3上连续，在(0，3)内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1 证明：存在(0，3)，使得 f()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在0，3上连续，所以 f(x)在0，2上连续，故 f(x)在0，2取到最大值 M和最小值 m，显然 3mf(0)+f(1)+f(2)3M，即 m1M，由介值定理，存在 c0，2，使得f(c)=1 因为 f(x)在f，3上连续，在(f，3)内可导，且 f(c)=f(3)=1，根据罗尔定理，存在(c，3) )解析：26.设函数 f(x)和 g(x)在区间a，b上连续，在区间(a，b)内可导，且 f
20、(a)=g(b)=0，g(x)0，试证明存在 (a，b)使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)在区间a，b上连续，在区间(a，b)内可导，且 因为 (a)=(b)=0，所以由罗尔定理，存在 (a，b)使 ()=0，即 由于 g(b)=0及 g(x)0，所以区间(a，b)内必有 g(x)0， 从而就有 于是有 )解析：27.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=f(b)lnx 一 f(x)lnx+f(x)lna，(a)=(b)=y(b)lna 由罗尔定理，存在 (a，b)，使得
21、 ()=0 )解析：解析：由28.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 g(x)0证明：存在 (a，b)，使得（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)=f(x)g(b)+f(a)g(x)一 f(x)g(x)，则 F(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 F(a)=F(b)=f(a)g(b)，由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 F()=0，而 F(x)=f(x)g(b)+f(a)g(x)一 f(x)g(x)一 f(x)g(x)，所以 )解析：解析：这是含端点和含 的项的问题，且端点与含 的项不可分离，具体构造辅助函数如下：把结论中的 换成 x得29.设
22、 f(x)在0，1上连续，证明：存在 (0，1)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 因为 (0)=(1)=0，所以由罗尔定理，存在 (0，1)，使得 ()=0 )解析：解析：30.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)f(b)0， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：不妨设 f(a)0，f(b)0， 令 (x)=e -x f(x)，则 (x)=e -x f(x)一 f(x) 因为 (a)0， (b)0，所以存在 使得 ( 1 )=()=0，由罗尔定理，存在 ( 1 ， 2 ) )解析：31.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0
23、)=f(1)，证明：存在 ，(0，1)，使得 f()+f()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：存在 使得 )解析：32.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)证明：存在 ，(a，b)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)=x 2 ，F(x)=2x0(axb)，由柯西中值定理，存在 (a，b)，使得 整理得 再由微分中值定理，存在 (a，b)，使得 故 )解析：33.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)，且 f(x)在a，b上不恒为常数证明：存在 ，(a，b)，使得 f()0，f()0（分数：2.00）_正确答
24、案：(正确答案：因为 f(x)在a，b上不恒为常数且 f(a)=f(b)，所以存在 c(a，b)，使得 f(c)f(a)=f(b)，不妨设 f?f(a)=f(b)， 由微分中值定理，存在 (a，c)，(c，b)，使得 )解析：34.设 ba0，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一 令 f(t)=lnt，由微分中值定理得 其中 (a，b) 因为0ab，所以 从而 即 方法二 等价于 b(lnblna)b一 a，令 1 (x)=x(lnxlna)一(xa)， 1 (a)=0， 1 (x)=lnxlna0(xa) 由 得 1 (x)0(xa)，而 ba，所以 1 (b)0，从而 同理可证 )解析：35.设 f(x)在a，b上满足|f“(x)|2，且 f(x)在(a，b)内取到最小值证明： |f(a)|+|f(b)|2(b 一 a)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在(a，b)内取到最小值，所以存在 c(a，b)，使得 f(f)为 f(x)在a，b上的最小值，从而 f(c)=0 由微分中值定理得 两式取绝对值得 )解析：
