1、考研数学三（中值定理与一元函数微分学的应用）模拟试卷 3及答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设曲线 y=x 2 +ax+b与曲线 2y=xy 3 一 1在点(1，一 1)处切线相同，则( )（分数：2.00）A.a=1，b=1B.a=一 1，b=一 1C.a=2，b=1D.a=一 2，b=一 13.设 f(x)在(一，+)上有定义，x 0 0 为函数 f(x)的极大值点，则( )（分数：2.00）A.x 0 为 f(x)的驻点B.一 x 0 为一 f(
2、-x)的极小值点C.一 x 0 为一 f(x)的极小值点D.对一切的 x有 f(x)f(x 0 )4.设 f(x 0 )=f“(x 0 )=0，f“(x 0 )0，则下列正确的是( )（分数：2.00）A.f(x 0 )是 f(x)的极大值B.f(x 0 )是 f(x)的极大值C.f(x 0 )是 f(x)的极小值D.(x 0 ，f(x 0 )是 y=f(x)的拐点5.设 f(x)=x 3 +ax 2 +bx在 x=1处有极小值一 2，则( )（分数：2.00）A.a=1，b=2B.a=一 1，b=一 2C.a=0，b=一 3D.a=0，b=36.当 x0，1时，f“(x)0，则 f(0)，f
3、(1)，f(1)=f(0)的大小次序为( )（分数：2.00）A.f(0)f(1)一 f(0)f(1)B.f(0)f(1)f(1)一 f(0)C.f(0)f(1)f(1)一 f(0)D.f(0)f(1)一 f(0)f(1)7.设 f(x)，g(x)(axb)为大于零的可导函数，且 f(x)g(x)-f(x)g(x)0，则当 axb 时，有( )（分数：2.00）A.f(x)g(b)f(b)g(x)B.f(x)g(a)f(a)g(x)C.f(x)g(x)f(b)g(b)D.f(x)g(x)f(a)g(a)8.设 f(x)在 x=0的某邻域内连续，若 （分数：2.00）A.不可导B.可导但 f(0
4、)0C.取极大值D.取极小值9.设 f(x)连续，且 f(0)0，则存在 0，使得( )（分数：2.00）A.f(x)在(0，)内单调增加B.f(x)在(一 ，0)内单调减少C.对任意的 x(一 ，0)，有 f(x)f(0)D.对任意的 x(0，)，有 f(x)f(0)二、填空题(总题数：5，分数：10.00)10.设 f(x)为偶函数，且 f(一 1)=2，则 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 f(x)在 x=a处可导，则 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 （分数：2.00）填空项 1:_13.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_14.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_
5、三、解答题(总题数：19，分数：40.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_16.设 f(x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，证明：存在 (1，2)，使得 f()一 f()=f(2)一 2f(1)（分数：2.00）_17.设 f(x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 f(x)0，证明：存在 ，(1，2)，使得（分数：2.00）_18.证明：当 x1 时， （分数：2.00）_19.证明：当 x0 时， （分数：2.00）_20.当 0x1，证明： （分数：2.00）_21.当 时，证明： （分数：2.00）_22.设 f(x)在0，1上连续，且 f(x)1，证明
6、： （分数：2.00）_23.求曲线 （分数：2.00）_24.求曲线 （分数：2.00）_25.求 （分数：2.00）_26.证明：当 x0 时， （分数：2.00）_27.设 0a1，证明：方程 arctanx=ax在(0，+)内有且仅有一个实根（分数：2.00）_28.设 f(x)在0，上连续，在(0，)内可导，证明：至少存在一点 (0，)，使得 f()=一f()cot（分数：2.00）_29.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0，证明：存在 (a，b)，使得f()+f()g()=0（分数：2.00）_设 f(x)在0，3上连续，在(0，3
7、)内二阶可导，且 （分数：4.00）(1).存在 1 ， 2 (0，3)，使得 f( 1 )=f( 2 )=0（分数：2.00）_(2).存在 (0，3)，使得 f“()一 2f()=0（分数：2.00）_设 f(x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 f(x)0(1x2)，又 （分数：4.00）(1).存在 (1，2)，使得 （分数：2.00）_(2).存在 (1，2)，使得 （分数：2.00）_30.设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f“(x)0，证明：f(x)在(a，b)内为凹函数（分数：2.00）_31.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 证明：存在 (0，1)，
8、使得 （分数：2.00）_考研数学三（中值定理与一元函数微分学的应用）模拟试卷 3答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设曲线 y=x 2 +ax+b与曲线 2y=xy 3 一 1在点(1，一 1)处切线相同，则( )（分数：2.00）A.a=1，b=1B.a=一 1，b=一 1 C.a=2，b=1D.a=一 2，b=一 1解析：解析：由 y=x 2 +ax+b得 y=2x+a， 2y=xy 3 一 1两边对 x求导得 2y=y 3 +3xy 2 y
9、，解得 因为两曲线在点(1，一 1)处切线相同，所以 解得 3.设 f(x)在(一，+)上有定义，x 0 0 为函数 f(x)的极大值点，则( )（分数：2.00）A.x 0 为 f(x)的驻点B.一 x 0 为一 f(-x)的极小值点 C.一 x 0 为一 f(x)的极小值点D.对一切的 x有 f(x)f(x 0 )解析：解析：因为 y=f(一 x)的图像与 y=f(x)的图像关于 y轴对称，所以一 x 0 为 f(一 x)的极大值点，从而一 x 0 为一 f(一 x)的极小值点，选(B)4.设 f(x 0 )=f“(x 0 )=0，f“(x 0 )0，则下列正确的是( )（分数：2.00）
10、A.f(x 0 )是 f(x)的极大值B.f(x 0 )是 f(x)的极大值C.f(x 0 )是 f(x)的极小值D.(x 0 ，f(x 0 )是 y=f(x)的拐点 解析：解析：因为 f“(x 0 )0，所以存在 0，当 0|x 一 x 0 | 时， 5.设 f(x)=x 3 +ax 2 +bx在 x=1处有极小值一 2，则( )（分数：2.00）A.a=1，b=2B.a=一 1，b=一 2C.a=0，b=一 3 D.a=0，b=3解析：解析：f(x)=3x 2 +2ax+b，因为 f(x)在 x=1处有极小值一 2， 所以 6.当 x0，1时，f“(x)0，则 f(0)，f(1)，f(1)
11、=f(0)的大小次序为( )（分数：2.00）A.f(0)f(1)一 f(0)f(1)B.f(0)f(1)f(1)一 f(0)C.f(0)f(1)f(1)一 f(0)D.f(0)f(1)一 f(0)f(1) 解析：解析：由拉格朗日中值定理得 f(1)一 f(0)=f(c)(0c1)， 因为 f“(x)0，所以 f(x)单调增加，故 f(0)f(c)f(1)， 即 f(0)f(1)一 f(0)f(1)，选(D)7.设 f(x)，g(x)(axb)为大于零的可导函数，且 f(x)g(x)-f(x)g(x)0，则当 axb 时，有( )（分数：2.00）A.f(x)g(b)f(b)g(x) B.f(
12、x)g(a)f(a)g(x)C.f(x)g(x)f(b)g(b)D.f(x)g(x)f(a)g(a)解析：解析：由 f(x)g(x)-f(x)g(x)0 得 从而 为单调减函数， 由 axb 得8.设 f(x)在 x=0的某邻域内连续，若 （分数：2.00）A.不可导B.可导但 f(0)0C.取极大值D.取极小值 解析：解析：由 得 f(0)=0， 由极限保号性，存在 0，当 0|x| 时，9.设 f(x)连续，且 f(0)0，则存在 0，使得( )（分数：2.00）A.f(x)在(0，)内单调增加B.f(x)在(一 ，0)内单调减少C.对任意的 x(一 ，0)，有 f(x)f(0)D.对任意
13、的 x(0，)，有 f(x)f(0) 解析：解析：因为 所以由极限的保号性，存在 0，当 0|x| 时，二、填空题(总题数：5，分数：10.00)10.设 f(x)为偶函数，且 f(一 1)=2，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：因为 f(x)为偶函数，所以 f(x)为奇函数，于是 f(1)=一 2， ）解析：11.设 f(x)在 x=a处可导，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：因为 f(x)在 x=a处可导，所以 f(x)在 x=a处连续， 于是 ）解析：12.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：f(1 一 0)=f
14、(1)=a+b，f(1+0)=1， 因为 f(x)在x=1处连续，所以 a+b=1 又因为 且 f(x)在 x=1处可导，所以 a=3故 a=3，b=一 2 ）解析：13.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*则斜渐近线为 y=x+3）解析：14.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由*得曲线*的斜渐近线为 y=x）解析：三、解答题(总题数：19，分数：40.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：16.设 f(x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，证明：存在 (1，2)，使得 f()一 f()=f(2)一 2f(
15、1)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 则 (x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 (1)=(2)=f(2)一 f(1)，由罗尔定理，存在 (1，2)，使得 ()=0， 而 )解析：解析：由 xf(x)一 f(x)=f(2)一 2f(1)得 从而 辅助函数为17.设 f(x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 f(x)0，证明：存在 ，(1，2)，使得（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)=lnx， 由柯西中值定理，存在 (1，2)，使得 由拉格朗日中值定理得 其中 (1，2)， f(2)一 f(1)=f()(21)=f()，其中 (1，2)， 故 )解析：
16、18.证明：当 x1 时， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=(1+x)ln(1+x)一 xlnx，f(1)=2ln20， 因为 所以 f(x)在1，+)上单调增加， 再由 f(1)=2ln20 得当 x1时，f(x)0，即 )解析：解析：当 x1 时，19.证明：当 x0 时， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 因为 所以 f(x)在(0，+)内单调递减， 又因为 所以 即)解析：20.当 0x1，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(0)=0， 由 得当 0x1 时，f(x)0，故 )解析：解析：21.当 时，证明： （分数：2.00）
17、_正确答案：(正确答案：令 f(x)=xsinx，f(0)=0， 即当 时，sinxx； )解析：22.设 f(x)在0，1上连续，且 f(x)1，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 因为 f(x)1，所以 从而 (0)(1)0， 由零点定理，存在c(0，1)，使得 (f)=0 因为 (x)=2 一 f(x)0，所以 (x)在0，1上单调增加，故方程 )解析：23.求曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由 y“0 得(x 一 3) 2 一 10，解得 2x4，故曲线 )解析：24.求曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 得曲线 )解析：25.求 （
18、分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为所以 y=f(x)没有水平渐近线， 由 得 x=0为铅直渐近线， 由 得x=2为铅直渐近线， )解析：26.证明：当 x0 时， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (t)=ln(x+t)，由拉格朗日中值定理得 由 得 )解析：27.设 0a1，证明：方程 arctanx=ax在(0，+)内有且仅有一个实根（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=arctanx一 ax，由 得 由 得 为 f(x)的最大值点， 由 f(0)=0得方程 arctanx=ax在(0，+)内有且仅有唯一实根，位于 )解析：28.设 f(x)在0，上
19、连续，在(0，)内可导，证明：至少存在一点 (0，)，使得 f()=一f()cot（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=f(x)sinr，则 (0)=()=0， 由罗尔定理，存在 (0，)，使得 ()=0， 而 (x)=f(x)sinx+f(x)cosx， 于是 f()sin+f()cos=0，故 f()=一 f()cot)解析：29.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0，证明：存在 (a，b)，使得f()+f()g()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=f(x)e g(x) ， 由 f(a)=f(b)=0得
20、 (a)=(b)=0，则存在 (a，b)，使得 ()=0， 因为 (x)=e g(x) f(x)+f(x)g(x)且 e g(x) 0，所以 f()+f()g()=0)解析：设 f(x)在0，3上连续，在(0，3)内二阶可导，且 （分数：4.00）(1).存在 1 ， 2 (0，3)，使得 f( 1 )=f( 2 )=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)=f(x)， 其中 0c2 因为 f(x)在2，3上连续，所以f(x)在2，3上取到最小值 m和最大值 M， 由介值定理，存在 x 0 2，3，使得 即 f(2)+f(3)=2f(x 0 )， 于是 f(0)=f(c)=f(
21、x 0 )， 由罗尔定理，存在 1 (0，c) (0，3)， 2 (c，x 0 ) )解析：(2).存在 (0，3)，使得 f“()一 2f()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=e -2x f(x)，( 1 )=( 2 )=0， 由罗尔定理，存在 ( 1 ， 2 ) )解析：设 f(x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 f(x)0(1x2)，又 （分数：4.00）(1).存在 (1，2)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 h(x)=lnx， 且 F(x)=f(x)0， 由柯西中值定理，存在 (1，2)，使得 )解析：(2).存在 (1，2)，使得
22、 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 得 f(1)=0， 由拉格朗日中值定理得 f()=f()一 f(1)=f()( 一1)，其中 1，故 )解析：30.设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f“(x)0，证明：f(x)在(a，b)内为凹函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对任意的 x 1 ，x 2 (a，b)且 x 1 x 2 ，取 由泰勒公式得 其中 介于 x 0 与 x之间 因为 f“(x)0，所以 f(x)f(x 0 )+f(x 0 )(xx 0 )，“=”成立当且仅当“x=x 0 ”， 从而 两式相加得 即 )解析：31.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 证明：存在 (0，1)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 因为 (0)=(1)=0，所以存在 (0，1)，使得 ()=0， 而 且 e -x 0，故 )解析：
