【考研类试卷】考研数学三(中值定理与一元函数微分学的应用)模拟试卷3及答案解析.doc

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1、考研数学三(中值定理与一元函数微分学的应用)模拟试卷 3及答案解析(总分:68.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:9,分数:18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设曲线 y=x 2 +ax+b与曲线 2y=xy 3 一 1在点(1,一 1)处切线相同,则( )(分数:2.00)A.a=1,b=1B.a=一 1,b=一 1C.a=2,b=1D.a=一 2,b=一 13.设 f(x)在(一,+)上有定义,x 0 0 为函数 f(x)的极大值点,则( )(分数:2.00)A.x 0 为 f(x)的驻点B.一 x 0 为一 f(

2、-x)的极小值点C.一 x 0 为一 f(x)的极小值点D.对一切的 x有 f(x)f(x 0 )4.设 f(x 0 )=f“(x 0 )=0,f“(x 0 )0,则下列正确的是( )(分数:2.00)A.f(x 0 )是 f(x)的极大值B.f(x 0 )是 f(x)的极大值C.f(x 0 )是 f(x)的极小值D.(x 0 ,f(x 0 )是 y=f(x)的拐点5.设 f(x)=x 3 +ax 2 +bx在 x=1处有极小值一 2,则( )(分数:2.00)A.a=1,b=2B.a=一 1,b=一 2C.a=0,b=一 3D.a=0,b=36.当 x0,1时,f“(x)0,则 f(0),f

3、(1),f(1)=f(0)的大小次序为( )(分数:2.00)A.f(0)f(1)一 f(0)f(1)B.f(0)f(1)f(1)一 f(0)C.f(0)f(1)f(1)一 f(0)D.f(0)f(1)一 f(0)f(1)7.设 f(x),g(x)(axb)为大于零的可导函数,且 f(x)g(x)-f(x)g(x)0,则当 axb 时,有( )(分数:2.00)A.f(x)g(b)f(b)g(x)B.f(x)g(a)f(a)g(x)C.f(x)g(x)f(b)g(b)D.f(x)g(x)f(a)g(a)8.设 f(x)在 x=0的某邻域内连续,若 (分数:2.00)A.不可导B.可导但 f(0

4、)0C.取极大值D.取极小值9.设 f(x)连续,且 f(0)0,则存在 0,使得( )(分数:2.00)A.f(x)在(0,)内单调增加B.f(x)在(一 ,0)内单调减少C.对任意的 x(一 ,0),有 f(x)f(0)D.对任意的 x(0,),有 f(x)f(0)二、填空题(总题数:5,分数:10.00)10.设 f(x)为偶函数,且 f(一 1)=2,则 (分数:2.00)填空项 1:_11.设 f(x)在 x=a处可导,则 (分数:2.00)填空项 1:_12.设 (分数:2.00)填空项 1:_13.曲线 (分数:2.00)填空项 1:_14.曲线 (分数:2.00)填空项 1:_

5、三、解答题(总题数:19,分数:40.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_16.设 f(x)在1,2上连续,在(1,2)内可导,证明:存在 (1,2),使得 f()一 f()=f(2)一 2f(1)(分数:2.00)_17.设 f(x)在1,2上连续,在(1,2)内可导,且 f(x)0,证明:存在 ,(1,2),使得(分数:2.00)_18.证明:当 x1 时, (分数:2.00)_19.证明:当 x0 时, (分数:2.00)_20.当 0x1,证明: (分数:2.00)_21.当 时,证明: (分数:2.00)_22.设 f(x)在0,1上连续,且 f(x)1,证明

6、: (分数:2.00)_23.求曲线 (分数:2.00)_24.求曲线 (分数:2.00)_25.求 (分数:2.00)_26.证明:当 x0 时, (分数:2.00)_27.设 0a1,证明:方程 arctanx=ax在(0,+)内有且仅有一个实根(分数:2.00)_28.设 f(x)在0,上连续,在(0,)内可导,证明:至少存在一点 (0,),使得 f()=一f()cot(分数:2.00)_29.设 f(x),g(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且 f(a)=f(b)=0,证明:存在 (a,b),使得f()+f()g()=0(分数:2.00)_设 f(x)在0,3上连续,在(0,3

7、)内二阶可导,且 (分数:4.00)(1).存在 1 , 2 (0,3),使得 f( 1 )=f( 2 )=0(分数:2.00)_(2).存在 (0,3),使得 f“()一 2f()=0(分数:2.00)_设 f(x)在1,2上连续,在(1,2)内可导,且 f(x)0(1x2),又 (分数:4.00)(1).存在 (1,2),使得 (分数:2.00)_(2).存在 (1,2),使得 (分数:2.00)_30.设 f(x)在a,b上二阶可导,且 f“(x)0,证明:f(x)在(a,b)内为凹函数(分数:2.00)_31.设 f(x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,且 证明:存在 (0,1),

8、使得 (分数:2.00)_考研数学三(中值定理与一元函数微分学的应用)模拟试卷 3答案解析(总分:68.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:9,分数:18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设曲线 y=x 2 +ax+b与曲线 2y=xy 3 一 1在点(1,一 1)处切线相同,则( )(分数:2.00)A.a=1,b=1B.a=一 1,b=一 1 C.a=2,b=1D.a=一 2,b=一 1解析:解析:由 y=x 2 +ax+b得 y=2x+a, 2y=xy 3 一 1两边对 x求导得 2y=y 3 +3xy 2 y

9、,解得 因为两曲线在点(1,一 1)处切线相同,所以 解得 3.设 f(x)在(一,+)上有定义,x 0 0 为函数 f(x)的极大值点,则( )(分数:2.00)A.x 0 为 f(x)的驻点B.一 x 0 为一 f(-x)的极小值点 C.一 x 0 为一 f(x)的极小值点D.对一切的 x有 f(x)f(x 0 )解析:解析:因为 y=f(一 x)的图像与 y=f(x)的图像关于 y轴对称,所以一 x 0 为 f(一 x)的极大值点,从而一 x 0 为一 f(一 x)的极小值点,选(B)4.设 f(x 0 )=f“(x 0 )=0,f“(x 0 )0,则下列正确的是( )(分数:2.00)

10、A.f(x 0 )是 f(x)的极大值B.f(x 0 )是 f(x)的极大值C.f(x 0 )是 f(x)的极小值D.(x 0 ,f(x 0 )是 y=f(x)的拐点 解析:解析:因为 f“(x 0 )0,所以存在 0,当 0|x 一 x 0 | 时, 5.设 f(x)=x 3 +ax 2 +bx在 x=1处有极小值一 2,则( )(分数:2.00)A.a=1,b=2B.a=一 1,b=一 2C.a=0,b=一 3 D.a=0,b=3解析:解析:f(x)=3x 2 +2ax+b,因为 f(x)在 x=1处有极小值一 2, 所以 6.当 x0,1时,f“(x)0,则 f(0),f(1),f(1)

11、=f(0)的大小次序为( )(分数:2.00)A.f(0)f(1)一 f(0)f(1)B.f(0)f(1)f(1)一 f(0)C.f(0)f(1)f(1)一 f(0)D.f(0)f(1)一 f(0)f(1) 解析:解析:由拉格朗日中值定理得 f(1)一 f(0)=f(c)(0c1), 因为 f“(x)0,所以 f(x)单调增加,故 f(0)f(c)f(1), 即 f(0)f(1)一 f(0)f(1),选(D)7.设 f(x),g(x)(axb)为大于零的可导函数,且 f(x)g(x)-f(x)g(x)0,则当 axb 时,有( )(分数:2.00)A.f(x)g(b)f(b)g(x) B.f(

12、x)g(a)f(a)g(x)C.f(x)g(x)f(b)g(b)D.f(x)g(x)f(a)g(a)解析:解析:由 f(x)g(x)-f(x)g(x)0 得 从而 为单调减函数, 由 axb 得8.设 f(x)在 x=0的某邻域内连续,若 (分数:2.00)A.不可导B.可导但 f(0)0C.取极大值D.取极小值 解析:解析:由 得 f(0)=0, 由极限保号性,存在 0,当 0|x| 时,9.设 f(x)连续,且 f(0)0,则存在 0,使得( )(分数:2.00)A.f(x)在(0,)内单调增加B.f(x)在(一 ,0)内单调减少C.对任意的 x(一 ,0),有 f(x)f(0)D.对任意

13、的 x(0,),有 f(x)f(0) 解析:解析:因为 所以由极限的保号性,存在 0,当 0|x| 时,二、填空题(总题数:5,分数:10.00)10.设 f(x)为偶函数,且 f(一 1)=2,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:因为 f(x)为偶函数,所以 f(x)为奇函数,于是 f(1)=一 2, )解析:11.设 f(x)在 x=a处可导,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:因为 f(x)在 x=a处可导,所以 f(x)在 x=a处连续, 于是 )解析:12.设 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:f(1 一 0)=f

14、(1)=a+b,f(1+0)=1, 因为 f(x)在x=1处连续,所以 a+b=1 又因为 且 f(x)在 x=1处可导,所以 a=3故 a=3,b=一 2 )解析:13.曲线 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*则斜渐近线为 y=x+3)解析:14.曲线 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:由*得曲线*的斜渐近线为 y=x)解析:三、解答题(总题数:19,分数:40.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析:16.设 f(x)在1,2上连续,在(1,2)内可导,证明:存在 (1,2),使得 f()一 f()=f(2)一 2f(

15、1)(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 则 (x)在1,2上连续,在(1,2)内可导,且 (1)=(2)=f(2)一 f(1),由罗尔定理,存在 (1,2),使得 ()=0, 而 )解析:解析:由 xf(x)一 f(x)=f(2)一 2f(1)得 从而 辅助函数为17.设 f(x)在1,2上连续,在(1,2)内可导,且 f(x)0,证明:存在 ,(1,2),使得(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 F(x)=lnx, 由柯西中值定理,存在 (1,2),使得 由拉格朗日中值定理得 其中 (1,2), f(2)一 f(1)=f()(21)=f(),其中 (1,2), 故 )解析:

16、18.证明:当 x1 时, (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 f(x)=(1+x)ln(1+x)一 xlnx,f(1)=2ln20, 因为 所以 f(x)在1,+)上单调增加, 再由 f(1)=2ln20 得当 x1时,f(x)0,即 )解析:解析:当 x1 时,19.证明:当 x0 时, (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 因为 所以 f(x)在(0,+)内单调递减, 又因为 所以 即)解析:20.当 0x1,证明: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 f(0)=0, 由 得当 0x1 时,f(x)0,故 )解析:解析:21.当 时,证明: (分数:2.00)

17、_正确答案:(正确答案:令 f(x)=xsinx,f(0)=0, 即当 时,sinxx; )解析:22.设 f(x)在0,1上连续,且 f(x)1,证明: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 因为 f(x)1,所以 从而 (0)(1)0, 由零点定理,存在c(0,1),使得 (f)=0 因为 (x)=2 一 f(x)0,所以 (x)在0,1上单调增加,故方程 )解析:23.求曲线 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 由 y“0 得(x 一 3) 2 一 10,解得 2x4,故曲线 )解析:24.求曲线 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 得曲线 )解析:25.求 (

18、分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为所以 y=f(x)没有水平渐近线, 由 得 x=0为铅直渐近线, 由 得x=2为铅直渐近线, )解析:26.证明:当 x0 时, (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 (t)=ln(x+t),由拉格朗日中值定理得 由 得 )解析:27.设 0a1,证明:方程 arctanx=ax在(0,+)内有且仅有一个实根(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 f(x)=arctanx一 ax,由 得 由 得 为 f(x)的最大值点, 由 f(0)=0得方程 arctanx=ax在(0,+)内有且仅有唯一实根,位于 )解析:28.设 f(x)在0,上

19、连续,在(0,)内可导,证明:至少存在一点 (0,),使得 f()=一f()cot(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 (x)=f(x)sinr,则 (0)=()=0, 由罗尔定理,存在 (0,),使得 ()=0, 而 (x)=f(x)sinx+f(x)cosx, 于是 f()sin+f()cos=0,故 f()=一 f()cot)解析:29.设 f(x),g(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且 f(a)=f(b)=0,证明:存在 (a,b),使得f()+f()g()=0(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 (x)=f(x)e g(x) , 由 f(a)=f(b)=0得

20、 (a)=(b)=0,则存在 (a,b),使得 ()=0, 因为 (x)=e g(x) f(x)+f(x)g(x)且 e g(x) 0,所以 f()+f()g()=0)解析:设 f(x)在0,3上连续,在(0,3)内二阶可导,且 (分数:4.00)(1).存在 1 , 2 (0,3),使得 f( 1 )=f( 2 )=0(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 F(x)=f(x), 其中 0c2 因为 f(x)在2,3上连续,所以f(x)在2,3上取到最小值 m和最大值 M, 由介值定理,存在 x 0 2,3,使得 即 f(2)+f(3)=2f(x 0 ), 于是 f(0)=f(c)=f(

21、x 0 ), 由罗尔定理,存在 1 (0,c) (0,3), 2 (c,x 0 ) )解析:(2).存在 (0,3),使得 f“()一 2f()=0(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 (x)=e -2x f(x),( 1 )=( 2 )=0, 由罗尔定理,存在 ( 1 , 2 ) )解析:设 f(x)在1,2上连续,在(1,2)内可导,且 f(x)0(1x2),又 (分数:4.00)(1).存在 (1,2),使得 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 h(x)=lnx, 且 F(x)=f(x)0, 由柯西中值定理,存在 (1,2),使得 )解析:(2).存在 (1,2),使得

22、 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 得 f(1)=0, 由拉格朗日中值定理得 f()=f()一 f(1)=f()( 一1),其中 1,故 )解析:30.设 f(x)在a,b上二阶可导,且 f“(x)0,证明:f(x)在(a,b)内为凹函数(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:对任意的 x 1 ,x 2 (a,b)且 x 1 x 2 ,取 由泰勒公式得 其中 介于 x 0 与 x之间 因为 f“(x)0,所以 f(x)f(x 0 )+f(x 0 )(xx 0 ),“=”成立当且仅当“x=x 0 ”, 从而 两式相加得 即 )解析:31.设 f(x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,且 证明:存在 (0,1),使得 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 因为 (0)=(1)=0,所以存在 (0,1),使得 ()=0, 而 且 e -x 0,故 )解析:

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