1、考研数学三（函数、极限、连续）-试卷 1及答案解析(总分：82.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：21，分数：42.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设函数 在(一，+)内连续，且 （分数：2.00）A.a0，b0B.a0，b0C.a0，b0D.a0，b03.设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数，“ （分数：2.00）A.F(x)是偶函数B.F(x)是奇函数C.F(x)是周期函数D.F(x)是单调函数4.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.x=0，x=1 都是 f(x)的第一类间断点B.x=0，x=1 都是
2、f(x)的第二类间断点C.x=0是 f(x)的第一类间断点，x=1 是 f(x)的第二类间断点D.x=0是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点5.设 f(x)是奇函数，除 x=0外处处连续，x=0 是其第一类间断点，则 0 x f(t)dt是( )（分数：2.00）A.连续的奇函数B.连续的偶函数C.在 x=0处间断的奇函数D.在 x=0处间断的偶函数6.当 x0 + 时，与 等价的无穷小量是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.函数 f(x)= （分数：2.00）A.0B.1C.D.8.设函数 f(x)在 x=0处连续，下列命题错误的是( ) （分数：2.00
3、）A.B.C.D.9.判断函数 （分数：2.00）A.1个可去间断点，1 个跳跃间断点B.1个可去间断点，1 个无穷间断点C.2个跳跃间断点D.2个无穷间断点10.设函数 f(x)在(一，+)内单调有界，x n 为数列，下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若x n 收敛，则f(x n )收敛B.若x n 单调，则f(x n )收敛C.若f(x n )收敛，则x n 收敛D.若f(x n )单调，则x n 收敛11.设 f(x)= （分数：2.00）A.0B.1C.D.12.下列各题计算过程中正确无误的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.13.设数列 x n 与 y n 满足 （
4、分数：2.00）A.若 x n 发散，则 y n 必发散B.若 x n 无界，则 y n 必无界C.若 x n 有界，则 y n 必为无穷小D.若 14.设 xa 时 f(x)与 g(x)分别是 x一 a的 n阶与 m阶无穷小，则下列命题中，正确的个数是( )f(x)g(x)是 x一 a的 n+m阶无穷小 （分数：2.00）A.1B.2C.3D.015.以下极限等式(若右端极限存在，则左端极限存在且相等)成立的个数是( ) （分数：2.00）A.0B.1C.2D.316.设数列极限函数 f(x)= （分数：2.00）A.I=(一，+)，J=(一，+)B.I=(一 1，+)，J=(一 1，1)(
5、1，+)C.I=(一 1，+)，J=(一 1，+)D.I=(一 1，1)，J=(一 1，1)17.把 x0 + 时的无穷小量 （分数：2.00）A.，B.，C.，D.，18.函数 f(x)= （分数：2.00）A.x=1为第一类间断点，x=一 1为第二类间断点B.x=1均为第一类间断点C.x=1为第二类间断点，x=一 1为第一类间断点D.x=1均为第二类间断点19.设 f(x)在 R上连续，且 f(x)0，(x)在 R上有定义，且有间断点，则下列陈述中正确的个数是( ) f(x)必有间断点 (x) 2 必有间断点 f(x)没有间断点（分数：2.00）A.0B.1C.2D.320.设对任意的 x
6、，总有 (x)f(x)g(x)，且 ，则 （分数：2.00）A.存在且等于零B.存在但不一定为零C.一定不存在D.不一定存在21.设 （分数：2.00）A.b=4dB.b=一 4dC.a=4cD.a=一 4c二、填空题(总题数：9，分数：18.00)22. （分数：2.00）填空项 1:_23. （分数：2.00）填空项 1:_24. （分数：2.00）填空项 1:_25. （分数：2.00）填空项 1:_26.设 a0，a1，且 （分数：2.00）填空项 1:_27. （分数：2.00）填空项 1:_28. （分数：2.00）填空项 1:_29. （分数：2.00）填空项 1:_30. （分
7、数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：22.00)31.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_32.已知 （分数：2.00）_33.求心形线 r=a(1+cos)的全长，其中 a0 是常数（分数：2.00）_34.设 f(x)连续，(x)= 0 1 f(xt)dt，且 （分数：2.00）_35.设数列x n 满足 0x 1 ，x n+1 =sinx n (n=1，2，) （分数：2.00）_36.证明：(1)对任意正整数 n，都有 成立； (2)设 a n = （分数：2.00）_37.设函数 f(x)在 x=1的某邻域内连续，且有 （分数：2
8、.00）_38. （分数：2.00）_39. （分数：2.00）_40. （分数：2.00）_41. （分数：2.00）_考研数学三（函数、极限、连续）-试卷 1答案解析(总分：82.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：21，分数：42.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设函数 在(一，+)内连续，且 （分数：2.00）A.a0，b0B.a0，b0C.a0，b0D.a0，b0 解析：解析：因 f(x)连续，故 a+e bx 0，因此只要 a0 即可再由 3.设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数，“ （分数：2.
9、00）A.F(x)是偶函数 B.F(x)是奇函数C.F(x)是周期函数D.F(x)是单调函数解析：解析：原函数可表示为 F(x)= 0 x f(t)dt+C，且 F(x)=f(x) 当 F(x)为偶函数时，有 F(一 x)=F(x)，于是 F(一 x).(一 1)=F(x)，即一 f(一 x)=f(x)，也即 f(一 x)=一 f(x)，可见 f(x)为奇函数；若 f(x)为奇函数，则 0 x f(t)dt为偶函数，从而 F(x)= 0 x f(t)dt+C为偶函数，可见 A为正确选项本题也可以选取一些特殊的函数对其他选项进行排除4.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.x=0，x=1 都
10、是 f(x)的第一类间断点B.x=0，x=1 都是 f(x)的第二类间断点C.x=0是 f(x)的第一类间断点，x=1 是 f(x)的第二类间断点D.x=0是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点 解析：解析：由于函数 f(x)在 x=0，x=1 点处无定义，因此是间断点 且 ，所以 x=0为第二类间断点；5.设 f(x)是奇函数，除 x=0外处处连续，x=0 是其第一类间断点，则 0 x f(t)dt是( )（分数：2.00）A.连续的奇函数B.连续的偶函数 C.在 x=0处间断的奇函数D.在 x=0处间断的偶函数解析：解析：用赋值法求解，取符合题意条件的特殊函数 计算
11、， 如 0 x f(t)dt=|x|= 6.当 x0 + 时，与 等价的无穷小量是( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：本题为等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可 故用排除法可得正确选项为 B7.函数 f(x)= （分数：2.00）A.0 B.1C.D.解析：解析：先找出函数的无定义点，再根据左右极限判断间断点的类型函数在 x=0，x=1， 均无意义 而且8.设函数 f(x)在 x=0处连续，下列命题错误的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：本题考查可导的极限定义及连续与可导的关系由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符
12、合题设条件的特殊函数 f(x)去判断，然后选出正确选项如取 f(x)=|x|，9.判断函数 （分数：2.00）A.1个可去间断点，1 个跳跃间断点 B.1个可去间断点，1 个无穷间断点C.2个跳跃间断点D.2个无穷间断点解析：解析：当 x=0，x=1 时,f(x)无定义，故 x=0，x=1 是函数的间断点且10.设函数 f(x)在(一，+)内单调有界，x n 为数列，下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若x n 收敛，则f(x n )收敛B.若x n 单调，则f(x n )收敛 C.若f(x n )收敛，则x n 收敛D.若f(x n )单调，则x n 收敛解析：解析：因为 f(x)在
13、(一，+)内单调有界，且x n 单调所以f(x n )单调且有界故f(x n )一定存在极限，即f(x n )一定收敛11.设 f(x)= （分数：2.00）A.0B.1 C.D.解析：解析：因为12.下列各题计算过程中正确无误的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：A 项错误，数列没有导数概念，不能直接用洛必达法则 B 项错误， 是定式，不能用洛必达法则 C 项错误，用洛必达法则求13.设数列 x n 与 y n 满足 （分数：2.00）A.若 x n 发散，则 y n 必发散B.若 x n 无界，则 y n 必无界C.若 x n 有界，则 y n 必为无穷小D.若 解析
14、：解析：取 x n =n，y n =0，显然满足，由此可排除 A、B若取 x n =0，y n =n，也满足，又排除C，故选 D14.设 xa 时 f(x)与 g(x)分别是 x一 a的 n阶与 m阶无穷小，则下列命题中，正确的个数是( )f(x)g(x)是 x一 a的 n+m阶无穷小 （分数：2.00）A.1B.2 C.3D.0解析：解析：此类问题要逐一分析，按无穷小阶的定义： 对于： 故 f(x)g(x)是(x 一 a)的 n+m阶无穷小； 对于：若 nm， 故 f(x)/g(x)是(x 一 a)的 nm阶无穷小； 对于： 例如，x0 时，sinx与一 x均是 x的一阶无穷小，但15.以下
15、极限等式(若右端极限存在，则左端极限存在且相等)成立的个数是( ) （分数：2.00）A.0B.1C.2D.3 解析：解析：逐一分析，证明三项均成立 对于： 对于：可直接证明,f 1 (x)一 g 1 (x)f 2 (x)一 g 2 (x) (xa) 16.设数列极限函数 f(x)= （分数：2.00）A.I=(一，+)，J=(一，+)B.I=(一 1，+)，J=(一 1，1)(1，+) C.I=(一 1，+)，J=(一 1，+)D.I=(一 1，1)，J=(一 1，1)解析：解析： 因此 f(x)的定义域为 I=(一 1，+)17.把 x0 + 时的无穷小量 （分数：2.00）A.，B.，
16、C.，D.，解析：解析：因为 18.函数 f(x)= （分数：2.00）A.x=1为第一类间断点，x=一 1为第二类间断点B.x=1均为第一类间断点 C.x=1为第二类间断点，x=一 1为第一类间断点D.x=1均为第二类间断点解析：解析：分别就当|x|=1，|x|1，|x|1 时，求极限 得出 f(x)的分段表达式19.设 f(x)在 R上连续，且 f(x)0，(x)在 R上有定义，且有间断点，则下列陈述中正确的个数是( ) f(x)必有间断点 (x) 2 必有间断点 f(x)没有间断点（分数：2.00）A.0B.1 C.2D.3解析：解析：错误举例：设 f(x)=e x ，则 f(x)=1
17、在 R上处处连续 错误举例： 20.设对任意的 x，总有 (x)f(x)g(x)，且 ，则 （分数：2.00）A.存在且等于零B.存在但不一定为零C.一定不存在D.不一定存在 解析：解析：取 (x)=f(x)=g(x)=x，显然满足 (x)f(x)g(x)，且 不存在，故 A、B 排除 再取 (x)=f(x)=g(x)=1，同样满足 (x)f(x)g(x)，且21.设 （分数：2.00）A.b=4dB.b=一 4dC.a=4cD.a=一 4c 解析：解析：当 x0 时，由皮亚诺型余项的泰勒公式可知，tanx，ln(12x)均为 x的一阶无穷小；而1cosx 均为 x的二阶无穷小，因此有二、填空
18、题(总题数：9，分数：18.00)22. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：23. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：24. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：运用洛必达法则，则有25. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：因为26.设 a0，a1，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：27. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：28. （分数：2.00）填空项 1:_ （
19、正确答案：正确答案： ）解析：解析：29. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：30. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：三、解答题(总题数：11，分数：22.00)31.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：32.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原式可改写成 由于该式成立，所以必有 即 a=9将 a=9代入原式，并有理化得 )解析：33.求心形线 r=a(1+cos)的全长，其中 a0 是常数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 r()=一 asin，ds=
20、，利用对称性可知，所求的心形线的全长为)解析：34.设 f(x)连续，(x)= 0 1 f(xt)dt，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：已知 (A为常数)，则 f(0)=0,f“(0)=A，并且由已知得 (0)=0又因根据导数的定义，有 )解析：35.设数列x n 满足 0x 1 ，x n+1 =sinx n (n=1，2，) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 0x 1 ，则 0x 2 =sinx 1 1 可推得 0x n+1 =sinx n 1，n=1，2，则数列x n 有界并且 ，(因当 x0 时 sinxx)，则有 x n+1 x n ，可见数列x n
21、单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知，极限 存在 令 t=x n ，则 n，t0 而 )解析：36.证明：(1)对任意正整数 n，都有 成立； (2)设 a n = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 先证明 ln(1+x)x，x0 令 f(x)=xln(1+x)由于 可知 f(x)在0，+上单调递增又由于 f(0)=0，因此当 x0 时,f(x)f(0)=0也即 ln(1+x)x，x0 可知 g(x)在(0，+)上单调递增 由于 g(0)=0，因此当 x0 时，g(x)g(0)=0即 )解析：37.设函数 f(x)在 x=1的某邻域内连续，且有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由条件知 于是有 f(1)=0 又因为在 x=0的某空心邻域内 f(x+1)+3sin 2 x0，现利用等价无穷小代换：当 x0 时， ln1+f(x+1)+3sin 2 x一 f(x+1)+3sin 2 x， )解析：38. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：39. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：40. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：41. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
