1、考研数学三（常微分方程与差分方程）-试卷 7 及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.微分方程 y“一 4y=e 2x +x 的特解形式为( )（分数：2.00）A.ae 2x +bx+cB.ax 2 e 2x +bx+cC.axe 2x +bx 2 +cxD.axe 2x +bx+c3.设三阶常系数齐次线性微分方程有特解 y 1 =e x ，y 2 =2xe x ，y 3 =3e 一 x ，则该微分方程为( )（分数：2.00）A.y“一 y“一 y“+y
2、=0B.y“+y“一 y“一 y=0C.y“+2y“一 y“一 2y=0D.y“一 2y“一 y“+2y=04.设 1 (x)， 2 (x)为一阶非齐次线性微分方程 y“+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为( )（分数：2.00）A.C 1 (x)+ 2 (x)B.C 1 (x)一 2 (x)C.C 1 (x)一 2 (x)+ 2 (x)D. 1 (x)一 2 (x)+C 2 (x)二、填空题(总题数：10，分数：20.00)5.设 y=y(x)过原点，在原点处的切线平行于直线 y=2x+1，又 y=y(x)满足微分方程 y“一 6y“+9y=e 3x ，则y(x)=
3、1（分数：2.00）填空项 1:_6.微分方程 2y“=3y2 满足初始条件 y(一 2)=1，y“(一 2)=1 的特解为 1（分数：2.00）填空项 1:_7.微分方程 xy“= （分数：2.00）填空项 1:_8.设二阶常系数非齐次线性微分方程 y“+y“+qy=Q(x)有特解 y=3e 一 4x +x 2 +3x+2，则 Q(x)= 1，该微分方程的通解为 2（分数：2.00）填空项 1:_9.以 y=C 1 e 一 2x +C 2 e x +cosx 为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设 y“一 3y“+ay=一 5e 一 x 的特解形式
4、为 Axe 一 x ，则其通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设 f(x)连续，且f(x)+xf(xt)clt=1，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_12.差分方程 y x+1 +2y x =5x 2 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_13.差分方程 y x+1 一 y x =x 2 x 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_14.差分方程 y t+1 一 y t 一 2t 2 +1 的特解形式为 y t * = 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：19，分数：38.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：
5、2.00）_16.设 f(x)二阶可导，且 0 x f(t)dt+ 0 x (x 一 t)dt=x+1，求 f(x)（分数：2.00）_17.求微分方程 y“+2x(y“) 2 =0 满足初始条件 y(0)=1，y“(0)=1 的特解（分数：2.00）_18.求微分方程 yy“=y “2 满足初始条件 y(0)=y“(0)=1 的特解（分数：2.00）_19.求微分方程 y“一 y“一 6y=0 的通解（分数：2.00）_20.求微分方程 y“+4y“+4y=0 的通解（分数：2.00）_21.求微分方程 y“一 y“+2y=0 的通解（分数：2.00）_22.设二阶常系数齐次线性微分方程以
6、y 1 =e 2x ，y 2 一 2e 一 x 一 3e 2x 为特解，求该微分方程（分数：2.00）_23.求微分方程 y“+2y“一 3y=(2x+1)e x 的通解（分数：2.00）_24.求 y“一 2y“一 e 2x =0 满足初始条件 y(0)=1，y“(0)=1 的特解（分数：2.00）_25.求微分方程 y“+4y“+4y=e ax 的通解（分数：2.00）_26.求微分方程 y“+y=x 2 +3+cosx 的通解（分数：2.00）_27.求微分方程 x 2 y“一 2xy“+2y=2x 一 1 的通解（分数：2.00）_28.设单位质点在水平面内作直线运动，初速度 | t=
7、0 = 0 ，已知阻力与速度成正比(比例系数为 1)，问:为多少时此质点的速度为 （分数：2.00）_29.设 f(x)在0，+)上连续，且 f(0)0，设 f(x)在0，x上的平均值等于 f(0)与 f(x)的几何平均数，求 f(x)（分数：2.00）_30.设曲线 L 位于 xOy 平面的第一象限内，L 上任意一点 M 处的切线与 y 轴总相交，交点为 A，已知|MA|=|OA|，且 L 经过点 （分数：2.00）_31.在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点 P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ 的长度的倒数(Q 为法线与 z 轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与 x
8、 轴平行（分数：2.00）_32.一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比，比例系数为 k0，设融化过程中形状不变，设半径为r 0 的雪堆融化 3 小时后体积为原来的 （分数：2.00）_33.设 f(x)在0，1上连续且满足 f(0)=1，f“(x)一 f(x)=a(x 一 1)y=f(x)，x=0，x=1，y=0 围成的平面区域绕 x 轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求 f(x)（分数：2.00）_考研数学三（常微分方程与差分方程）-试卷 7 答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要
9、求。（分数：2.00）_解析：2.微分方程 y“一 4y=e 2x +x 的特解形式为( )（分数：2.00）A.ae 2x +bx+cB.ax 2 e 2x +bx+cC.axe 2x +bx 2 +cxD.axe 2x +bx+c 解析：解析：y“一 4y=0 的特征方程为 2 一 4 一 0，特征值为 1 =一 2， 2 =2 y“一 4y=e 2x 的特解形式为 y 1 =axe 2x y“一 4y=x 的特解形式为 y 2 =bx+c，故原方程特解形式为 axe 2x +bx+c，选(D)3.设三阶常系数齐次线性微分方程有特解 y 1 =e x ，y 2 =2xe x ，y 3 =3
10、e 一 x ，则该微分方程为( )（分数：2.00）A.y“一 y“一 y“+y=0 B.y“+y“一 y“一 y=0C.y“+2y“一 y“一 2y=0D.y“一 2y“一 y“+2y=0解析：解析：由 y 1 =e x ，y 23 =2xe 一 x ，y 3 =3e 一 x 为三阶常系数齐次线性微分方程的特解可得其特征值为 1 = 2 =1， 3 =一 1，其特征方程为( 一 1) 2 (+1)=0，即 3 一 2 一 +1=0，所求的微分方程为 y“一 y“一 y“+y=0，选(A)4.设 1 (x)， 2 (x)为一阶非齐次线性微分方程 y“+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，
11、则该方程的通解为( )（分数：2.00）A.C 1 (x)+ 2 (x)B.C 1 (x)一 2 (x)C.C 1 (x)一 2 (x)+ 2 (x) D. 1 (x)一 2 (x)+C 2 (x)解析：解析：因为 1 (x)， 1 (x)为方程 y“+P(x)y=Q(x)的两个线性无关解，所以 1 (x)一 1 (x)为方程 y“+P(x)y=0 的一个解，于是方程 y“+P(x)y=Q(x)的通解为 C 1 (1)一 2 (x)+ 2 (x)，选(C)二、填空题(总题数：10，分数：20.00)5.设 y=y(x)过原点，在原点处的切线平行于直线 y=2x+1，又 y=y(x)满足微分方程
12、 y“一 6y“+9y=e 3x ，则y(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2xe 3x + ）解析：解析：由题意得 y(0)=0，y“(0)=2， y“一 6y“+9y=e 3x 的特征方程为 2 6+9=0，特征值为 1 = 2 =3， 令 y“一 6y“+9y=e 3x 的特解为 y 0 (x)=ax 2 e 3x ，代入得 a= ， 故通解为 y=(C 1 +C x x)e 3x + x 2 e 3x 由 y(0)=0，y“(0)=2 得 C 1 =0，C 2 =2，则 y(x)=2xe 3x + 6.微分方程 2y“=3y2 满足初始条件 y(一 2)
13、=1，y“(一 2)=1 的特解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 y“=p，则 y“= ，则原方程化为 =3y 2 ，解得 p 2 =y 3 +C 1 ，由 y(一 2)=1，y“(一 2)=1，得 C 1 =0，所以 y“= ，从而有 =x+C 2 ，再由 y(一 2)=1，得 C 2 =0，所求特解为 x= 7.微分方程 xy“= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln|x|+C）解析：解析：由 令 解得 arcsinu=1n|x|+C，则原方程通解为 arcsin8.设二阶常系数非齐次线性微分方程 y“+y“+qy=Q
14、(x)有特解 y=3e 一 4x +x 2 +3x+2，则 Q(x)= 1，该微分方程的通解为 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：C 1 e 一 4x +C 2 e 3x +x 2 +3x+2(其中 C 1 ，C 2 为任意常数)）解析：解析：显然 =一 4 是特征方程 2 +q=0 的解，故 q=一 12， 即特征方程为 2 + 一12=0，特征值为 1 =一 4， 2 =3 因为 x 2 +3x+2 为特征方程 y“+y“一 12y=Q(x)的一个特解，所以Q(x)=2+2x+3 一 12(x 2 +3x+2)=一 12x 2 34x 一 19，且通解为 y=C 1
15、 e 一 4x +C 2 e 3x +x 2 +3x+2(其中C 1 ，C 2 为任意常数)9.以 y=C 1 e 一 2x +C 2 e x +cosx 为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 sinx 一 3cosx）解析：解析：特征值为 1 =一 2， 2 =1，特征方程为 2 + 一 2=0，设所求的微分方程为 y“+y“一 2y=Q(x)，把 y=cosx 代入原方程，得 Q(x)=一 sinx 一 3cosx，所求微分方程为 y“+y“一 2y=一 sinx 一3cosx10.设 y“一 3y“+ay=一 5e 一 x
16、的特解形式为 Axe 一 x ，则其通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：C 1 e 一 x +C 2 e 4x +xe 一 x ）解析：解析：因为方程有特解 Axe 一 x ，所以一 1 为特征值，即(一 1) 2 一 3(一 1)+a=0 a=一4， 所以特征方程为 2 一 3 一 4=0 11.设 f(x)连续，且f(x)+xf(xt)clt=1，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e 一 x ）解析：解析：由f(x)+xf(xt)dt=1 得 0 1 f(x)dt+ 0 1 f(xt)d(xt)=1，整理得 f(x)+
17、0 x f(u)du=1，两边对 x 求导得 f“(x)+f(x)=0，解得 f(x)=Ce 一 x ，因为 f(0)=1，所以 C=1，故 f(x)=e 一 x 12.差分方程 y x+1 +2y x =5x 2 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：C(一 2) x + ）解析：解析：y x+1 +2y x =0 的通解为 y=C(一 2) 2 ， 令 y x+1 +2y x =5x 2 的特解为 y 0 (x)=a 0 +a 1 x+a 2 x 2 ，代入原方程整理得 3a 0 +a 0 +a 2 +(3a 1 +2a 2 )x+3a 2 x 2 =5x 2
18、 ，解得 y 0 (x)= 于是 y x+1 +2y x =5x 2 的通解为 y(x)=C(一 2) x + 13.差分方程 y x+1 一 y x =x 2 x 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：C+(x 一 2)2 x ）解析：解析：y x+1 一 y x =0 的通解为 y=C(1) x =C，令 y x+1 一 y x =x2 x 的特解为 y 0 =(ax+b)2 x ，代入原方程得 y 0 =(x 一 2)2 x ，原方程的通解为 y=C+(x 一 2)2 x 14.差分方程 y t+1 一 y t 一 2t 2 +1 的特解形式为 y t *
19、= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：t(at 2 +bt+c)）解析：解析：p=1，f(t)=2t 2 +1，故特解形式为 y t *=t(at 2 +bt+c)三、解答题(总题数：19，分数：38.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：16.设 f(x)二阶可导，且 0 x f(t)dt+ 0 x (x 一 t)dt=x+1，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 x tf(x 一 t)dt )解析：17.求微分方程 y“+2x(y“) 2 =0 满足初始条件 y(0)=1，y“(0)=1 的特解（分
20、数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 y“=p，则 y“= 代入方程得 +2xp 2 =0，解得 =x 2 +C 1 ，由y(0)=1 得 C 1 =1，于是 y“= )解析：18.求微分方程 yy“=y “2 满足初始条件 y(0)=y“(0)=1 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 y“=p，则 y“= 代入原方程得 =0当 p=0 时，y=1 为原方程的解；当 p0 时，由 =0，解得 p=C 1 =C 1 y，由 y(0)=y“(0)=1 得 C 1 =1，于是 )解析：19.求微分方程 y“一 y“一 6y=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征
21、方程为 2 一 一 6=0，特征值为 1 =一 2， 2 =3，则原方程的通解为 y=C 1 e 一 2x +C 2 e 3x )解析：20.求微分方程 y“+4y“+4y=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 2 +4+4=0，特征值为 1 = 2 =一 2，则原方程的通解为 y=(C 1 +C 2 x)e 一 2x )解析：21.求微分方程 y“一 y“+2y=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 2 一 +2=0，特征值为 1，2 = 则原方程的通解为 y= )解析：22.设二阶常系数齐次线性微分方程以 y 1 =e 2x ，y 2 一
22、 2e 一 x 一 3e 2x 为特解，求该微分方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 y 1 =e 2x ，y 2 =2e 2x 一 3e 2x 为特解，所以 e 2x ，e 一 x 也是该微分方程的特解，故其特征方程的特征值为 1 =一 1， 2 =2，特征方程为(+1)( 一 2)=0 即 2 一 一 2=0，所求的微分方程为 y“一 y“一 2y=0)解析：23.求微分方程 y“+2y“一 3y=(2x+1)e x 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 2 +2 一 3=0，特征值为 1 =1， 2 =一 3，则 y“+2y“一 3y=0的通解为 y=
23、c 1 e x +C 2 e 一 3x 令原方程的特解为 y 0 =x(ax+b)e x ，代入原方程得 ，所以原方程的通解为 y=C 1 e x +C 2 e 一 3x + )解析：24.求 y“一 2y“一 e 2x =0 满足初始条件 y(0)=1，y“(0)=1 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原方程可化为 y“一 2y“=e 2x ，特征方程为 2 一 2=0，特征值为 1 =0， 2 =2，y“一 2y“=0 的通解为 y=C 1 +C 2 e 2x 设 y“一 2y“=e 2x 的特解为 y * =Axe 2x ，代入原方程得 A= 从而原方程的通解为 y=C 1
24、 +(C 2 + )e 2x 由 y(0)=1，y“(0)=1 得 解得 C 1 = C 2 = 故所求的特解为 y= )解析：25.求微分方程 y“+4y“+4y=e ax 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 2 +4+4=0，特征值为 1 = 2 =一 2，原方程对应的齐次线性微分方程的通解为 y=(C 1 +C 2 x)e 一 2x (1)当 a一 2 时，因为 a 不是特征值，所以设原方程的特解为 y 0 (x)=Ae ax ，代入原方程 得 A= ，则原方程的通解为 y=(C 1 +C 2 x)e 一 2x + (2)当 a=一 2 时，因为 a=一 2 为二
25、重特征值，所以设原方程的特解为 y 0 (x)=Ax 2 e 一 2x ，代入原方程得 A= ，则原方程的通解为 y=(C 1 +C 2 x)e 一 2x + )解析：26.求微分方程 y“+y=x 2 +3+cosx 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 2 +1=0，特征值为 1 =一 i， 2 =i， 方程 y“+y=0 的通解为y=C 1 cosx+C 2 sinx 对方程 y“+y=x 2 +3，特解为 y 1 =x 2 +1； 对方程 y“+y=cosx，特解为 xsinx，原方程的特解为 x 2 +1+ xsinx， 则原方程的通解为 y=C 1 cosx+
26、C 2 sinx+x 2 +1+ )解析：27.求微分方程 x 2 y“一 2xy“+2y=2x 一 1 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x=e e ，则 x 2 y“= ，原方程化为 +2y=2e t 一 1， +2y=0的通解为 y=C 1 e t +C 2 e 2t ，令 +2y=2e t 的特解为 y 0 (t)=ate t ，代入 +2y=2e t ，得 a=一 2，显然 +2y=一 1 的特解为 y= ，所以方程 +2y=2e t 一 1 的通解为 y=C 1 e t +C 2 e 2t 一 2te t 一 原方程的通解为 y=C 1 x+C 1 x 2 一 2
27、xlnx 一 )解析：28.设单位质点在水平面内作直线运动，初速度 | t=0 = 0 ，已知阻力与速度成正比(比例系数为 1)，问:为多少时此质点的速度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 t 时刻质点运动的速度为 (t)，阻力 F=ma= 解此微分方程得 (t)= 0 e 一 t ，由 0 e 一 t = 得 t=1n3，从开始到 t=1n3 的时间内质点所经过的路程为 S= 0 ln3 0 e 一 t dt= )解析：29.设 f(x)在0，+)上连续，且 f(0)0，设 f(x)在0，x上的平均值等于 f(0)与 f(x)的几何平均数，求 f(x)（分数：2.00）_正确答
28、案：(正确答案：根据题意得 则有 0 x f(t)dt= 两边求导得 f(x)= 即 解得 )解析：30.设曲线 L 位于 xOy 平面的第一象限内，L 上任意一点 M 处的切线与 y 轴总相交，交点为 A，已知|MA|=|OA|，且 L 经过点 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设点 M 的坐标为(x，y)，则切线 MA：Y 一 y=y“(X 一 x) 令 X=0，则 Y=y 一xy“，故 A 点的坐标为(0，y 一 xy“) 由|MA|=|OA|，得|y 一 xy“|= 即 2yy“一 =x 则 y 2 = =x(一 x+C)， 因为曲线经过点 ，所以 C=3，再由曲线经过第一象限
29、得曲线方程为 )解析：31.在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点 P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ 的长度的倒数(Q 为法线与 z 轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与 x 轴平行（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设所求曲线为 y=y(x)，该曲线在点 P(x，y)的法线方程为 Y 一 y= (Xx)(y“0) 令 Y=0，得 X=x+yy“，该点到 x 轴法线段 PQ 的长度为 由题意得 即 yy“=1+y “2 令 y“=p，则 y“= 两边积分得 y= +C 1 ，由 y(1)=1，y“(1)=0 得 C 1 =0，所以 y“= 变量分离得 =dx，两边
30、积分得 =x+C 2 ，由 y(1)=1 得 C 2 = 1， 两式相加得 )解析：32.一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比，比例系数为 k0，设融化过程中形状不变，设半径为r 0 的雪堆融化 3 小时后体积为原来的 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f 时刻雪堆的半径为 r，则有 于是有 =一 kt+C 0 ，由 r(0)=r 0 ，r(3)= 得 C 0 =r 0 ，k= 于是 )解析：33.设 f(x)在0，1上连续且满足 f(0)=1，f“(x)一 f(x)=a(x 一 1)y=f(x)，x=0，x=1，y=0 围成的平面区域绕 x 轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f“(x)一 f(x)=a(x 一 1)得 f(x)=a(x 一 1)e 一 1dx dx+Ce 一一 dx =Ce x 一ax， 由 f(0)=1 得 C=1，故 f(x)=e x 一 ax V(a)= 0 1 f 2 (x)dx= 由 V“(a)= =0 得a=3，因为 V“(a)= )解析：
