1、考研数学三（微积分）-试卷 31 及答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)二阶连续可导， （分数：2.00）A.f(2)是 f(x)的极小值B.f(2)是 f(x)的极大值C.(2，f(2)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(2)不是函数 f(x)的极值，(2，f(2)也不是曲线 y=f(x)的拐点3.设 f(x)在 x=0 的邻域内连续可导，g(x)在 x=0 的邻域内连续，且 （分数：2.00）A.x=0 是 f(x)的极大值点B.x=0
2、是 f(x)的极小值点、C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点4.设 f(x)二阶连续可导，且 （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.x=0 是 f(x)的驻点但不是极值点5.设函数 f(x)满足关系 f“(x)+f“ 2 (x)=x，且 f“(0)=0，则( )（分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.(0，f(0)是 y=f(x)的拐点D.(0，f(0)不是 y=f(x)
3、的拐点6.下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.设 f(x)在 x 0 二阶可导，则 f“(x)在 x=x 0 处连续B.f(x)在a，b上的最大值一定是其极大值C.f(x)在(a，b)内的极大值一定是其最大值D.若 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(x)在(a，b)内有唯一的极值点，则该极值点一定为最值点7.设 f(x)在a，+)上二阶可导，f(a)0，f“(a)=0，且 f“(x)k(k0)，则 f(x)在(a，+)内的零点个数为( )（分数：2.00）A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个8.设 k0，则函数 f(c)=lnx 一 （分数：2.00）A.0 个B
4、.1 个C.2 个D.3 个9.曲线 y= （分数：2.00）A.0 条B.1 条C.2 条D.3 条10.设函数 f(x)在(一，+)内连续，其导数的图形如右图，则 f(x)有( ) （分数：2.00）A.两个极大点，两个极小点，一个拐点B.两个极大点，两个极小点，两个拐点C.三个极大点，两个极小点，两个拐点D.两个极大点，三个极小点，两个拐点二、填空题(总题数：6，分数：12.00)11.设函数 y=y(x)由 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_13.设 F(x)= 0 x (x 2 一 t 2 )f“(x)出，其中 f“(x)在 x=
5、0 处连续，且当 x0 时，F“(x)x 2 ，则f“(0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设 f(x)在(一，+)上可导， （分数：2.00）填空项 1:_15.设 f(x，y)可微，f(1，2)=2，f“(12)=3，f“ y (1，2)=4，(x)=fx，f(x，2x)，则 “(1)= 1（分数：2.00）填空项 1:_16.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：19，分数：38.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_18.就 k 的不同取值情况，确定方程 x 2 一 3x+k=0 根的个数（分数：2.00）_19.
6、设 k 为常数，方程 kx 一 （分数：2.00）_20.设 f(x)在一 1，1上可导，f(x)在 x=0 处二阶可导，且 f“(0)=0，f“(0)=4求 （分数：2.00）_21.设 f(x)二阶连续可导且 f(0)=f“(0)=0，f“(x)0曲线 y=f(x)上任一点(x，f(x)(x0)处作切线，此切线在 x 轴上的截距为 u，求 （分数：2.00）_22.设函数 （分数：2.00）_23.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f“ + (a)f“ - 一(b)0证明：存在 (a，b)，使得 f“()=0（分数：2.00）_24.设 f(x)在0，2上三阶连续可导，且
7、 f(0)=1，f“(1)=0，f(2)= （分数：2.00）_25.设 f(x)是在a，b上连续且严格单调的函数，在(a，b)内可导，且 f(a)=ab=f(b)证明：存在 i (a，b)(i=1，2，n)，使得 （分数：2.00）_26.设函数 y=f(x)二阶可导，f“(x)0，且与 x=(y)互为反函数，求 “(y)（分数：2.00）_27.设 f(x)在 x=x 0 的邻域内连续，在 x=x 0 的去心邻域内可导，且 （分数：2.00）_28.设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)=f(1)=0证明：存在 (0，1)，使得 f“()= （分数：2.00）_29.设 f(x)在0
8、，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1，证明：对任意的 a0，b0，存在，(0，1)，使得 （分数：2.00）_30.设 f(z)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0， a b f(x)dx=0证明： (1)存在c(a，b)，使得 f(c)=0； (2)存在 i (a，b)(i=1，2)，且 1 2 ，使得 f“( i )+f( i )=0(i=1，2)； (3)存在 (a，b)，使得 f“()=f()； (4)存在 (a，b)，使得 f“()一 3f“()+2f()=0（分数：2.00）_31.设 a 1 a 2 a n ，且函数 f(x)在
9、a 1 ，a n 上 n 阶可导，ca 1 ，a n 且 f(a 1 )=f(a 2 )=f(a n )=0证明：存在 (a 1 ，a n )，使得 （分数：2.00）_32.设 f(x)二阶连续可导，且 f“(x)0，又 f(x+h)=f(x)+f“(x+h)h(01)证明： （分数：2.00）_33.设 f(x)在0，1连续可导，且 f(0)=0证明：存在 0，1，使得 f“()=2 0 1 f(x)dx（分数：2.00）_34.求 （分数：2.00）_35.设 x 3 一 3xy+y 3 =3 确定隐函数 y=y(x)，求 y=y(x)的极值（分数：2.00）_考研数学三（微积分）-试卷
10、 31 答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)二阶连续可导， （分数：2.00）A.f(2)是 f(x)的极小值 B.f(2)是 f(x)的极大值C.(2，f(2)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(2)不是函数 f(x)的极值，(2，f(2)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析：解析：由 ，则存在 0，当 0x 一 2 时，有3.设 f(x)在 x=0 的邻域内连续可导，g(x)在 x=0 的邻域内连续，且 （分数：2.00）A.x=0
11、是 f(x)的极大值点B.x=0 是 f(x)的极小值点、C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点 D.x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析：解析：4.设 f(x)二阶连续可导，且 （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点 D.x=0 是 f(x)的驻点但不是极值点解析：解析：5.设函数 f(x)满足关系 f“(x)+f“ 2 (x)=x，且 f“(0)=0，则( )（分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.(0，f(
12、0)是 y=f(x)的拐点 D.(0，f(0)不是 y=f(x)的拐点解析：解析：由 f“(0)=0 得 f“(0)=0，f“(x)=12f“(x)f“(x)，f“(0)=10，由极限保号性，存在0，当 0x 时，f“(x)0，再由 f“(0)=0，得6.下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.设 f(x)在 x 0 二阶可导，则 f“(x)在 x=x 0 处连续B.f(x)在a，b上的最大值一定是其极大值C.f(x)在(a，b)内的极大值一定是其最大值D.若 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(x)在(a，b)内有唯一的极值点，则该极值点一定为最值点 解析：解析：令7.设
13、 f(x)在a，+)上二阶可导，f(a)0，f“(a)=0，且 f“(x)k(k0)，则 f(x)在(a，+)内的零点个数为( )（分数：2.00）A.0 个B.1 个 C.2 个D.3 个解析：解析：因为 f“(a)=0，且 f“(x)k(x0)，所以 f(x)=f(a)+f“(a)(x 一 a)+8.设 k0，则函数 f(c)=lnx 一 （分数：2.00）A.0 个B.1 个C.2 个 D.3 个解析：解析：函数 f(x)的定义域为(0，+)，由 f“(x)= =0 得 x=e，当 0xe 时，f“(x)0；当xe 时，f“(x)0，由驻点的唯一性知 x=e 为函数 f(x)的最大值点，
14、最大值为 f(e)=k0，又9.曲线 y= （分数：2.00）A.0 条B.1 条C.2 条D.3 条 解析：解析：10.设函数 f(x)在(一，+)内连续，其导数的图形如右图，则 f(x)有( ) （分数：2.00）A.两个极大点，两个极小点，一个拐点B.两个极大点，两个极小点，两个拐点C.三个极大点，两个极小点，两个拐点 D.两个极大点，三个极小点，两个拐点解析：解析：设当 x0 时，f“(x)与 x 轴的两个交点为(x 1 ，0)，(x 2 ，0)，其中 x 1 x 2 ；当 x0时，f“(x)与 x 轴的两个交点为(x 3 ，0)，(x 4 ，0)，其中 x 3 x 4 当 xx 1
15、时，f“(x)0，当x(x 1 ，x 2 )时，f“(x)0，则 x=x 1 为 f(x)的极大点；当 x(x 2 ，0)时，f“(x)0，则 x=x 2 为f(x)的极小点；当 x(0，x 3 )时，f“(x)0，则 x=0 为 f(x)的极大点；当 x(x 3 ，x 4 )时，f“(x)0，则 x=x 3 为 f(x)的极小点；当 xx 4 时，f“(x)0，则 x=x 4 为 f(x)的极大点，即 f(x)有三个极大点，两个极小点，又 f“(x)有两个零点，根据一阶导数在两个零点两侧的增减性可得，y=f(x)有两个拐点，选 C二、填空题(总题数：6，分数：12.00)11.设函数 y=y
16、(x)由 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：当 x=ln2 时，t=1；当 t=i 时，y=012.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）填空项 1:_ （正确答案：-1）解析：解析：因为 f(x)在 x=1 处可微，所以 f(x)在 x=1 处连续，于是 f(1 一 0)=f(1)=1=f(1+0)=a+b，即a+b=113.设 F(x)= 0 x (x 2 一 t 2 )f“(x)出，其中 f“(x)在 x=0 处连续，且当 x0 时，F“(x)x 2 ，则f“(0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案
17、：*）解析：解析：F(x)=x 2 0 x f“(t)dt 0 x t 2 f(t)dt，F“(x)=2x 0 x f“(t)dt， 14.设 f(x)在(一，+)上可导， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：15.设 f(x，y)可微，f(1，2)=2，f“(12)=3，f“ y (1，2)=4，(x)=fx，f(x，2x)，则 “(1)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：47）解析：解析：因为 “(x)=f“ x x，f(x，2x)+f“ y x，f(x，2x)f“ x (x，2x)+2f“ y (x，2x)，所以 “(1)=f
18、“ x 1，f(1，2)+f“ y 1，f(1，2)f“ x (1，2)+2f“ y (1，2)=3+4(3+8)=4716.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=2x-4）解析：解析：三、解答题(总题数：19，分数：38.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.就 k 的不同取值情况，确定方程 x 2 一 3x+k=0 根的个数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=x 3 一 3x+k， )解析：19.设 k 为常数，方程 kx 一 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设 f
19、(x)在一 1，1上可导，f(x)在 x=0 处二阶可导，且 f“(0)=0，f“(0)=4求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设 f(x)二阶连续可导且 f(0)=f“(0)=0，f“(x)0曲线 y=f(x)上任一点(x，f(x)(x0)处作切线，此切线在 x 轴上的截距为 u，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 y=f(x)在点(x，f(x)处的切线方程为 Y 一 f(x)=f“(x)(Xx)， )解析：22.设函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f“ + (a)f“
20、 - 一(b)0证明：存在 (a，b)，使得 f“()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：不妨设 f“ + (a)0，f“ - (b)0，根据极限的保号性，f“ + (a)= 0，则存在 0(b 一 a)，当 0x 一 a 时， )解析：24.设 f(x)在0，2上三阶连续可导，且 f(0)=1，f“(1)=0，f(2)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先作一个函数 P(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d，使得 令 g(x)=f(x)一 P(x)，则 g(x)在0，2上三阶可导，且 g(0)=g(1)=g(2)=0，所以存在 c 1 (0，1)，c 2 (1，2)，使
21、得 g“(c 1 )=g“(1)=g(c 2 )=0，又存在 d 1 (c 1 ，1)，d 2 (1，c 2 )使得 g“(d 1 )=g“(d 2 )=0，再由罗尔定理，存在 (d 1 ，d 2 ) )解析：25.设 f(x)是在a，b上连续且严格单调的函数，在(a，b)内可导，且 f(a)=ab=f(b)证明：存在 i (a，b)(i=1，2，n)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 h= 因为 f(x)在a，b上连续且单调增加，且 f(a)=ab=f(b)， 所以f(a)=aa+ha+(n 一 1)hb=f(b)，由端点介值定理和函数单调性， 存在 ac 1 c 2 c
22、n-1 b，使得 f(c 1 )=a+h，f(c 2 )=a+2h，f(c n-1 )=a+(n 一 1)h，再由微分中值定理，得 f(c 1 )一 f(a)=f“()(c 1 一 a)，(a，c 1 )， f(c 2 )一 f(c 1 )=f“( 2 )(c 2 一 c 1 )， 2 (c 1 ，c 2 )， f(b)一 f(c n-1 )=f“( n )(b 一 c n-1 )，(c n-1 ，b)， 从而有 )解析：26.设函数 y=f(x)二阶可导，f“(x)0，且与 x=(y)互为反函数，求 “(y)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为函数的一阶导数与其反函数的一阶导数互为
23、倒数，所以 )解析：27.设 f(x)在 x=x 0 的邻域内连续，在 x=x 0 的去心邻域内可导，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由微分中值定理得 f(x)一 f(x 0 )=f“()(x 一 x 0 )，其中 介于 x 0 与 x 之间 )解析：28.设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)=f(1)=0证明：存在 (0，1)，使得 f“()= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=(x 一 1) 2 f“(x)，显然 (x)在0，1上可导，由 f(0)=f(1)=0，根据罗尔定理，存在 c(0，1)，使得 f“(c)=0，再由 (c)=(1)=0，根据
24、罗尔定理，存在 (c，1) (0，1)，使得 “()=0，而 “(x)=2(x 一 1)f“(x)+(x 一 1) 2 f“(x)，所以 2( 一 1)f“()+( 一 1) 2 f“()=0，整理得 f“()= )解析：29.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1，证明：对任意的 a0，b0，存在，(0，1)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在0，1上连续，f(0)=0，f(1)=1，且 f(0) f(1)，所以由端点介值定理，存在 c(0，1)，使得 f(c)= 由微分中值定理，存在 (0，c)，(c，1)，使得 )解析
25、：30.设 f(z)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0， a b f(x)dx=0证明： (1)存在c(a，b)，使得 f(c)=0； (2)存在 i (a，b)(i=1，2)，且 1 2 ，使得 f“( i )+f( i )=0(i=1，2)； (3)存在 (a，b)，使得 f“()=f()； (4)存在 (a，b)，使得 f“()一 3f“()+2f()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 F(x)= a x f(x)dt，则 F(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 F“(x)=f(x)故存在 c(a，6)，使得 a b f(x)dx=
26、F(b)一 F(a)=F“(c)(b 一 a)=f(c)(b 一 a)=0，即 f(c)=0 (2)令 h(x)=e x f(x)，因为 h(a)=h(c)=h(b)=0，所以由罗尔定理，存在 1 (a，c)， 2 (c，b)，使得 h“( 1 )=h“( 2 )=0， 而 h“(x)=e x f“(x)+f(x)且 e x 0，所以 f“( i )+f( i )=0(i=1，2) (3)令 (x)=e -x f“(x)+f(x)，( 1 )=( 2 )=0，由罗尔定理，存在 ( 1 ， 2 ) (a，b)，使得 “()=0， 而 “(x)=e -x f“(x)一 f(x)且 e -x 0，所
27、以 f“()=f() (4)令 g(x)=e -x f(x)，g(a)=g(c)=g(b)=0， 由罗尔定理，存在 1 (a，c)， 2 (c，b)，使得 g“( 1 )=g“( 2 )=0， 而 g“(x)=e -x f“(x)一 f(x)且 e0，所以 f“( 1 )一 f( 1 )=0，f“( 2 )一 f( 2 )=0 令 (x)=e -2x f“(x)一 f(x)，( 1 )=( 2 )=0， 由罗尔定理，存在 ( 1 ， 2 ) )解析：31.设 a 1 a 2 a n ，且函数 f(x)在a 1 ，a n 上 n 阶可导，ca 1 ，a n 且 f(a 1 )=f(a 2 )=f
28、(a n )=0证明：存在 (a 1 ，a n )，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 c=a i (i=1，2，n)时，对任意的 (a 1 ，a n )，结论成立；设 c 为异于 a 1 ，a 2 ，a n 的数，不妨设 a 1 ca 2 a n 令 ， 构造辅助函数 (x)=f(x)一k(x 一 a 1 )(x 一 a 2 )(x 一 a n )，显然 (x)在a 1 ，a n 上 n 阶可导，且 (a 1 )=(c)=(a 2 )=(a n )=0， 由罗尔定理，存在 1 (1) (a 1 ，c)， 2 (1) (c，a 2 )， n (1) (a n-1 ，a n )，
29、使得 “( 1 (1) )=“( 2 (1) )=( n (1) )=0，“(x)在(a 1 ，a n )内至少有 n 个不同零点，重复使用罗尔定理，则 (n-1) (x)在(a 1 ，a n )内至少有两个不同零点，设为 c 1 ，c 2 (a 1 ，a n )，使得 (n-1) (c 1 )= (n-1) (c 2 )=0， 再由罗尔定理，存在 (c 1 ，c 2 ) (a 1 ，a 2 )，使得 (n) ()=0 而 (n) (x)=f (n) (x)一 n!k，所以 f (n) ()=n!k，从而有 )解析：32.设 f(x)二阶连续可导，且 f“(x)0，又 f(x+h)=f(x)+
30、f“(x+h)h(01)证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式得 )解析：33.设 f(x)在0，1连续可导，且 f(0)=0证明：存在 0，1，使得 f“()=2 0 1 f(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f“(x)在区间0，1上连续，所以 f“(x)在区间0，1上取到最大值 M 和最小值 m，对 f(x)一 f(0)=f“(f)x(其中 c 介于 0 与 x 之间)两边积分得 0 1 f(x)dx= 0 1 f“(c)xdx， 由mf“(c)M 得 m 0 1 xdx 0 1 f“(c)xdxM 0 1 xdx， 即 m2 0 1 f“(c)xdxM 或 m2 0 1 f(x)dxM， 由介值定理，存在 0，1，使得 f“()=2 0 1 f(x)dx)解析：34.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 当 x(0，e)时，f“(x)0；当 x(e，+)时，f“(x)0，则 x=e 为 f(x)的最大点， )解析：35.设 x 3 一 3xy+y 3 =3 确定隐函数 y=y(x)，求 y=y(x)的极值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：k 3 一 3xy+y 3 =3 两边对 x 求导得 3x 2 一 3y 一 3xy“+3y 2 y“=0， )解析：
