1、考研数学三（概率统计）-试卷 10 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设随机变量 X i （分数：2.00）A.0B.C.D.13.设随机变量 X，Y 相互独立，XU(0，2)，YE(1)，则 P(X+Y1)等于( )（分数：2.00）A.B.1 一 eC.eD.2e4.设随机变量(X，Y)的分布函数为 F(x，y)，用它表示概率 P(一 Xa，Yy)，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.1 一 F(一 a，y)B.1 一 F(一 a，y
2、一 0)C.F(+，y 一 0)一 F(一 a，y 一 0)D.F(+，y)一 F(一 a，y)5.设随机变量 X，Y 相互独立，且 XN(0，1)，yN(1，1)，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.设 X，Y 相互独立且都服从 N(0，4)分布，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.设 X，Y 为两个随机变量，P(X1，Y1)= ，P(X1)=P(y1)= ，则 Pmin(X，Y)1)=( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.设二维随机变量(X，Y)在区域 D:x 2 +y 2 9a 2 (a0)上服从均匀分布，p=P(X 2 +9Y 2 9a 2 )，则( )
3、（分数：2.00）A.p 的值与 a 无关，且 p=B.p 的值与 a 无关，且 p=C.p 的值随 a 值的增大而增大D.p 的值随 a 值的增大而减少9.设(X，Y)服从二维正态分布，则下列说法不正确的是( )（分数：2.00）A.X，Y 一定相互独立B.X，Y 的任意线性组合 l 1 X+l 2 Y 服从正态分布C.X，Y 都服从正态分布D.=0 时 X，Y 相互独立二、填空题(总题数：4，分数：8.00)10.设 XP(1)，YP(2)，且 X，Y 相互独立，则 P(X+Y=2)= 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设随机变量 X，Y 相互独立且都服从二项分布 B(n，p)，则
4、Pmin(X，Y)=0= 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设二维随机变量(x，y)的联合密度函数为 f(x，y)= （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_13.设随机变量 XN(0， 2 )，YN(0，4 2 )，且 P(X1，Y一 2)= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：32.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设 Xf(x)= （分数：4.00）(1).求 F(x)；（分数：2.00）_(2).求 （分数：2.00）_15.设 X 的密度函数为 f(x)= 若 P(Xk)= （分数：2.00）_有三个盒子，第一个盒子有
5、 4 个红球 1 个黑球，第二个盒子有 3 个红球 2 个黑球，第三个盒子有 2 个红球3 个黑球，如果任取一个盒子，从中任取 3 个球，以 X 表示红球个数（分数：4.00）(1).写出 X 的分布律；（分数：2.00）_(2).求所取到的红球数不少于 2 个的概率（分数：2.00）_设连续型随机变量 X 的分布函数为 F(x)= （分数：6.00）(1).求常数 A，B；（分数：2.00）_(2).求 X 的密度函数 f(x)；（分数：2.00）_(3).求 （分数：2.00）_16.设某个系统由六个相同的元件先经过两两并联再串联而成，且各元件工作状态相互独立每个元件正常工作时间服从 E(
6、)(0)分布，求系统正常工作时间 T 的概率分布（分数：2.00）_设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= （分数：6.00）(1).求常数 A；（分数：2.00）_(2).求 X 在 （分数：2.00）_(3).求 X 的分布函数 F(x)（分数：2.00）_17.设 XN(， 2 )，其分布函数为 F(x)，对任意实数 a，讨论 F(一 a)+F(a)与 1 的大小关系（分数：2.00）_18.设 XN(0，1)，Y=X 2 ，求 Y 的概率密度函数（分数：2.00）_19.设 XU(0，2)，Y=X 2 ，求 Y 的概率密度函数（分数：2.00）_20.设总体 XU( 1 ， 2 )，
7、X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的样本，求 1 ， 2 的矩估计和最大似然估计（分数：2.00）_考研数学三（概率统计）-试卷 10 答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设随机变量 X i （分数：2.00）A.0 B.C.D.1解析：解析：由题意得 P(X 1 =一 1，X 2 =一 1)=P(X 1 =一 1，X 2 =1) =P(X 1 =1，X 2 =一 1)=P(X 1 =1，X 2 =1)=0 P(X 1 =一 1，X 2
8、=0)=P(X 1 =一 1)= ，P(X 1 =1，X 2 =0)=P(X 1 =1)= ， P(X 1 =0，X 2 =一 1)=P(X 2 =一 1)= ，P(X 1 =0，X 2 =1)=P(X 2 =1)= 3.设随机变量 X，Y 相互独立，XU(0，2)，YE(1)，则 P(X+Y1)等于( )（分数：2.00）A. B.1 一 eC.eD.2e解析：解析：由 XU(0，2)，YE(1)得 再由 X，y 相互独立得(X，Y)的联合密度函数为4.设随机变量(X，Y)的分布函数为 F(x，y)，用它表示概率 P(一 Xa，Yy)，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.1 一 F
9、(一 a，y)B.1 一 F(一 a，y 一 0)C.F(+，y 一 0)一 F(一 a，y 一 0) D.F(+，y)一 F(一 a，y)解析：解析：P(一 Xa，Yy)=P(X一 a，Yy)因为 P(Yy)=P(X一 a，Yy)+P(X一 a，Yy)，所以 P(X一 a，Yy)=P(Yy)一 P(X一 a，Yy)=F(+，y 一 0)一 F(一 a 一 0，y 一 0)，选(C)5.设随机变量 X，Y 相互独立，且 XN(0，1)，yN(1，1)，则( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：X，Y 独立，xN(0，1)9YN(1，1)，X+YN(1，2) P(X+Y1)=6.
10、设 X，Y 相互独立且都服从 N(0，4)分布，则( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因为 X，Y 相互独立且都服从 N(0，4)分布， 所以 xyN(0，8)，从而 P(X+Y0)= ，P(X 一 Y0)= ，故(C)、(D)都不对； Pmax(X，Y)0)=1 一 Pmax(X，Y)0)=1 一P(X0，Y0) =1 一 P(X0)P(Y0) 因为 XN(0，4)，YN(0，4)，所以 P(X0)=P(Y0)= ，从而有 Pmax(X，Y)0)= ，(A)不对； Pmin(X，Y)0=P(X0，Y0)=P(X0)P(Y0)=7.设 X，Y 为两个随机变量，P(X1，Y1
11、)= ，P(X1)=P(y1)= ，则 Pmin(X，Y)1)=( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：8.设二维随机变量(X，Y)在区域 D:x 2 +y 2 9a 2 (a0)上服从均匀分布，p=P(X 2 +9Y 2 9a 2 )，则( )（分数：2.00）A.p 的值与 a 无关，且 p=B.p 的值与 a 无关，且 p= C.p 的值随 a 值的增大而增大D.p 的值随 a 值的增大而减少解析：解析：因为(X，Y)在区域 D:x 2 +y 2 9a 2 上服从均匀分布，所以(X，Y)的联合密度函数为f(x，y)= p=PX 2 +9Y 2 9a 2 = 9.设(X，Y)服从
12、二维正态分布，则下列说法不正确的是( )（分数：2.00）A.X，Y 一定相互独立 B.X，Y 的任意线性组合 l 1 X+l 2 Y 服从正态分布C.X，Y 都服从正态分布D.=0 时 X，Y 相互独立解析：解析：因为(X，Y)服从二维正态分布，所以(B)，(C)，(D)都是正确的，只有当 =0 时，X，Y 才相互独立，选(A)二、填空题(总题数：4，分数：8.00)10.设 XP(1)，YP(2)，且 X，Y 相互独立，则 P(X+Y=2)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：P(X+Y=2)=P(X=0，Y=2)+P(X=1，Y=1)+P(X=2，
13、Y=0)，由 X，Y 相互独立得 P(X+Y=2)=P(X=0)P(Y=2)+P(X=1)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)11.设随机变量 X，Y 相互独立且都服从二项分布 B(n，p)，则 Pmin(X，Y)=0= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2(1 一 p) n 一(1 一 p) 2n ）解析：解析：令 A=(X=0)，B=(Y=0)，则 Pmin(X，Y)=0=P(A+B)=P(A)+P(B)一 P(AB) =P(X=0)+P(Y=0)一P(X=0，Y=0)=2(1 一 p) n 一(1 一 p) 2n 12.设二维随机变量(x，y)的联合密度函数为
14、f(x，y)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：6）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析：由 1=a 0 + e 一 2x dx 0 + e 一 3y dy，得 a=6，于是 f(x，y)= PXY= 0 + dx 0 x 6e 2x 一 3y dy=2 0 + e 一 2x (1 一 e 一 3x )dx= 13.设随机变量 XN(0， 2 )，YN(0，4 2 )，且 P(X1，Y一 2)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 三、解答题(总题数：11，分数：32.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15、_解析：设 Xf(x)= （分数：4.00）(1).求 F(x)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：F(x)=PXx= 一 x f(t)dt 当 x一 1 时，F(x)=0； 当一 1x0 时，F(x)= 一 x (1+t)dt= 当 0x1 时，F(x)= 一 1 0 (1+t)dt+ 0 x (1 一 t)dt= 当 x1 时，F(x)=1 )解析：(2).求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.设 X 的密度函数为 f(x)= 若 P(Xk)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然 k6，当 3k6 时，P(Xk)= 当 1k3 时，P(Xk)=
16、当0k1 时，P(Xk)= )解析：有三个盒子，第一个盒子有 4 个红球 1 个黑球，第二个盒子有 3 个红球 2 个黑球，第三个盒子有 2 个红球3 个黑球，如果任取一个盒子，从中任取 3 个球，以 X 表示红球个数（分数：4.00）(1).写出 X 的分布律；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 Ak=所取的为第 k 个盒子(k=1，2，3)，P(A i )= (i=1，2，3)， X 的可能取值为 0，1，2，3，P(X=0)=P(X=0|A3)P(A 3 )= P(X=1)=P(X 一 1|A 2 )P(A 2 )+P(X=1|A 3 )P(A 3 ) P(X=2)=P(X=2
17、|A 1 )P(A 1 )+P(X=2|A 2 )P(A 2 )+P(X=2|A 3 )P(A 3 ) P(X=3)=P(X=3|A 1 )P(A 1 )+P(X=3|A 2 )P(A 2 )= 所以 X 的分布律为 X )解析：(2).求所取到的红球数不少于 2 个的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：PX2= )解析：设连续型随机变量 X 的分布函数为 F(x)= （分数：6.00）(1).求常数 A，B；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为连续型随机变量的分布函数是连续的， 所以有 ，解得 A=B= )解析：(2).求 X 的密度函数 f(x)；（分数：2.00）_正
18、确答案：(正确答案： )解析：(3).求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.设某个系统由六个相同的元件先经过两两并联再串联而成，且各元件工作状态相互独立每个元件正常工作时间服从 E()(0)分布，求系统正常工作时间 T 的概率分布（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 T i =第 i 个元件的正常工作时间，T i E()，i=1，2，6 F(t)=PTt)，注意Tt)表示系统在0，t内一定正常工作 则Tt=(T 1 t)+T 2 t)(T 3 t)+T 4 t)(T 5 t)+T 6 t)， 又 T 1 ，T 2 ，T 6 相互独立同分布，所以有 F(t)=PT
19、t)=P(T 1 t)+T 2 t) 3 而 P(T 1 t)+T 2 t)=1 一 PT 1 t，T 2 t) =1 一 PT 1 tPT 2 t=1 一1 一 F T1 (t) 2 所以 T 的分布函数为 F(t)= )解析：设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= （分数：6.00）(1).求常数 A；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 一 + f(x)dx=1，所以 1= cosxdx=2A，解得 A= )解析：(2).求 X 在 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(3).求 X 的分布函数 F(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：F(x)=PX
20、x)= 一 x f(t)dt， 当 x 时，F(x)=0； 当 当 x 时，F(x)=1，于是 X 的分布函数为 )解析：17.设 XN(， 2 )，其分布函数为 F(x)，对任意实数 a，讨论 F(一 a)+F(a)与 1 的大小关系（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：F(a)+F(一 a)= )解析：18.设 XN(0，1)，Y=X 2 ，求 Y 的概率密度函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f X (x)= ，一x+ 当 y0 时，F Y (y)=0； 当 y0 时，F Y (y)=因此 f Y y)= )解析：19.设 XU(0，2)，Y=X 2 ，求 Y 的概率密度函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f X (x)= 当 y0 时，F Y (y)=0； 当 y0 时，F Y (y)= 所以 )解析：20.设总体 XU( 1 ， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的样本，求 1 ， 2 的矩估计和最大似然估计（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (2)f(x； 1 ， 2 )= L(x 1 ，x 2 ，x n ； 1 ， 2 )= LnL( 1 ， 2 )=一 nln( 2 一 1 )， 而 1 因为 lnL( 1 ， 2 )是 1 的单调增函数，是 2 的单调减函数，所以 )解析：
