1、考研数学三（概率统计）-试卷 13 及答案解析(总分：46.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：14，分数：46.00)1.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设 X，Y 的概率分布为 （分数：4.00）(1).求(X，Y)的联合分布；（分数：2.00）_(2).X，Y 是否独立？（分数：2.00）_设起点站上车人数 X 服从参数为 (0)的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为 p(0p1)，且中途下车与否相互独立，以 Y 表示中途下车人数（分数：4.00）(1).求在发车时有 n 个乘客的情况下，中途有 m 个乘客下车的概率；（分数：2.00）_(2).求(X，Y)的概
2、率分布（分数：2.00）_袋中有 10 个大小相等的球，其中 6 个红球 4 个白球，随机抽取 2 个，每次取 1 个，定义两个随机变量如下： （分数：4.00）(1).第一次抽取后放回；（分数：2.00）_(2).第一次抽取后不放回（分数：2.00）_设(X，Y)在区域 D:0x1，|y|x 内服从均匀分布（分数：4.00）(1).求随机变量 X 的边缘密度函数；（分数：2.00）_(2).设 Z=2X+1，求 D(Z)（分数：2.00）_设(X，Y)的联合概率密度为f(x，y)= （分数：4.00）(1).(X，Y)的边缘密度函数；（分数：2.00）_(2).Z=2X 一 Y 的密度函数（
3、分数：2.00）_随机变量(X，Y)的联合密度函数为 f(x，y)= （分数：4.00）(1).求常数 A；（分数：2.00）_(2).求(x，y)落在区域 x 2 +y 2 （分数：2.00）_2.设两台同样的记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为 5 的指数分布，首先开动其中一台，当发生故障时停用而另一台自动开动，求两台记录仪无故障工作的总时间 T 的概率密度（分数：2.00）_3.设 X，Y 相互独立，且 XN(1，2)，YN(0，1)，求 Z=2X 一 Y+3 的密度（分数：2.00）_设 X 在区间一 2，2上服从均匀分布，令 Y= （分数：4.00）(1).Y，Z 的联合分布律；（
4、分数：2.00）_(2).D(Y+Z)（分数：2.00）_4.设二维随机变量(X，Y)的联合分布律为 （分数：2.00）_设二维随机变量(X，Y)的联合密度为 f(x，y)= （分数：6.00）(1).求 c；（分数：2.00）_(2).求 X，Y 的边缘密度，问 X，Y 是否独立？（分数：2.00）_(3).求 Z=max(X，Y)的密度（分数：2.00）_设随机变量(X，Y)的联合密度为 f(x，y)= （分数：4.00）(1).X，Y 的边缘密度；（分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_5.设总体 X 在区间(0，)内服从均匀分布，X 1 ，X 2 ，X 3 是来自总体的简单随
5、机样本，证明： （分数：2.00）_考研数学三（概率统计）-试卷 13 答案解析(总分：46.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：14，分数：46.00)1.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：设 X，Y 的概率分布为 （分数：4.00）(1).求(X，Y)的联合分布；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 P(XY=0)=1，所以 P(X=一 1，Y=1)=P(X=1，Y=1)=0， P(X=一 1，Y=0)=P(X=一 1)= ，P(X=1，Y=0)=P(X=1)= ， P(X=0，Y=0)=0，P(X=0，Y=1)=P(Y=1)= (X，Y)的联合分
6、布律为： )解析：(2).X，Y 是否独立？（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 P(X=0，Y=0)=0P(X=0)P(Y=0)= )解析：设起点站上车人数 X 服从参数为 (0)的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为 p(0p1)，且中途下车与否相互独立，以 Y 表示中途下车人数（分数：4.00）(1).求在发车时有 n 个乘客的情况下，中途有 m 个乘客下车的概率；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A=(发车时有 n 个乘客)，B=(中途有 m 个人下车)，则 P(B(A)=P(Y=m|X=n)=C n m p m (1 一 p) n 一 m (0mn)解析：(2).
7、求(X，Y)的概率分布（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：P(X=n，Y=m)一 P(AB)=P(B|A)P(A)=C n m p m (1 一 p) n 一 m )解析：袋中有 10 个大小相等的球，其中 6 个红球 4 个白球，随机抽取 2 个，每次取 1 个，定义两个随机变量如下： （分数：4.00）(1).第一次抽取后放回；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(X，Y)的可能取值为(0，0)，(1，0)，(0，1)，(1，1) P(X=0，Y=0)= P(X=0，y=1)= P(X=1，Y=0)= P(X=1，y=1)= )解析：(2).第一次抽取后不放回（分数：2.00）
8、_正确答案：(正确答案：P(X=0，Y=0)= P(X=0，Y=1)= P(X=1，Y=0)= P(X=1，Y=)= )解析：设(X，Y)在区域 D:0x1，|y|x 内服从均匀分布（分数：4.00）(1).求随机变量 X 的边缘密度函数；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(X，Y)的联合密度函数为 f(x，y)= 则 fx(x)= 一 + f(x，y)dy= )解析：(2).设 Z=2X+1，求 D(Z)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 E(X)= 0 1 x2xdx= E(X 2 )= 0 1 x 2 x 2 xdx= ， 所以D(X)=E(X 2 )=E(X) 2
9、= D(Z)=D(2X+1)=4D(X)= )解析：设(X，Y)的联合概率密度为f(x，y)= （分数：4.00）(1).(X，Y)的边缘密度函数；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 0x1 时，f X (x)= 一 + f(x，y)dy= 0 2x dy=2x， 当 x0 或 x1时，f X (x)=0，所以 f X (x)= 同理 f Y (y)= )解析：(2).Z=2X 一 Y 的密度函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 z0 时，F(z)=0；当 z2 时，F(z)=1；当 0z2 时， P(Zz)= F(z)=1 一 P(Zz)=z 一 所以 f Z (z)=
10、 )解析：随机变量(X，Y)的联合密度函数为 f(x，y)= （分数：4.00）(1).求常数 A；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 1= 一 + dx 一 + f(x，y)dy= )解析：(2).求(x，y)落在区域 x 2 +y 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令区域 D:x 2 +y 2 (X，Y)落在区域 D 内的概率为 )解析：2.设两台同样的记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为 5 的指数分布，首先开动其中一台，当发生故障时停用而另一台自动开动，求两台记录仪无故障工作的总时间 T 的概率密度（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用 X，Y 分别表示两
11、台记录仪先后开动无故障工作的时间，则 T=X+Y， 由已知条件得 X，y 的密度为 f X (x)= 当 t0 时，F T (t)=0；当 t0 时， F T (t)=P(X+Yt)= f X (x)f Y (y)dxdy =25 0 t e 一 5x dx 0 t 一 x e_5ydy=5 0 t e 一 5x 1 一 e 一 5(t 一 x) dx =5 0 t (e 一 5x 一 e 一 5t )dx=(1 一 e 一 5t )一 5te 一 5t T 的密度函数为 f(t)= )解析：3.设 X，Y 相互独立，且 XN(1，2)，YN(0，1)，求 Z=2X 一 Y+3 的密度（分数：
12、2.00）_正确答案：(正确答案：因为 X，Y 相互独立且都服从正态分布，所以 X，Y 的线性组合仍服从正态分布，即 Z=2X 一 Y+3 服从正态分布，由 E(Z)=2E(X)一 E(Y)+3=5，D(Z)=4D(X)+D(Y)=9， 则 Z 的密度函数为 f Z (z)= )解析：设 X 在区间一 2，2上服从均匀分布，令 Y= （分数：4.00）(1).Y，Z 的联合分布律；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 X 在区间一 2，2上服从均匀分布，所以 f X (x)= (Y，Z)的可能取值为(一 1，一 1)，(一 1，1)，(1，一 1)，(1，1) P(Y=一 1，Z=一
13、 1)=P(X一 1，X1)=P(X一 1)= 一 2 一 1 P(Y=一 1，Z=1)=P(X一 1，X1)=0； P(Y=1，Z=一 1)=P(X一 1，X1)=P(一 1X1)= 一 1 1 P(Y=1，Z=1)=P(X一 1，X1)=P(X1)= 1 2 (Y,Z)的联合分布律为 )解析：(2).D(Y+Z)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 Y+Z ，得 E(Y+Z)=一 2 =0 E(Y+2) 2 =(一 2) 2 )解析：4.设二维随机变量(X，Y)的联合分布律为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 P(Y=1)=06， 所以 P(X=0|Y=1)= P(X
14、=1Y=1)= )解析：设二维随机变量(X，Y)的联合密度为 f(x，y)= （分数：6.00）(1).求 c；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1=c 0 + dx 0 + xe 一 x(y+1) dy=c )解析：(2).求 X，Y 的边缘密度，问 X，Y 是否独立？（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时，f X (x)=0；当 x0 时，f X (x)= 0 + xe 一 x(y+1) dy=e 一 x 当 y0 时，f Y (y)=0；当 y0 时，f Y (y)= 0 + xe 一 x(y+1) dy= )解析：(3).求 Z=max(X，Y)的密度（分数：2
15、.00）_正确答案：(正确答案：当 z0 时，F z (z)=0； 当 z0 时，F Z (z)=P(Zz)=Pmax(X，Y)z)=P(Xz，Yz) = 0 z dx 0 z xe 一 x(y+1) dy=1 一 e 一 z + 则 f Z (z)= )解析：设随机变量(X，Y)的联合密度为 f(x，y)= （分数：4.00）(1).X，Y 的边缘密度；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f X (x)= 一 + f(x，y)dy= )解析：(2). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：5.设总体 X 在区间(0，)内服从均匀分布，X 1 ，X 2 ，X 3 是来自总体
16、的简单随机样本，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为总体 X 在区间(0，)内服从均匀分布，所以分布函数为 F U (u)=P(Uu)一 Pmax(X 1 ，X 2 ，X 3 )u=P(X 1 u，X 2 u，X 3 ) =P(X 1 u)P(X 2 u)P(X 3 u)= F V ()=P(V)=Pmin(X 1 ，X 2 ，X 3 )=1 一 P(min(X 1 ，X 2 ，X 3 ) =1一 P(X 1 ，X 2 X 3 )=1 一 P(X 1 )P(X 2 )P(X 3 ) =1 一1 一 P(X 1 )1一 P(X 2 )1 一 P(X 3 ) 则 U，V 的密度函数分别为 f U (x)= 所以 都是参数 的无偏估计量， D(U)=E(U 2 )一E(U) 2 = 0 x 2 D(V)=E(V 2 )一E(V) 2 = 0 x 2 )解析：
