1、考研数学三（概率统计）-试卷 18 及答案解析(总分：80.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 X 为随机变量，E(X)=，D(X)= 2 ，则对任意常数 C 有( )（分数：2.00）A.EE(XC) 2 =E(X 一 ) 2B.E(XC) 2 E(X 一 ) 2C.EE(XC) 2 =E(X 2 )一 C 2D.EE(XC) 2 E(X) 2 3.设 X，Y 为两个随机变量，若 E(XY)=E(X)E(Y)，则( )（分数：2.00）A.D(XY)=D(X)D(Y)B
2、.D(X+Y)=D(X)+D(Y)C.X，Y 独立D.X，Y 不独立4.设 X，Y 为两个随机变量，若对任意非零常数 a，b 有 D(aX+6Y)=D(aXbY)，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.D(XY)=D(X)D(Y)B.X，Y 不相关C.X，Y 独立D.X，Y 不独立5.设 X，Y 为随机变量，若 E(XY)=E(X)E(Y)，则( )（分数：2.00）A.X，Y 独立B.X，Y 不独立C.X，Y 相关D.X，Y 不相关6.若 E(XY)=E(X)E(Y)，则( )（分数：2.00）A.X 和 Y 相互独立B.X 2 与 Y 2 相互独立C.D(XY)=D(X)D(Y) t
3、D.D(X+Y)=D(X)+D(Y)7.设随机变量 XU0，2，Y=X 2 ，则 X，Y( )（分数：2.00）A.相关且相互独立B.不相互独立但不相关C.不相关且相互独立D.相关但不相互独立二、填空题(总题数：18，分数：36.00)8.随机变量 X 的密度函数为 （分数：2.00）填空项 1:_9.从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且遇到红灯的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_10.设随机变量 XB(n，p)，且 E(X)=5，E(X 2 )= （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_11.随机变量 X 的密度函数为 f(x)=
4、ke x (一x+)，则 E(X 2 )= 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 X 表示 12 次独立重复射击击中目标的次数，每次击中目标的概率为 05，则 E(X 2 )= 1。（分数：2.00）填空项 1:_13.设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.设随机变量 X 在一 1，2上服从均匀分布，随机变量 （分数：2.00）填空项 1:_15.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，且 X 1 U0，6，X 2 N(0，2 2 )，X 3 P(3)，记 Y=X 1 2X 2 +3X 3 ，则 D(y)= 1（分数：2.00）填空项
5、 1:_16.设随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布，令 Y=4X 一 3，则 E(Y)= 1，D(Y)= 2。（分数：2.00）填空项 1:_17.若随机变量 XN(2， 2 )，且 P(2X4)=03，则 P(X1（分数：2.00）填空项 1:_18.设随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 XU一 1，3，YB(10， （分数：2.00）填空项 1:_19.设常数 a0，1，随机变量 XU0，1，Y=Xa，则 E(XY)= 1（分数：2.00）填空项 1:_20.设随机变量 X，Y 相互独立，D(X)=4D(Y)，令 U=3X+2Y，V=3X 一 2Y，则 UV = 1。（分数：2.00
6、）填空项 1:_21.设 X，Y 为两个随机变量，且 D(X)=9，Y=2X+3，则 X，Y 的相关系数为 1（分数：2.00）填空项 1:_22.设 x，y 为两个随机变量，D(X)=4，D(Y)=9，相关系数为 （分数：2.00）填空项 1:_23.设 x，y 为两个随机变量，E(x)=E(Y)=1，D(X)=9，D(Y)=1，且 XY =一 （分数：2.00）填空项 1:_24.设 X，Y 相互独立且都服从标准正态分布，则 EXy= 1，DXY= 2（分数：2.00）填空项 1:_25.设 D(X)=1，D(Y)=9， XY =一 03，则 Cov(X，Y)= 1（分数：2.00）填空项
7、 1:_三、解答题(总题数：15，分数：30.00)26.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_27.一台设备由三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率分别为 01，02，03，假设各部件的状态相互独立，以 X 表示同时需要调整的部件数，求 E(X)，D(X)（分数：2.00）_28.设随机变量 X 服从参数为 （分数：2.00）_29.设随机变量 X，Y 同分布，X 的密度为 （分数：2.00）_30.某流水线上产品不合格的概率为 p= （分数：2.00）_31.设试验成功的概率为 （分数：2.00）_32.游客乘电梯从底层到顶层观光，电梯于每个整点的
8、5 分、25 分、55 分从底层上行，设一游客早上 8点 X 分到达底层，且 X 在0，60上服从均匀分布，求游客等待时间的数学期望（分数：2.00）_33. （分数：2.00）_34.设某种零件的长度 LN(18，4)，从一大批这种零件中随机取出 10 件，求这 10 件中长度在 1622 之间的零件数 X 的概率分布、数学期望和方差（分数：2.00）_35.一民航班车上有 20 名旅客，自机场开出，旅客有 10 个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以 X 表示停车次数，求 E(X)(设每位旅客下车是等可能的)（分数：2.00）_36.设某箱装有 100 件产品，其中一、二、
9、三等品分别为 80 件、10 件和 10 件，现从中随机抽取一件，记X i = （分数：2.00）_37.在长为 L 的线段上任取两点，求两点之间距离的数学期望及方差（分数：2.00）_38.设 X 与 Y 相互独立，且 XN(0， 2 )，YN(0， 2 )，令 Z= （分数：2.00）_39.设随机变量 X，Y 独立同分布，且 XN(0， 2 )，再设 U=aX+bY，V=aX 一 by，其中 a，b 为不相等的常数求： (1)E(U)，E(V)，D(U)，D(V)， UV ； (2)设 U，V 不相关，求常数 a，b 之间的关系（分数：2.00）_40.设 XU(一 1，1)，Y=X 2
10、 ，判断 X，Y 的独立性与相关性（分数：2.00）_考研数学三（概率统计）-试卷 18 答案解析(总分：80.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 X 为随机变量，E(X)=，D(X)= 2 ，则对任意常数 C 有( )（分数：2.00）A.EE(XC) 2 =E(X 一 ) 2B.E(XC) 2 E(X 一 ) 2 C.EE(XC) 2 =E(X 2 )一 C 2D.EE(XC) 2 E(X) 2 解析：解析：E(XC) 2 一 E(X 一 ) 2 =E(X 2
11、)一 2CE(X)+C 2 一E(X 2 )一 2E(X)+ 2 =C 2 +2E(X)EE(X)一 X一E(X) 2 =CE(X) 2 0，选 B3.设 X，Y 为两个随机变量，若 E(XY)=E(X)E(Y)，则( )（分数：2.00）A.D(XY)=D(X)D(Y)B.D(X+Y)=D(X)+D(Y) C.X，Y 独立D.X，Y 不独立解析：解析：因为 E(XY)=E(X)E(Y)，所以 Cov(X，Y)=0， 又 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Coy(X，Y)，所以 D(X+Y)=D(X)+D(Y)，选 B4.设 X，Y 为两个随机变量，若对任意非零常数 a，b 有 D(aX+6
12、Y)=D(aXbY)，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.D(XY)=D(X)D(Y)B.X，Y 不相关 C.X，Y 独立D.X，Y 不独立解析：解析：D(aX+bY)=a 2 D(X)+b 2 D(y)+2abCov(X，Y)， D(aX 一 bY)=a 2 D(X)+b 2 D(Y)一2abCoy(X，Y)， 因为 D(aX+by)=D(aXbY)，所以 Cov(X，Y)=0，即 X，Y 不相关，选 B5.设 X，Y 为随机变量，若 E(XY)=E(X)E(Y)，则( )（分数：2.00）A.X，Y 独立B.X，Y 不独立C.X，Y 相关D.X，Y 不相关 解析：解析：因为 Cov
13、(X，Y)=E(XY)E(X)E(Y)，所以若 E(XY)=E(X)E(Y)，则有 Cov(X，Y)=0，于是X，Y 不相关，选 D6.若 E(XY)=E(X)E(Y)，则( )（分数：2.00）A.X 和 Y 相互独立B.X 2 与 Y 2 相互独立C.D(XY)=D(X)D(Y) tD.D(X+Y)=D(X)+D(Y) 解析：解析：因为 E(XY)=E(X)E(Y)，所以 Cov(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)=0，而 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Coy(X，Y)，所以 D(X+Y)=D(X)+D(Y)，正确答案为(D)7.设随机变量 XU0，2，Y=X 2 ，则 X，Y
14、( )（分数：2.00）A.相关且相互独立B.不相互独立但不相关C.不相关且相互独立D.相关但不相互独立 解析：解析：二、填空题(总题数：18，分数：36.00)8.随机变量 X 的密度函数为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：9.从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且遇到红灯的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：显然10.设随机变量 XB(n，p)，且 E(X)=5，E(X 2 )= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：15）填空项 1:_ （
15、正确答案：*）解析：解析：因为 E(X)=np，D(X)=np(1 一 p)，E(X 2 )=D(X)+E(X) 2 =np(1 一 p)+n 2 p 2 ，所以np=5，np(1 一 p)+n 2 p 2 = 11.随机变量 X 的密度函数为 f(x)=ke x (一x+)，则 E(X 2 )= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：12.设 X 表示 12 次独立重复射击击中目标的次数，每次击中目标的概率为 05，则 E(X 2 )= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：39）解析：解析：XB(12，05)， E(X)=6，D(X
16、)=3，E(X 2 )=D(X)+E(X) 2 =3+36=3913.设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e 1）解析：解析：14.设随机变量 X 在一 1，2上服从均匀分布，随机变量 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：15.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，且 X 1 U0，6，X 2 N(0，2 2 )，X 3 P(3)，记 Y=X 1 2X 2 +3X 3 ，则 D(y)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：46）解析：解析：由 D(X1)= 16
17、.设随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布，令 Y=4X 一 3，则 E(Y)= 1，D(Y)= 2。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：32）解析：解析：因为 XP(2)，所以 E(X)=D(X)=2，于是 E(y)=4E(X)一 3=5，D(Y)=16D(X)=3217.若随机变量 XN(2， 2 )，且 P(2X4)=03，则 P(X1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0.2）解析：解析：18.设随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 XU一 1，3，YB(10， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：19.设常数
18、 a0，1，随机变量 XU0，1，Y=Xa，则 E(XY)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：E(XY)=EXX 一 a= 0 1 xx 一 af(x)dx = 0 1 xx 一 adx= 20.设随机变量 X，Y 相互独立，D(X)=4D(Y)，令 U=3X+2Y，V=3X 一 2Y，则 UV = 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：Cov(U，V)=Cov(3X+2Y，3X 一 2Y) =9Cov(X，X)一 4Cov(Y，Y)=9D(X)一 4D(Y)=32D(Y) 由X，Y 独立，得 D(U)=D(3X+
19、2Y)=9D(X)+4D(Y)=40D(Y)， D(V)=D(3X 一 2Y)=9D(X)+4D(Y)=40D(Y)， 所以21.设 X，Y 为两个随机变量，且 D(X)=9，Y=2X+3，则 X，Y 的相关系数为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：D(Y)=4D(X)=36， Cov(X，Y)=Cov(X，2X+3)=2Cov(X，X)+Cov(X，3)=2D(X)+Cov(X，3) 因为Cov(X，3)=E(3X)一 E(3)E(X)=3E(X)一 3E(X)=0，所以 Cov(X，Y)=2D(X)=18， 于是22.设 x，y 为两个随机变量，D(
20、X)=4，D(Y)=9，相关系数为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：36）解析：解析：Cov(X，y)=23.设 x，y 为两个随机变量，E(x)=E(Y)=1，D(X)=9，D(Y)=1，且 XY =一 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：25）解析：解析：E(X 一 2Y+3)=E(X)一 2E(Y)+3=2， D(X 一 2Y+3)=D(X 一 2Y)=D(X)+4D(Y)一 4Coy(X，Y)， 由 Cov(X，Y)= 24.设 X，Y 相互独立且都服从标准正态分布，则 EXy= 1，DXY= 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：
21、正确答案： ）解析：解析：25.设 D(X)=1，D(Y)=9， XY =一 03，则 Cov(X，Y)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0.9）解析：解析：Cov(X，Y)=三、解答题(总题数：15，分数：30.00)26.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：27.一台设备由三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率分别为 01，02，03，假设各部件的状态相互独立，以 X 表示同时需要调整的部件数，求 E(X)，D(X)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 A ii =第 i 个部件需要调整(i=1，2，3)，
22、X 的可能取值为 0，1，2，3， )解析：28.设随机变量 X 服从参数为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然 YB(4，p)，其中 p=P(X3)=1P(X3)， )解析：29.设随机变量 X，Y 同分布，X 的密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 P(A)=P(B)且 P(AB)=P(A)P(B)，所以令 P(A)=p， )解析：30.某流水线上产品不合格的概率为 p= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 的分布律为 P(X=k)=(1 一 p) k1 p(X=1，2，) )解析：31.设试验成功的概率为 （分数：2.00）_正确答案：(正确
23、答案：设试验的次数为 X，则 X 的分布律为 )解析：32.游客乘电梯从底层到顶层观光，电梯于每个整点的 5 分、25 分、55 分从底层上行，设一游客早上 8点 X 分到达底层，且 X 在0，60上服从均匀分布，求游客等待时间的数学期望（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：33. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：YB(4，p)，其中 p= )解析：34.设某种零件的长度 LN(18，4)，从一大批这种零件中随机取出 10 件，求这 10 件中长度在 1622 之间的零件数 X 的概率分布、数学期望和方差（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：35.一民航班
24、车上有 20 名旅客，自机场开出，旅客有 10 个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以 X 表示停车次数，求 E(X)(设每位旅客下车是等可能的)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 X i = (i=1，2，10)，显然 X=X 1 +X 2 +“+X 10 因为任一旅客在第 i 个站不下车的概率为 09，所以 20 位旅客都不在第 i 个站下车的概率为 09 20 ，从而第 i 个站有人下车的概率为 109 20 ，即 X i 的分布律为 )解析：36.设某箱装有 100 件产品，其中一、二、三等品分别为 80 件、10 件和 10 件，现从中随机抽取一件，记X i
25、 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)(X 1 ，X 2 )的可能取值为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1) P(X 1 =0，X 2 =0)=P(X 3 1)=01， P(X 1 =0，X 2 =1)=P(X 2 1)=01， P(X 1 =1，X 2 =0)=P(X 1 1)=08， P(X 1 =1，X 2 =1)=0 (X 1 ，X 2 )的联合分布律为 )解析：37.在长为 L 的线段上任取两点，求两点之间距离的数学期望及方差（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：线段在数轴上的区间为0，L，设 X，Y 为两点在数轴上的坐标，两点之间的距离为 U=XY，X
26、，Y 的边缘密度为 )解析：38.设 X 与 Y 相互独立，且 XN(0， 2 )，YN(0， 2 )，令 Z= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 X 与 Y 相互独立，且 XN(0， 2 )，YN(0，)， )解析：39.设随机变量 X，Y 独立同分布，且 XN(0， 2 )，再设 U=aX+bY，V=aX 一 by，其中 a，b 为不相等的常数求： (1)E(U)，E(V)，D(U)，D(V)， UV ； (2)设 U，V 不相关，求常数 a，b 之间的关系（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)E(U)=E(aX+bY)=0，E(V)=E(aXbY)=0 D(U)=D(V)=(a 2 +b 2 ) 2 Cov(U，V)=Cov(aX+bY，aX 一 bY)=a 2 D(X)一 b 2 D(Y)=(a 2 一 b 2 ) 2 )解析：40.设 XU(一 1，1)，Y=X 2 ，判断 X，Y 的独立性与相关性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
