1、考研数学三（概率统计）-试卷 1 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设随机变量 X 的密度函数为 (x)，且 (一 z)=(x)，F(x)为 X 的分布函数，则对任意实数 a，有（分数：2.00）A.F(一 a)=1 一 0 a (x)dxB.C.F(一 a)=F(A)D.F(一 a)=2F(A)一 13.设随机变量 XN(， 2 )，则随着 的增大，概率 P(|X 一 |)（分数：2.00）A.单调增大B.单调减小C.保持不变D.增减不定4.设两
2、个随机变量 X 与 Y 相互独立且同分布，P(X=一 1)=P(Y=一 1)= ，P(X=1)=P(Y=1)= （分数：2.00）A.B.P(X=Y)=1C.D.5.设 F 1 (x)与 F 2 (x)分别为随机变量 X 1 与 X 2 的分布函数。为使 F(x)=a 1 F 1 (x)一 bF 2 (x)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取 （分数：2.00）A.B.C.D.6.设随机变量 （分数：2.00）A.0B.C.D.17.设随机变量 X 服从正态分布 N(0，1)，对给定的 a(0，1)，数 u 满足 Pxu )=，若 P|X|x=a，则 x 等于 （分数：2.00
3、）A.B.C.D.8.设随机变量 X 服从正态分布 N( 1 ， 1 2 )，随机变量 y 服从正态分布 N( 2 ， 2 2 )，且P|X 1 |1)P|Y 一 2 |1则必有（分数：2.00）A. 1 2B. 1 2C. 1 2D. 1 29.设随机变量 X，y 独立同分布，且 X 的分布函数为 F(x)，则 Z=maxX，Y的分布函数为（分数：2.00）A.F 2 (x)B.F(x)F(y)C.1 一1 一 F(x) 2D.1 一 F(x)3-1 一 F(y)10.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从标准正态分布 N(0，1)，Y 的概率分布为 PY=0=PY=1)= （分数：
4、2.00）A.0B.1C.2D.311.设随机变量 X 的分布函数 （分数：2.00）A.0B.C.D.1 一 e -112.设 f 1 (x)为标准正态分布的概率密度，f 2 (x)为一 1，3上均匀分布的概率密度，若 （分数：2.00）A.2a+3b=4B.3a+2b=4C.a+b=1D.a+b=2二、填空题(总题数：4，分数：8.00)13.设随机变量 X 的概率密度为 以 y 表示对 x 的三次独立重复观察中事件x （分数：2.00）填空项 1:_14.从数 1，2，3，4 中任取一个数，记为 X，再从 1，X 中任取一个数，记为 Y，则 PY=2= 1。（分数：2.00）填空项 1:
5、_15.设二维随机变量(X，Y)的概率分布为 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_16.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从区间0，3上的均匀分布，则 Pmax(X，Y)1= 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：14，分数：28.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_18.设一大型设备在任何长为 t 的时间内发生故障的次数 N(t)服从参数为 t 的泊松分布。(1)求相继两次故障之间时间间隔 T 的概率分布；(2)求在设备已经无故障工作 8 小时的情形下，再无故障运行 8 小时的概率 Q。（分数：2.00）_19.设随机变量 X 1 ，
6、X 2 ，X 3 ，X 4 相互独立且同分布，P(X i =0)=06，P(X i =1)=04(i=1，2，3，4)。求行列式 （分数：2.00）_20.已知随机变量(X，Y)的联合概率密度为 （分数：2.00）_21.设随机变量 x 的绝对值不大于 1， （分数：2.00）_22.设随机变量 X 的概率密度为 （分数：2.00）_23.设随机变量 X 和 Y 的联合分布是正方形 G=(x，y)：1x3，1y3上的均匀分布，试求随机变量U=|XY|的概率密度 p(u)。（分数：2.00）_24.设随机变量 X 的概率密度为 （分数：2.00）_25.设随机变量 X 与 Y 独立，其中 X 的
7、概率分布为 （分数：2.00）_设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：4.00）(1).(X，Y)的边缘概率密度 f x (x)，f y (y)；（分数：2.00）_(2).Z=2XY 的概率密度 f z (z)； （分数：2.00）_26.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_27.设随机变量 x 与 y 相互独立，X 的概率分布 ，Y 的概率密度为 ，记 Z=X+Y。 ()求P(Z （分数：2.00）_28.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_29.袋中有 1 个红球、2 个黑球与 3 个白球。现有放回地从袋中取两次，每次取一个球。以 X，
8、Y，Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。()求 P(X=1|Z=0；()求二维随机变量(X，Y)的概率分布。（分数：2.00）_考研数学三（概率统计）-试卷 1 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设随机变量 X 的密度函数为 (x)，且 (一 z)=(x)，F(x)为 X 的分布函数，则对任意实数 a，有（分数：2.00）A.F(一 a)=1 一 0 a (x)dxB. C.F(一 a)=F(A)D.F(一 a)=2F(A)一
9、1解析：解析：由概率密度的性质和已知，可得3.设随机变量 XN(， 2 )，则随着 的增大，概率 P(|X 一 |)（分数：2.00）A.单调增大B.单调减小C.保持不变 D.增减不定解析：解析：4.设两个随机变量 X 与 Y 相互独立且同分布，P(X=一 1)=P(Y=一 1)= ，P(X=1)=P(Y=1)= （分数：2.00）A. B.P(X=Y)=1C.D.解析：解析：P(X=Y)=P(X=一 1，Y=一 1)+P(X=1，Y=1) =P(X=一 1)P(Y=一 1)+P(X=1)P(Y=1)5.设 F 1 (x)与 F 2 (x)分别为随机变量 X 1 与 X 2 的分布函数。为使
10、F(x)=a 1 F 1 (x)一 bF 2 (x)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：F 1 (x)和 F 2 (x)均为分布函数，F 1 (+)=F 2 (+)=1 要使 F(x)为分布函数，也有F(+)=1对该式令 x，即得 ab=1，只有(A)符合。6.设随机变量 （分数：2.00）A.0 B.C.D.1解析：解析：由 P(X 1 X 2 =0)=1 可知 P(X 1 =一 1，X 2 =一 1)=P(X 1 =一 1，X 2 =1)=P(X 1 =1，X 2 =一 1)=P(X 1 =1，X 2 =1)=0 由联合、边
11、缘分布列(多维离散型)的性质和关系得(X 1 ，X 2 )的联合、边缘分布列如左表。 7.设随机变量 X 服从正态分布 N(0，1)，对给定的 a(0，1)，数 u 满足 Pxu )=，若 P|X|x=a，则 x 等于 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：设 (x)=P(Xx)为服从标准正态分布的 X 的分布函数，有结果：8.设随机变量 X 服从正态分布 N( 1 ， 1 2 )，随机变量 y 服从正态分布 N( 2 ， 2 2 )，且P|X 1 |1)P|Y 一 2 |1则必有（分数：2.00）A. 1 2 B. 1 2C. 1 2D. 1 2解析：解析：9.设随机变量 X，y
12、独立同分布，且 X 的分布函数为 F(x)，则 Z=maxX，Y的分布函数为（分数：2.00）A.F 2 (x) B.F(x)F(y)C.1 一1 一 F(x) 2D.1 一 F(x)3-1 一 F(y)解析：解析：Z 的分布函数 f Z (x)=PZx)=Pmax(X，Y)x)=PXx，Yx)=PXxPYx=F 2 (x)，故选(A)。10.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从标准正态分布 N(0，1)，Y 的概率分布为 PY=0=PY=1)= （分数：2.00）A.0B.1 C.2D.3解析：解析：11.设随机变量 X 的分布函数 （分数：2.00）A.0B.C. D.1 一 e
13、 -1解析：解析：P(X=1)=F(1)一 F(1 一 0)=(1 一 e -1 )一 12.设 f 1 (x)为标准正态分布的概率密度，f 2 (x)为一 1，3上均匀分布的概率密度，若 （分数：2.00）A.2a+3b=4 B.3a+2b=4C.a+b=1D.a+b=2解析：解析：由题意知：二、填空题(总题数：4，分数：8.00)13.设随机变量 X 的概率密度为 以 y 表示对 x 的三次独立重复观察中事件x （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：14.从数 1，2，3，4 中任取一个数，记为 X，再从 1，X 中任取一个数，记为 Y，则 PY=2= 1
14、。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题意，X 的概率分布为15.设二维随机变量(X，Y)的概率分布为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a=04）填空项 1:_ （正确答案：b=01）解析：解析：由题意知 04+a+b+01=1， a+b=05 而 PX=0=04+a，PX+Y=1)=P(X=0，Y=1)+PX=1，Y=0)=a+b=05， PX=0，X+Y=1)=PX=0，Y=1=a 由 PX=0，X+Y=1)=PX=0)PX+Y=1) a=(04+n)05，得 a=04，从而 b=01。16.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且
15、均服从区间0，3上的均匀分布，则 Pmax(X，Y)1= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题意知 X 与 Y 的概率密度均为：三、解答题(总题数：14，分数：28.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：18.设一大型设备在任何长为 t 的时间内发生故障的次数 N(t)服从参数为 t 的泊松分布。(1)求相继两次故障之间时间间隔 T 的概率分布；(2)求在设备已经无故障工作 8 小时的情形下，再无故障运行 8 小时的概率 Q。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3
16、，X 4 相互独立且同分布，P(X i =0)=06，P(X i =1)=04(i=1，2，3，4)。求行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意，X=X 1 X 4 一 X 2 X 3 ，可能取的值为一 1，0，1 P(X=一 1)=P(X 1 X 4 一 X 2 X 3 =一 1)=P(X 1 X 4 =0，X 2 X 3 =1) =P(X 1 X 4 =0)P(X 2 X 3 =1)=1 一 P(X 1 X 4 =1)P(X 2 X 3 =1) =1 一 P(X 1 =1，X 4 =1)P(X 2 =1，X 3 =1) =1 一 P(X 1 =1)P(X 4 =11)P(X
17、 2 =1)P(X 3 =1) =1 一 04 2 04 2 =01344 同理，P(X=1)=P(X 1 X 4 =1，X 2 X 3 =0)=P(X 1 X 4 =1)P(X 2 X 3 =0)=01344 而 P(X=0)=1 一 P(X=一 1)一 P(X=1)=1013442=07312)解析：20.已知随机变量(X，Y)的联合概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(X，Y)的联合分布函数为 )解析：21.设随机变量 x 的绝对值不大于 1， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 F(z)一 P(Xz)，以及 P(1Xl1)：l 所以，当 x一 1 时，F(x
18、)=0； 而 F(一1)=P(X一 1)=P(X=一 1)= 当 x1 时，F(x)=1 当一 1x1 时，由题意知： P一 1Xx|一1X1)=K(x+1) 其中 K 为比例系数，为一常数。 由已知可得 )解析：22.设随机变量 X 的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1，3)解析：解析：P(Xk)= k + f(x)dx。可见： 若 k0，则 P(Xk)=1 23.设随机变量 X 和 Y 的联合分布是正方形 G=(x，y)：1x3，1y3上的均匀分布，试求随机变量U=|XY|的概率密度 p(u)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：G 的面积显然为 4，(X，Y)
19、的联合概率密度为 )解析：24.设随机变量 X 的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 的分布函数 F(x)= - x f(t)dt。 )解析：25.设随机变量 X 与 Y 独立，其中 X 的概率分布为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 Y 的分布函数为 F Y (y)，由全概率公式，知 U 的分布函数为 G(u)=PUu) =PX+Yu)=PX=1PX+Yu|X=1|+PX=2PX+Yu|X=2 =03P1+Yu|X=1+07P2+Yu|X=2 因为 X 与 Y 相互独立，故 G(u)=03PYu 一 1)+07PYu 一 2=03F Y (u 一 1)+07
20、F y (u 一 2) 故g(U)=G“(U)=03F“ Y (u 一 1)+07F“ Y (u 一 2)=03f(u 一 1)+07f(u 一 2)。)解析：解析：本题主要考查全概率公式(用在随机变量上)及随机变量独立性的用法。对离散型随机变量X“赋值”(即用全概率公式的一步)，然后又扔掉条件中的(X=1)、(X=2)(由 X 与 Y 独立，当然X=1)与Yu 一 1二事件独立，注意Yu 一 1中没有 X)，是概率论中一常用手法，这里不要套“卷积公式”，不好用。审清题意，f(y)可看作“已知的”，允许出现在最终的答案中，但 F Y (y)却不行。如果不引 F Y (y)，用 PYu 一 1=
21、 - u-1 (t)dt，然后求导也行。设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：4.00）(1).(X，Y)的边缘概率密度 f x (x)，f y (y)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f X (x)= - + f(x，y)dy 当 x0 或 x1 时，f X (x)=0； 当 0x1 时，f X (x)= 0 2x 1dy=2x。 故 同理，f Y (y)= - + f(x，y)dx 当 y0 或 y2 时，f Y (y)=0； (积分的讨论和定限可参考图(A)。 )解析：(2).Z=2XY 的概率密度 f z (z)； （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：Z 的分布
22、函数为： )解析：26.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 于是，f Z (x)= 0 1 f(x，zx)dx z0 时，f Z (z)=0；0z1 时，f Z (z)= 0 z (2z)dx=z(2 一 z) 1z2 时，f Z (z)= z-1 1 (2 一 z)dx=(2z) 2 z2 时，f Z (z)=0 故 )解析：27.设随机变量 x 与 y 相互独立，X 的概率分布 ，Y 的概率密度为 ，记 Z=X+Y。 ()求P(Z （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由题意，关于 X 的边缘概率密度为： f X (x)= - + f(x，y)dy 当 x0时，f X (x)=0； 当 x0 时，f X (x)= 0 x =xe -x )解析：29.袋中有 1 个红球、2 个黑球与 3 个白球。现有放回地从袋中取两次，每次取一个球。以 X，Y，Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。()求 P(X=1|Z=0；()求二维随机变量(X，Y)的概率分布。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ()X 和 Y 可能取得值均为：0，1，2得： )解析：
