1、考研数学三（概率统计）-试卷 29 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设随机变量 X，Y 相互独立，它们的分布函数为 F X (x)，F Y (y)，则 Z=min(X，Y)的分布函数为( )（分数：2.00）A.F Z (z)=maxFx(z)，F Y (z)B.F Z (z)=minFx(z)，F Y (z)C.F Z (z)=1 一1 一 Fx(z)1 一 F Y (z)D.F Z (z)=F Y (z)3.设随机变量 X，Y 相互独立，它们的
2、分布函数为 Fx(x)，F Y (y)，则 Z=maxX，Y)的分布函数为( )（分数：2.00）A.F Z (z)=maxF X (z)，F Y (Z)B.F Z (z)=F X (z)F Y (z)C.F Z (z)=maxF X (z)，F Y (Z)D.F Z (z)=F Y (z)4.设随机变量 X 和 Y 都服从正态分布，则( )（分数：2.00）A.X+Y 一定服从正态分布B.(X，Y)一定服从二维正态分布C.X 与 Y 不相关，则 X，Y 相互独立D.若 X 与 Y 相互独立，则 X 一 Y 服从正态分布5.设随机变量 X，Y 都是正态变量，且 X，Y 不相关，则( )（分数：
3、2.00）A.X，Y 一定相互独立B.(X，Y)一定服从二维正态分布C.X，Y 不一定相互独立D.X+Y 服从一维正态分布6.设随机变量 X，Y 相互独立，且 xN(0， )，yN(1， （分数：2.00）A.X 一 YB.X+YC.X 一 2YD.Y 一 2X二、填空题(总题数：6，分数：12.00)7.设 X，Y 相互独立且都服从(0，2)上的均匀分布，令 Z=min(X，Y)，则 P(0Z1)= 1（分数：2.00）填空项 1:_8.设随机变量 X 和 Y 相互独立，且分布函数为 F X (x)= F Y (y)= （分数：2.00）填空项 1:_9.设随机变量(X，Y)的联合密度为 f
4、(x，y)= （分数：2.00）填空项 1:_10.设 X，Y 为两个随机变量，且 P(X0，Y0)= ，P(X0)=P(Y0)= （分数：2.00）填空项 1:_11.设随机变量 X 与 Y 的相关系数为 （分数：2.00）填空项 1:_12.设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：32.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_14.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 独立同分布，且 X 1 (i=1，2，3，4)，求 X= （分数：2.00）_设随机变量 X，Y 独立同分布，且 P(X=i)
5、= （分数：8.00）(1).求二维随机变量(U，V)的联合分布；（分数：2.00）_(2).求 Z=UV 的分布；（分数：2.00）_(3).判断 U，V 是否相互独立？（分数：2.00）_(4).求 P(U=V)（分数：2.00）_15.设随机变量 X 与 Y 相互独立，下表列出二维随机变量(X，Y)的联合分布律及关于 X 和 Y 的边缘分布律的部分数值，试将其余的数值填入表中空白处 （分数：2.00）_设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为 f(x，y)= （分数：6.00）(1).求随机变量 X，Y 的边缘密度函数；（分数：2.00）_(2).判断随机变量 X，Y 是否相互独立；（分
6、数：2.00）_(3).求随机变量 Z=X+2Y 的分布函数和密度函数（分数：2.00）_16.设随机变量(X，Y)的联合密度函数为 f(x，y)= （分数：2.00）_17.设随机变量 XN(， 2 )，YU一 ，且 X，Y 相互独立，令 Z=X+Y，求 f Z (z)（分数：2.00）_设随机变量 XNU(0，1)，在 X=x(0x1)下，YU(0，x)（分数：4.00）(1).求 X，Y 的联合密度函数；（分数：2.00）_(2).求 Y 的边缘密度函数（分数：2.00）_18.设随机变量 X，Y 相互独立，且 （分数：2.00）_19.设随机变量 X，Y 相互独立，且 XP(1)，YP
7、(2)，求 Pmax(X，Y)0)及 Pmin(X，Y)0（分数：2.00）_20.设随机变量 X，Y 相互独立，且 X （分数：2.00）_考研数学三（概率统计）-试卷 29 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设随机变量 X，Y 相互独立，它们的分布函数为 F X (x)，F Y (y)，则 Z=min(X，Y)的分布函数为( )（分数：2.00）A.F Z (z)=maxFx(z)，F Y (z)B.F Z (z)=minFx(z)，F Y
8、(z)C.F Z (z)=1 一1 一 Fx(z)1 一 F Y (z) D.F Z (z)=F Y (z)解析：解析：F Z (z)=P(Zz)=Pmin(X，Y)z=1 一 Pmin(X，Y)z =1 一 P(Xz，Yz)=1 一 P(Xz)P(Yz) =1 一1 一 P(Xz)1 一 P(Yz)=1 一1 一 F X (z)1 一 F Y (z)，选(C)3.设随机变量 X，Y 相互独立，它们的分布函数为 Fx(x)，F Y (y)，则 Z=maxX，Y)的分布函数为( )（分数：2.00）A.F Z (z)=maxF X (z)，F Y (Z)B.F Z (z)=F X (z)F Y
9、(z) C.F Z (z)=maxF X (z)，F Y (Z)D.F Z (z)=F Y (z)解析：解析：F Z (z)=P(Zz)=Pmax(X，y)z)=P(Xz，yz) =P(Xz)P(yz)一 F X (z)F Y (z)，选(B)4.设随机变量 X 和 Y 都服从正态分布，则( )（分数：2.00）A.X+Y 一定服从正态分布B.(X，Y)一定服从二维正态分布C.X 与 Y 不相关，则 X，Y 相互独立D.若 X 与 Y 相互独立，则 X 一 Y 服从正态分布 解析：解析：若 X，Y 独立且都服从正态分布，则 X，y 的任意线性组合也服从正态分布，选(D)5.设随机变量 X，Y
10、都是正态变量，且 X，Y 不相关，则( )（分数：2.00）A.X，Y 一定相互独立B.(X，Y)一定服从二维正态分布C.X，Y 不一定相互独立 D.X+Y 服从一维正态分布解析：解析：只有当(X，Y)服从二维正态分布时，X，Y 独立才与 X，Y 不相关等价，由 X，Y 仅仅是正态变量且不相关不能推出 X，Y 相互独立，(A)不对；若 X，Y 都服从正态分布且相互独立，则(X，Y)服从二维正态分布，但 X，Y 不一定相互独立，(B)不对；当 X，Y 相互独立时才能推出 X+Y 服从一维正态分布，(D)不对，故选(C)6.设随机变量 X，Y 相互独立，且 xN(0， )，yN(1， （分数：2.
11、00）A.X 一 YB.X+Y C.X 一 2YD.Y 一 2X解析：解析：Z=Y 一 XN(1，1)，因为 X 一 yN(一 1，1)，X+YN(1，1)，二、填空题(总题数：6，分数：12.00)7.设 X，Y 相互独立且都服从(0，2)上的均匀分布，令 Z=min(X，Y)，则 P(0Z1)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1 一*）解析：解析：由 X，Y 在(0，2)上服从均匀分布得 因为 X，Y 相互独立，所以 F Z (z)=P(Zz)=1一 P(Zz)=1 一 Pmin(X，Y)z)=1 一 P(Xz，Yz) =1 一 P(Xz)P(Yz)=1 一1
12、一 P(Xz)1 一P(Yz) =1 一1 一 F X (z)1 一 F Y (z) 于是 P(0Z1)=F Z (1)一 F Z (0)=1 一 8.设随机变量 X 和 Y 相互独立，且分布函数为 F X (x)= F Y (y)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：F U (u)=P(UM)=P(X+Yu)，当 u0 时，F U (u)=0； 当 0u1 时，F U (u)=P(Uu)=P(X+Yu)=P(X=0，Yu) =P(X=0)P(Yu)= 当 1u2 时，F U (u)=P(X=0，Yu)+P(X=1，Yu一 1) 当 u2 时，F U (u
13、)=1所以 F U (u)= 9.设随机变量(X，Y)的联合密度为 f(x，y)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：P(X5|Y3)=10.设 X，Y 为两个随机变量，且 P(X0，Y0)= ，P(X0)=P(Y0)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令X0=A，Y0=B，则有 故 Pmax(X，Y)0=1 一 Pmax(X，Y)0=1 一P(X0，Y0) =1 一 =P(A+B)=P(A)+P(B)一 P(AB)=11.设随机变量 X 与 Y 的相关系数为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：
14、18）解析：解析：D(X)=E(X 2 )一E(X) 2 =4，D(Y)=E(Y 2 )一E(Y) 2 =9， 12.设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：11，分数：32.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：14.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 独立同分布，且 X 1 (i=1，2，3，4)，求 X= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =X 1 X 4 一 X 2 X 3 ，令 U=X 1 X 4 ，V=X 2 X 3 ，且 U，V 独立同
15、分布 P(U=1)=P(X 1 =1，X 4 =1)=016，P(U=0)=084，X 的可能取值为一 1，0，1 P(X=一 1)=P(U=0，V=1)=P(U=0)P(V=1)=084016=01344， P(X=1)=P(U=1，V=0)=P(U=1)P(V=0)=016084=01344， P(X=0)=1 一 201344=07312，于是 X )解析：设随机变量 X，Y 独立同分布，且 P(X=i)= （分数：8.00）(1).求二维随机变量(U，V)的联合分布；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 X，Y 相互独立，所以 P(U=V=i)=P(X=i，Y=i)=P(X=
16、i)P(Y=i)= ，i=1，2，3； P(U=2，V=1)=P(X=2，Y=1)+P(X=1，Y=2)= P(U=3，V=1)=P(X=3，Y=1)+P(X=1，Y=3)= P(U=3，V=2)=P(X=3，Y=2)+P(X=2，Y=3)= P(U=1，V=2)=P(U=1，V=3)=P(U=2，V=3)=0 所以(U，V)的联合分布律为 )解析：(2).求 Z=UV 的分布；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：P(Z=1)=P(UV=1)=P(U=1，V=1)= P(2=2)=P(UV=2)=P(U=1，V=2)+P(U=2，V=1)= P(2=3)=P(UV=3)=P(U=1，V=
17、3)+P(U=3，V=1)= P(Z=4)=P(UV=4)=P(U=2，V=2)= P(Z=6)=P(UV=6)=P(U=2，V=3)+P(U=3，V=2)= P(Z=9)=P(UV=9)=P(U=3，V=3)= 所以 Z 的分布律为 )解析：(3).判断 U，V 是否相互独立？（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 P(U=1)=P(X=1，Y=1)= P(V=1)=P(X=1，Y=1)+P(X=2，Y=1)+P(X=3，Y=1)+P(X=1Y=2) +P(X=1，Y=3)= 而 P(U=1)P(V=1)= P(U=1，V=1)= )解析：(4).求 P(U=V)（分数：2.00）_
18、正确答案：(正确答案：P(U=V)=P(U=1，V=1)+P(U=2，V=2)+P(U=3V=3)= )解析：15.设随机变量 X 与 Y 相互独立，下表列出二维随机变量(X，Y)的联合分布律及关于 X 和 Y 的边缘分布律的部分数值，试将其余的数值填入表中空白处 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 P 11 +p 21 =P 1 得 P 11 = 因为 X，Y 相互独立，所以 P 1 P 1 =P 11 ，于是 P 1 = 由 p 1 p 2 =p 12 得 p 2 = ，再由 p 12 +p 22 =p 2 得 p 22 = 由 p 11 +p 12 +p 13 =p 1 得 p
19、 13 = ，再由 p 1 p 3 =p 13 得 p 3 = 由 p 13 +p 23 =p 3 得 p 23 = ，再由 p 1 +p 2 =1 得 p 2 = )解析：设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为 f(x，y)= （分数：6.00）(1).求随机变量 X，Y 的边缘密度函数；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f X (x)= 一 + f(x，y)dy 当 x0 时，f X (x)=0； 当 x0 时，f X (x)= + f(x，y)dy= 0 + 2e 一(x+2y) dy=e 一 x 0 + e 一 2y d(2y)=e 一 x ， 则 f X (x)= f Y
20、(y)=f(x，y)dx， 当 y0 时，f Y (y)=0； 当 y0 时，f Y (y)= 0 + 2e 一(x+2y) dx=2e 一 2y 0 + e 一 x dx=2e 一 2y ， 则 f Y (y)= )解析：(2).判断随机变量 X，Y 是否相互独立；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x，y)=f X (x)f Y (y)，所以随机变量 X，Y 相互独立)解析：(3).求随机变量 Z=X+2Y 的分布函数和密度函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：F Z (z)=P(Zz)=P(X+2Yz)= 当 z0 时，F Z (z)=0； 当 z0 时， )解析
21、：16.设随机变量(X，Y)的联合密度函数为 f(x，y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.设随机变量 XN(， 2 )，YU一 ，且 X，Y 相互独立，令 Z=X+Y，求 f Z (z)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 XN(， 2 )，YU一 ，所以 X，Y 的密度函数为 又X，Y 相互独立，所以 X，Y 的联合密度函数为 )解析：设随机变量 XNU(0，1)，在 X=x(0x1)下，YU(0，x)（分数：4.00）(1).求 X，Y 的联合密度函数；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 XU(0，1)，所以 f X (x)= 又在 X=
22、x(0x1)下，YU(0，x)，所以 f Y|X = f(x，y)=f X (x)f Y|X = )解析：(2).求 Y 的边缘密度函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f Y (Y)= 一 + f(x，y)dx，当 y0 或 y1 时，f Y (y)=0； 当 0y1 时，f Y (y)= )解析：18.设随机变量 X，Y 相互独立，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 k 1 ( 1 + 2 )+k 2 ( 2 +X 3 )+k 3 Y 1 =0，整理得 (k 1 +Yk 3 ) 1 +(k 1 +k 2 ) 2 +Xk 2 3 =0 因为 1 ， 2 ， 3 线性无关
23、，所以有 又 1 + 2 ， 2 +X 3 ，Y 1 线性相关的充分必要条件是上述方程组有非零解，即 即 1 + 2 ， 2 +X 3 ，Y 1 线性相关的充分必要条件是 XY=0 注意到 X，Y 相互独立，所以 1 + 2 ， 2 +X 3 ，Y 1 线性相关的概率为 P(XY=0)= +P(X=1，Y=0)+P(X=0，Y=0) =P(X=0) +P(X=1)P(Y=0)+P(X=0)P(Y=0)= )解析：19.设随机变量 X，Y 相互独立，且 XP(1)，YP(2)，求 Pmax(X，Y)0)及 Pmin(X，Y)0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：Pmax(X，Y)0=1 一
24、 Pmax(X，Y)=0=1 一 P(X=0，Y=0) =1 一 P(X=0)P(Y=0)=1一 e 一 1 e 一 2 =1 一 e 一 3 Pmin(X，Y)0=1 一 Pmin(X，Y)=0， 令 A=X=0，B=Y=0，则min(X，Y)=0)=A+B， 于是 Pmin(X，Y)=0=P(A+B)=P(A)+P(B)一 P(AB) =e 一 1 +e 一 2 一 e 一 1 e 一 2 =e 一 1 +e 一 2 一 e 一 3 ， 故 Pmin(X，Y0)=1 一 e 一 1 一 e 一 2 +e 一 3 )解析：20.设随机变量 X，Y 相互独立，且 X （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：F U (u)=P(Uu)=P(X+2Yu) =P(X=1)P(X+2Yu|X=1)+P(X=2)P(X+2Yu|X=2) )解析：
