1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 132及答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A，B，A+B，A 1 +B 1 皆为可逆矩阵，则(A 1 +B 1 ) 1 等于( )（分数：2.00）A.A+BB.A 1 +B 1C.A(A+B) 1 BD.(A+B) 13.设 （分数：2.00）A.m=3，n=2B.m=3，n=5C.m=2，n=3D.m=2，n=24.设 A=( 1 ， 2 ， m )，其中 1 ， 2 ， m 是 n维列向量，若对于任意不全为零的
2、常数志 k 1 ，k 2 ，k 3 ，皆有 k 1 1 ，k 2 2 ，k m m 0，则( )（分数：2.00）A.mnB.m=nC.存在 m阶可逆阵 P，使得D.若 AB=O，则 B=O5.设 1 ， 2 ， m 与 1 ， 2 ， s 为两个 n维向量组，且 r( 1 ， 2 ， m )=r( 1 ， 2 ， s )=r，则( )（分数：2.00）A.两个向量组等价B.r( 1 ， 2 ， m ， 1 ， 2 ， s )=rC.若向量组 1 ， 2 ， m 可由向量组 1 ， 2 ， s 线性表示，则两向量组等价D.两向量组构成的矩阵等价6.设 A是 mn阶矩阵，B 是 nm阶矩阵，则(
3、 )（分数：2.00）A.当 mn 时，线性齐次方程组 ABX=0有非零解B.当 mn 时，线性齐次方程组 ABX=0只有零解C.当 mn 时，线性齐次方程组 ABX=0有非零解D.当 mn 时，线性齐次方程组 ABX=0只有零解7.设三阶矩阵 A的特征值为1，1，2，其对应的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，令 P=(3 2 ， 3 ，2 1 )，则 P 1 AP等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.设 A，B 为 n阶可逆矩阵，则( )（分数：2.00）A.存在可逆矩阵 P，使得 P 1 AP=BB.存在正交矩阵 Q，使得 Q T AQ=BC.A，B 与同一个对角矩阵相似D.存
4、在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B二、填空题(总题数：4，分数：8.00)9.设 A为 n阶矩阵，且A=a0，则(kA) * = 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设矩阵 A，B 满足 A * BA=2BA8E，且 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_12.设 1 ， 2 ， 3 是三阶矩阵 A的三个不同特征值， 1 ， 2 ， 3 分别是属于特征值 1 ， 2 ， 3 的特征向量，若 1 ，A( 1 + 2 )，A 2 ( 1 + 2 + 3 )线性无关，则 1 ， 2 ， 3 满足 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总
5、题数：19，分数：44.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_14.计算 （分数：2.00）_设 A=E T ，其中 为 n维非零列向量证明：（分数：4.00）(1).A 2 =A的充分必要条件是 为单位向量；（分数：2.00）_(2).当 是单位向量时 A为不可逆矩阵（分数：2.00）_15.设 ， 是 n维非零列向量，A= T + T 证明：r(A)2（分数：2.00）_16.设 A是 n(n3)阶矩阵，证明：(A * ) * =A n2 A（分数：2.00）_17.设 1 ， 2 ， n 为 n个 n维向量，证明： 1 ， 2 ， n 线性无关的充分必要条件是任一
6、n维向量总可由 1 ， 2 ， n 线性表示（分数：2.00）_18.a，b 取何值时，方程组 （分数：2.00）_19.证明线性方程组 ()有解的充分必要条件是方程组 （分数：2.00）_20.讨论方程组 （分数：2.00）_设 （分数：4.00）(1).a及可逆阵 P，使得 P 1 AP=A，其中 A为对角阵.（分数：2.00）_(2).A 100 （分数：2.00）_21.设 （分数：2.00）_22.设 A为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵 B=(A * ) 2 4E 的特征值为 0，5，32求 A 1 的特征值并判断 A 1 是否可对角化（分数：2.00）_设 的一个特征值
7、为 1 =，其对应的特征向量为 （分数：4.00）(1).求常数 a，b，c；（分数：2.00）_(2).判断 A是否可对角化若可对角化，求可逆矩阵 P，使得 P 1 AP为对角矩阵若不可对角化，说明理由（分数：2.00）_23.设方程组 有无穷多个解， （分数：2.00）_24.设 A，B 为 n阶矩阵，且 r(A)+r(B)n证明：A，B 有公共的特征向量（分数：2.00）_设 A是 n阶矩阵， 1 ， 2 ， n 是 n维列向量，且 n 0，若 A 1 = 2 ，A 2 = 3 ，A n1 = n A n =0（分数：4.00）(1).证明： 1 ， 2 ， n 线性无关；（分数：2.0
8、0）_(2).求 A的特征值与特征向量（分数：2.00）_25. （分数：2.00）_26.设 A为 mn阶实矩阵，且 r(A)=N证明：A T A的特征值全大于零（分数：2.00）_27.设二次型 f=2x 1 2 +2x 2 2 +ax 3 2 +2x 1 x 2 +2bx 1 x 3 +2x 2 x 3 经过正交变换 X=QY，化为标准形f=y 1 2 +y 2 2 +4y 3 2 ，求参数 a，b 及正交矩阵 Q（分数：2.00）_考研数学三（线性代数）模拟试卷 132答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四
9、个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A，B，A+B，A 1 +B 1 皆为可逆矩阵，则(A 1 +B 1 ) 1 等于( )（分数：2.00）A.A+BB.A 1 +B 1C.A(A+B) 1 B D.(A+B) 1解析：解析：A(A+B) 1 B(A 1 +B 1 )=(A+B)A 1 (BA 1 +E)=(BA 1 +E) 1 (BA 1 +E) =E，选C3.设 （分数：2.00）A.m=3，n=2B.m=3，n=5 C.m=2，n=3D.m=2，n=2解析：解析：P 1 m AP 2 n = 经过了 A的第 1，2 两行对调与第 1，3 两列对调，P
10、1 = 4.设 A=( 1 ， 2 ， m )，其中 1 ， 2 ， m 是 n维列向量，若对于任意不全为零的常数志 k 1 ，k 2 ，k 3 ，皆有 k 1 1 ，k 2 2 ，k m m 0，则( )（分数：2.00）A.mnB.m=nC.存在 m阶可逆阵 P，使得D.若 AB=O，则 B=O 解析：解析：因为对任意不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，k m ，有 k 1 1 +k 2 2 +k m m 0，所以向量组 1 ， 2 ， m 线性无关，即方程组 AX=0只有零解，故若 AB=O，则 B=O选D5.设 1 ， 2 ， m 与 1 ， 2 ， s 为两个 n维向量组，且 r(
11、1 ， 2 ， m )=r( 1 ， 2 ， s )=r，则( )（分数：2.00）A.两个向量组等价B.r( 1 ， 2 ， m ， 1 ， 2 ， s )=rC.若向量组 1 ， 2 ， m 可由向量组 1 ， 2 ， s 线性表示，则两向量组等价D.两向量组构成的矩阵等价解析：解析：不妨设向量组 1 ， 2 ， m 的极大线性无关组为 1 ， 2 ， r ，向量组 1 ， 2 ， s 的极大线性无关组为 1 ， 2 ， r ，若 1 ， 2 ， m 可由 1 ， 2 ， s 线性表示，则 1 ， 2 ， r 也可由 1 ， 2 ， r 线性表示，若 1 ， 2 ， r ，不可由 1 ，
12、2 ， r 线性表示，则 1 ， 2 ， s 也不可由 1 ， 2 ， m 线性表示，所以两向量组秩不等，矛盾，选 C6.设 A是 mn阶矩阵，B 是 nm阶矩阵，则( )（分数：2.00）A.当 mn 时，线性齐次方程组 ABX=0有非零解 B.当 mn 时，线性齐次方程组 ABX=0只有零解C.当 mn 时，线性齐次方程组 ABX=0有非零解D.当 mn 时，线性齐次方程组 ABX=0只有零解解析：解析：AB 为 m阶方阵，当 mn 时，因为 r(A)n，r(B)n 且 r(AB)minr(A)，r(B)，所以r(AB)m，于是方程组 ABX=O有非零解，选 A7.设三阶矩阵 A的特征值为
13、1，1，2，其对应的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，令 P=(3 2 ， 3 ，2 1 )，则 P 1 AP等于( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：显然 3 2 3 ，2 1 也是特征值 1，2，1 的特征向量，所以 P 1 AP= 8.设 A，B 为 n阶可逆矩阵，则( )（分数：2.00）A.存在可逆矩阵 P，使得 P 1 AP=BB.存在正交矩阵 Q，使得 Q T AQ=BC.A，B 与同一个对角矩阵相似D.存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B 解析：解析：因为 A，B 都是可逆矩阵，所以 A，B 等价，即存在可逆矩阵 PQ，使得 PAQ=B，选 D二、填空题(总
14、题数：4，分数：8.00)9.设 A为 n阶矩阵，且A=a0，则(kA) * = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k n(n1) a n1 ）解析：解析：因为(kA) * =k n1 A * ，且A * =A n1 ，所以(kA) * =k n1 A * =k n(n1) A n1 =k n(n1) a n1 10.设矩阵 A，B 满足 A * BA=2BA8E，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 A * BA=2BA8E，得 AA * BA=2ABA8A，即2BA=2ABA8A，于是B=2AB8E，(A+E)B=4E，所以
15、 B=4(A+E) 1 = 11.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a=2）填空项 1:_ （正确答案：b=1）解析：解析：12.设 1 ， 2 ， 3 是三阶矩阵 A的三个不同特征值， 1 ， 2 ， 3 分别是属于特征值 1 ， 2 ， 3 的特征向量，若 1 ，A( 1 + 2 )，A 2 ( 1 + 2 + 3 )线性无关，则 1 ， 2 ， 3 满足 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 1 2 0）解析：解析：令 x 1 1 +x 2 A( 1 + 2 )+x 3 A 2 ( 1 + 2 + 3 )=0，即 (x 1 + 1 x 2
16、+ 1 2 x 3 ) 1 +( 2 x 2 + 2 2 x 3 ) 2 + 3 2 x 3 3 =0，则有 x 1 + 1 x 2 + 1 2 x 3 =0， 2 x 2 + 2 2 x 3 =0， 3 2 x 3 =0，因为 x 1 ，x 2 ，x 3 只能全为零，所以 三、解答题(总题数：19，分数：44.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：14.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D 2n =a 2 D 2n2 b 2 D 2n2 =(a 2 b 2 )D 2n2 =(a 2 b 2 ) n )解析：设 A=E T ，其中 为 n维非零列向量证
17、明：（分数：4.00）(1).A 2 =A的充分必要条件是 为单位向量；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 T =k，则 A 2 =(E T )(E T )=E2 T +k T ，因为 为非零向量，所以 T 0，于是 A 2 =A的充分必要条件是 k=1，而 T = 2 ，所以 A 2 =A的充要条件是 为单位向量)解析：(2).当 是单位向量时 A为不可逆矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 是单位向量时，由 A 2 =A得 r(A)+r(EA)=n，因为 EA= T 0，所以 r(EA)1，于是 r(A)n1n，故 A是不可逆矩阵)解析：15.设 ， 是 n维非零列向
18、量，A= T + T 证明：r(A)2（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：r(A)=r( T + T )r( T )+r( T )，而 r( T )r()=1，r( T )r()= 1，所以 r(A)r( T )+r( T )2)解析：16.设 A是 n(n3)阶矩阵，证明：(A * ) * =A n2 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(A * ) * A * =A * E=A n1 E，当 r(A)=N时，r(A * )=n，A * =AA 1 则(A * ) * A * =(A * ) * AA 1 = A n1 E，故(A * ) * =A n2 A当 r(A)=n1
19、时，A=0，r(A * )=1，r(A * ) * =0，即(A * ) * =O，原式显然成立当 r(A)n1时A=0，r(A * )=0，(A * ) * =O，原式也成立)解析：17.设 1 ， 2 ， n 为 n个 n维向量，证明： 1 ， 2 ， n 线性无关的充分必要条件是任一 n维向量总可由 1 ， 2 ， n 线性表示（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 1 ， 2 ， n 线性无关，对任意的 n维向量 因为 1 ， 2 ， n ， 一定线性相关所以 a可由 1 ， 2 ， n 唯一线性表示即任一 n维向量总可 1 ， 2 ， n 线性表示反之，设任一 n维向量总可由
20、1 ， 2 ， n 线性表示 取 )解析：18.a，b 取何值时，方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (1)a1 时， x 4 =0； (2)a=1，b一 1时， )解析：19.证明线性方程组 ()有解的充分必要条件是方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 方程组()可写为 AX=b，方程组()、()可分别写为 A T y=0及 若方程组()有解，则 r(A)=r(Ab)，从而 又因为()的解一定为()的解，所以()与()同解；反之，若()与()同解，则 )解析：20.讨论方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =(a+1)(n+2) (1)当 a1，
21、b2 时，因为 D0，所以方程组有唯一解，由克拉默法则得 (2)当 a=1，b2 时， 当 b1 时，方程组无解 当 b=1 时，方程组的通解为 (k为任意常数) (3)当 a1，b=2 时， 当 a=1时， 方程组的通解为 (k为任意常数) 当 a1 时，显然 )解析：设 （分数：4.00）(1).a及可逆阵 P，使得 P 1 AP=A，其中 A为对角阵.（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E 一 A=0= 1 = 2 =1， 3 =1 因为 A相似于对角阵，所以 r(EA)=1=a=2=A= )解析：(2).A 100 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：P 1 A 100 P
22、=E=A 100 =PP 1 =E)解析：21.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A有三个线性无关的特征向量，所以 =2 的线性无关的特征向量有两个，故r(2EA)=1 而 所以 x=2，y=2 由 =(2) 2 (6)=0 得 1 = 2 =2， 3 =6 由(2EA)X=0 得 =2 对应的线性无关的特征向量为 由(6EA)X=0 得 =6 对应的线性无关的特征向量为 令 )解析：22.设 A为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵 B=(A * ) 2 4E 的特征值为 0，5，32求 A 1 的特征值并判断 A 1 是否可对角化（分数：2.00）_正确答案：(正确
23、答案：设 A的三个特征值为 1 ， 2 ， 3 ，因为 B=(A * ) 2 4E 的三个特征值为 0，5，32，所以 (A * ) 2 的三个特征值为 4，9，36，于是 A * 的三个特征值为 2，3，6又因为A * =36=A 31 ，所以A=6 由 得 1 =3， 2 =2， 3 =1， 由于一对逆矩阵的特征值互为倒数，所以 A 1 的特征值为 1， )解析：设 的一个特征值为 1 =，其对应的特征向量为 （分数：4.00）(1).求常数 a，b，c；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 1 =2 1 ，得 )解析：(2).判断 A是否可对角化若可对角化，求可逆矩阵 P，使
24、得 P 1 AP为对角矩阵若不可对角化，说明理由（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 得 1 = 2 =2， 3 =1由(2EA)X=0，得 由(EA)X=0，得 显然 A可对角化，令 )解析：23.设方程组 有无穷多个解， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为方程组有无穷多个解，所以 =a 2 2a+1=0，解得 a=1 令 P=( 1 ， 2 ， 3 )= 则 (2)A =2，A * 对应的特征值为 )解析：24.设 A，B 为 n阶矩阵，且 r(A)+r(B)n证明：A，B 有公共的特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 r(A)+r(B)n，所以 r(
25、A)n，r(B)n，于是 =0 为 A，B 公共的特征值， A的属于特征值 =0 的特征向量即为方程组 AX=0的非零解； B 的属于特征值 =0 的特征向量即为方程组 BX=0的非零解，因为 )解析：设 A是 n阶矩阵， 1 ， 2 ， n 是 n维列向量，且 n 0，若 A 1 = 2 ，A 2 = 3 ，A n1 = n A n =0（分数：4.00）(1).证明： 1 ， 2 ， n 线性无关；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x 1 1 +x 2 2 +x n n =0，则 x 1 A 1 +x 2 A 2 +x n A n =0=x 1 2 +x 2 3 +x n1 n
26、 =0 x 1 A 2 +x 2 A 3 +x n1 A n =0=x 1 3 +x 2 4 +x n2 n =0 x 1 n =0 因为 n 0，所以 x 1 =0，反推可得 x 1 =x n =0，所以 1 ， 2 ， n 线性无关)解析：(2).求 A的特征值与特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A( 1 ， 2 ， n )=( 1 ， 2 ， n ) 令 P=( 1 ， 2 ， n )，则 P 1 AP= )解析：25. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由EB=0，得 1 =1， 2 =1， 3 =2，因为 AB，所以 A的特征值为 1 =1， 2 =1， 3
27、=2 由 tr(A)= 1 + 2 + 3 ，得 a=1，再由A=b= 1 2 3 =2，得 b=2， 即 由(EA)X=0，得 1 =(1，1，0) T ； 由(EA)X=0，得 2 =(2，1，1) T ； 由(2EA)X=0，得 3 =(2，1，0) T ， 令 由(EB)X=0，得 1 =(1，0，1) T ； 由(EB)X=0，得 2 =(1，0，0) T ； 由(2EB)X=0，得 3 =(8，3，4) T ， 令 由 p 1 AP 1 =P 2 1 BP 2 ，得(P 1 P 2 1 ) 1 AP 1 P 2 1 =B， 令 P=P 1 P 2 1 = )解析：26.设 A为 m
28、n阶实矩阵，且 r(A)=N证明：A T A的特征值全大于零（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先 A T A为实对称矩阵，r(A T A)=n，对任意的 X0， X T (A T A)X=(AX) T (AX)，令 AX=，因为 r(A)=n，所以 0，所以 (AX) T (AX)= T 0，即二次型 X T (A T A)X是正定二次型，A T A为正定矩阵，所以 A T A的特征值全大于零)解析：27.设二次型 f=2x 1 2 +2x 2 2 +ax 3 2 +2x 1 x 2 +2bx 1 x 3 +2x 2 x 3 经过正交变换 X=QY，化为标准形f=y 1 2 +y 2
29、 2 +4y 3 2 ，求参数 a，b 及正交矩阵 Q（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型 f=2x 1 2 +2x 2 2 +ax 3 2 +2x 1 x 2 +2bx 1 x 3 +2x 2 x 3 的矩阵形式为f=X T AX 其中 所以 AB(因为正交矩阵的转置矩阵即为其逆矩阵)，于是 A的特征值为 1，1，4 而EA= 3 (a+4) 2 +(4ab 2 +2)+(3a2b+2b 2 +2)，所以有 3 (a+4) 2 +(4ab 2 +2)+(3a2b+2b 2 +2)=(1) 2 (4)，解得 a=2，b=1当 1 = 2 =1时，由(EA)X=0 得 由 3 =4时，由(4EA)X=0 得 显然 1 ， 2 ， 3 两两正交，单位化为 )解析：
