1、考研数学二-111 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：15.00)1.设 f(x)在(-，+)内可导，且对任意 x 1 ，x 2 ，当 x 1 x 2 时，都有 f(x 1 )f(x 2 )，则_（分数：3.00）A.对任意 x，f“(x)0B.对任意 x，f“(-x)0C.函数 f(-x)单调增加D.函数-f(-x)单调增加2.设 f(x)在-，上连续，当 a 为何值时， 取极小值_ A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.3.函数 yf(x)具有下列特征： f(0)=1；f“(0)=0，当 x0 时，f“(x)0； 则其图形(如下
2、图所示)是_ A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.4.设三次函数 y=f(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d，若两个极值点及其对应的两个极值均为相反数，则这个函数的图形是_（分数：3.00）A.关于 y 轴对称B.关于原点对称C.关于直线 y=x 对称D.以上均错5.曲线 y=x(x-1)(2-x)与 x 轴所围图形面积可表示为_ A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：7，分数：21.00)6.函数 （分数：3.00）7.曲线 y=x 3 -x 与其在 （分数：3.00）8.二椭圆 （分数：3.00）9.x 2 +y 2 =a 2 绕 x=-b
3、(ba0)旋转所成旋转体体积为 1 （分数：3.00）10.求心脏线 =4(1+cos)和直线 =0 及 （分数：3.00）11.y=sinx (0x)绕 x 轴旋转所成旋转面的面积为 1 （分数：3.00）12.r=a(1+cos) (a0)绕极轴旋转所成旋转面的面积为 1 （分数：3.00）三、证明题(总题数：6，分数：24.00)13.设 f(x)为连续正值函数，证明当 x0 时函数 （分数：4.00）_14.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内 f“(x)0，证明： （分数：4.00）_15.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导且 f“(x)0，求证： （分数：4.00
4、）_16.设 f(x)在a，b上连续，且 f(x)0，又 （分数：4.00）_17.证明方程 tanx=1-x 在(0，1)内有唯一实根 （分数：4.00）_18.设 a 1 ，a 2 ，a n 为 n 个实数，并满足 证明：方程 a 1 cosx+a 2 cos3x+a n cos(2n-1)x=0，在 （分数：4.00）_四、计算题(总题数：7，分数：40.00)19.在直线 x-y+1=0 与抛物线 y=x 2 -4x+5 的交点上引抛物线的法线，试求由两法线及连接两交点的弦所围成的三角形的面积 （分数：4.00）_20.过抛物线 y=x 2 上一点 P(a，a 2 )作切线，问 a 为
5、何值时所作切线与抛物线 y=-x 2 +4x-1 所围图形面积最小? （分数：6.00）_21.求通过点(1，1)的直线 y=f(x)中，使得 （分数：6.00）_22.求函数 （分数：6.00）_23.求曲线 y=x 3 -2x 与 y=x 2 所围阴影部分面积 S，并将此面积绕 y 轴旋转，求此旋转体体积，见下图 （分数：6.00）_24.已知圆(x-b) 2 +y 2 =a 2 ，其中 ba0，求此圆绕 y 轴旋转所构成的旋转体体积和表面积 （分数：6.00）_25.设有一薄板其边缘为一抛物线，如下图所示，铅直沉入水中， （分数：6.00）_考研数学二-111 答案解析(总分：100.0
6、0，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：15.00)1.设 f(x)在(-，+)内可导，且对任意 x 1 ，x 2 ，当 x 1 x 2 时，都有 f(x 1 )f(x 2 )，则_（分数：3.00）A.对任意 x，f“(x)0B.对任意 x，f“(-x)0C.函数 f(-x)单调增加D.函数-f(-x)单调增加 解析：2.设 f(x)在-，上连续，当 a 为何值时， 取极小值_ A B C D （分数：3.00）A.B. C.D.解析：3.函数 yf(x)具有下列特征： f(0)=1；f“(0)=0，当 x0 时，f“(x)0； 则其图形(如下图所示)是_ A B C D （
7、分数：3.00）A.B. C.D.解析：4.设三次函数 y=f(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d，若两个极值点及其对应的两个极值均为相反数，则这个函数的图形是_（分数：3.00）A.关于 y 轴对称B.关于原点对称 C.关于直线 y=x 对称D.以上均错解析：5.曲线 y=x(x-1)(2-x)与 x 轴所围图形面积可表示为_ A B C D （分数：3.00）A.B.C. D.解析：二、填空题(总题数：7，分数：21.00)6.函数 （分数：3.00）解析：7.曲线 y=x 3 -x 与其在 （分数：3.00）解析：8:18.二椭圆 （分数：3.00）解析：9.x 2 +y 2 =a
8、2 绕 x=-b(ba0)旋转所成旋转体体积为 1 （分数：3.00）解析：2ba 2 210.求心脏线 =4(1+cos)和直线 =0 及 （分数：3.00）解析：16011.y=sinx (0x)绕 x 轴旋转所成旋转面的面积为 1 （分数：3.00）解析：12.r=a(1+cos) (a0)绕极轴旋转所成旋转面的面积为 1 （分数：3.00）解析：三、证明题(总题数：6，分数：24.00)13.设 f(x)为连续正值函数，证明当 x0 时函数 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明： 14.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内 f“(x)0，证明： （分数：4.00）_正确答
9、案：()解析：证明： 15.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导且 f“(x)0，求证： （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明：16.设 f(x)在a，b上连续，且 f(x)0，又 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明： (因为 f(x)0) 17.证明方程 tanx=1-x 在(0，1)内有唯一实根 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明：令 F(x)=tanx-1+xF(0)=-10，F(1)=tanl0，所以存在 (0，1)，使 F()=0又因为18.设 a 1 ，a 2 ，a n 为 n 个实数，并满足 证明：方程 a 1 cosx+a 2 cos3x+
10、a n cos(2n-1)x=0，在 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明：令 则 由罗尔定理，存在 四、计算题(总题数：7，分数：40.00)19.在直线 x-y+1=0 与抛物线 y=x 2 -4x+5 的交点上引抛物线的法线，试求由两法线及连接两交点的弦所围成的三角形的面积 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由联立方程 解得交点坐标(x 1 ，y 1 )=(1，2)，(x 2 ，y 2 )=(4，5) 由 y“=2x-4 求得二条法线的斜率分别为 相应的法线方程为 解得法线的交点为 于是 20.过抛物线 y=x 2 上一点 P(a，a 2 )作切线，问 a 为何值时所作
11、切线与抛物线 y=-x 2 +4x-1 所围图形面积最小? （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 x 2 +(2a-4)x+(1-a 2 )=0 x 1 +x 2 =4-2a x 1 x 2 =1-a 2 21.求通过点(1，1)的直线 y=f(x)中，使得 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 过点(1，1)斜率为 k 的直线为 y=kx+1-k 所以 令 F“(k)=0，得 22.求函数 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 令 f“(x)=2x(2-x 2 )e -x2 =0，得 x=0， 所以，最大值为 23.求曲线 y=x 3 -2x 与 y=x 2 所围阴影部分面
12、积 S，并将此面积绕 y 轴旋转，求此旋转体体积，见下图 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 旋转体体积：由下图 平面图形 0axb，0yf(x)绕 y 轴旋转所成旋转体体积为 (使用相同方法可以证明)平面图形 axb0，0yf(x)绕 y 轴旋转所成旋转体体积为 由图知， 24.已知圆(x-b) 2 +y 2 =a 2 ，其中 ba0，求此圆绕 y 轴旋转所构成的旋转体体积和表面积 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 (x-b) 2 +y 2 =a 2 绕 y 轴旋转相当于(y-b) 2 +x 2 =a 2 绕 x 轴旋转所以旋转体的表面积 25.设有一薄板其边缘为一抛物线，如下图所示，铅直沉入水中， （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 液体静压力=液体比重液体深度受力面积 由上图知抛物线方程为 于是 假设将薄板沉到水中，深为 h 处，此时薄板的曲线方程为 由题设知 h+20=32，h=12. 由上图知抛物线方程为 于是 假设将薄板沉到水中，深为 h 处，此时薄板的曲线方程为 由题设知
