1、考研数学二-126 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)=*记 F(x)=*，0x2，则_ * * * *（分数：4.00）A.B.C.D.2.曲线 y=(x-1)2(x-3)2的拐点个数为_（分数：4.00）A.0B.1C.2D.33.设数列 xn与 yn满足*=0，则下列断言正确的是_（分数：4.00）A.B.C.D.4.设函数 f(x)满足关系式 f“(x)+f(x)2=x，且 f(0)=0，则_（分数：4.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值C.点(0，f(0)是曲线 y=
2、f(x)的拐点D.f(0)不是 f(x)的极值，点(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点5.设 f(x)处处可导，则_ （分数：4.00）A.B.C.D.6.设函数 f(x，y)连续，则二次积分*(x，y)dy 等于_ * * * *（分数：4.00）A.B.C.D.7.若曲线 y=x2+ax+b 和 2y=-1+xy3在点(1，-1)处相切，其中 a，b 是常数，则_（分数：4.00）A.a=0，b=-2B.a=1，b=-3C.a=-3，b=1D.a=-1，b=-18.设 f(x)=x2(x-1)(x-2)，则 f(x)的零点个数为_（分数：4.00）A.0B.1C.2D.3二、填空题
3、(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10.设函数 y=f(x)由方程 e2x+y-cos(xy)=e-1 所确定，则曲线 y=f(x)在点(0，1)处的法线方程为_（分数：4.00）填空项 1:_11. （分数：4.00）填空项 1:_12.已知 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_13.微分方程(y+x 3)dx-2xdy=0 满足 yx=1= （分数：4.00）填空项 1:_14.y=2x的麦克劳林公式中 xn项的系数是_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：9.00）_16.已知 f(x)是周期
4、为 5 的连续函数，它在 x=0 的某个邻域内满足关系式f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+a(x)，其中 a(x)是当 x0 时比 x 高阶的无穷小，且 f(x)在 x=1 处可导求曲线 y=f(x)在点(6，f(6)处的切线方程（分数：9.00）_17.设 F(x2-1)=ln*，且 f(x)=lnx，求(x)=lnx,求(x)dx.（分数：11.00）_18.求微分方程 xlnxdy+(y-lnx)dx=0 满足条件 y x=e=1 的特解（分数：11.00）_19.已知 A，B 为 3 阶矩阵，且满足 2A-1B=B-4E其中 E 是 3 阶单位矩阵； (1)证明：矩阵 A
5、-2E 可逆； (2)若 B=*，求矩阵 A（分数：10.00）_20.已知向量组*与向量组*具有相同的秩，且 3可由 1， 2, 3线性表示，求 a，b 的值.（分数：11.00）_21.设有齐次线性方程组 * 试问 a 取何值时，该方程组有非零解并求出其通解（分数：11.00）_22.设 f(x)在区间a，b上具有二阶导数，且 f(a)=f(b)=0，f(a)f(b)0证明：存在 (a，b)和(a，b)，使 f()=0 及 f“()=0（分数：11.00）_23.利用导数证明：当 x1 时，有不等式*成立（分数：11.00）_考研数学二-126 答案解析(总分：150.00，做题时间：90
6、 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)=*记 F(x)=*，0x2，则_ * * * *（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点提示 分段函数的积分 解题分析 被积函数 f(x)为分段函数，根据积分的可加性对 x 分段讨论，然后分别求积分 当 0x1 时，F(x)=*当 1x2 时，F(x)=* 所以*故应选 B 评注 分段函数的积分，应根据积分的可加性分段进行计算2.曲线 y=(x-1)2(x-3)2的拐点个数为_（分数：4.00）A.0B.1C.2 D.3解析：考点提示 拐点 解题分析 本题考查拐点的充要条件 由题设 y=(x-1)2(x-3)2,则
7、y=4(x-1)(x-2)(x-3)， 且 y“=4(3x 2-12x+11) 令 y“=0，得*列表如下：x (-，x 1) x1 (x1，x 2) x2 (x2，+)y“ + 0 - 0 +可见在 x1与 x2的两侧都有 y“变号，所以 x1与 x2都是拐点选 C3.设数列 xn与 yn满足*=0，则下列断言正确的是_（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点提示 数列极限 解题分析 本题可采取举反例的方法一一排除干扰项，即 设 xn=sinn，y n=*，则 yn收敛，*=0从而可排除 A 设 xn=*yn=*显然 xn无界且满足*=0，但是 yn并非无穷小，从而 B，C 也不对 综
8、上，只有 D 成立关于 D 的正确性的证明如下： * 所以*为无穷小时，y n亦为无穷小所以选 D4.设函数 f(x)满足关系式 f“(x)+f(x)2=x，且 f(0)=0，则_（分数：4.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值C.点(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点 D.f(0)不是 f(x)的极值，点(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析：考点提示 极值点、拐点 解题分析 本题考查极值点及拐点的充分必要条件由已知 f(0)=0 及关系式 f“(x)+f(x)2=x,则 x=0是 f(x)的驻点，但还不能确定是否为极值点在已知关系式中令 x=
9、0，则 f“(0)=0，至此也无法确定 x=0点是否为拐点，还需对 f“(0)作进一步分析 将原关系式对 x 求导，得 * 从而*(0)=10，且由*(x)的连续性(由其表达式所决定)知存在 0，使 x(-，)时，*(x)0，即在此小邻域内f“(x)严格单调递增，从而 f“(x)在 x=0 左、右异号，即 f“(x)0，x(-，0)f“(x)0，x(0，)由此可知 x=0 是f(x)的拐点此外由前述可知，当 x(-，0)时，f“(x)0，则 f(x)严格单调递减；而当(0,)时 f“(x)0，则 f(x)严格单调递增已知 f(0)=0，从而当 x(-，0)时f(x)0，且当 x(0，)时 f(
10、x)0，因此 x=0 两侧 f(x)不变号，因此 f(0)并非极值点综上，选 C5.设 f(x)处处可导，则_ （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点提示 对一般性的结论，可举反例排除不正确的选项，也可分析证明 解题分析 举反例排除不正确的选项 令 f(x)=x，则*，但，但 f(x)=1,可见 A，C 均不正确 又令 f(x)=e-x，则*，故 B 也不正确正确应选 D 评注 讨论函数与导数之问的关系，常用中值定理而举反例是做选择题常用的方法6.设函数 f(x，y)连续，则二次积分*(x，y)dy 等于_ * * * *（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点提示 积分坐标变换
11、 解题分析 由二次积分*(x,y)dy 的积分上、下限，可知积分区域为 * *的反函数为 x=-arcsiny，则上述区域等价于*所以积分变换为 * 故应选 B7.若曲线 y=x2+ax+b 和 2y=-1+xy3在点(1，-1)处相切，其中 a，b 是常数，则_（分数：4.00）A.a=0，b=-2B.a=1，b=-3C.a=-3，b=1D.a=-1，b=-1 解析：考点提示 曲线切线 解题分析 两曲线在一点相切，说明在此点两函数的导数相等，且两函数均经过此点由题设知，这两条曲线均过点(1，-1)，且在此点的斜率相等，即 -1=1+a+b 由于对第一条曲线有 * 对于第二条曲线有 * 即有
12、2+a=1，由此可解得 a=-1，b=-1 故应选 D8.设 f(x)=x2(x-1)(x-2)，则 f(x)的零点个数为_（分数：4.00）A.0B.1C.2D.3 解析：考点提示 函数的导数与零点 解题分析 f(x)=2x(x-1)(x-2)+x 2(x-2)+x2(x-1)=x(4x2-9x+4)令 f(x)=0，则方程有 3 个根，即 f(x)零点的个数为 3故应选 D二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 等价无穷小、洛必达法则 解题分析 由题设， *10.设函数 y=f(x)由方程 e2x+y-cos(xy)
13、=e-1 所确定，则曲线 y=f(x)在点(0，1)处的法线方程为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：x-2y+2=0）解析：考点提示 隐函数求导、法线方程 解题分析 由题设，将 e2x+y-cos(xy)=e-1 两边对 x 求导，得 e2x+y2+y+sin(xy)y+xy=0 将 x=0 代入原方程得 y=1，再将 x=0，y=1 代入上式，得 y x=0=-2因此所求法线方程为 * 即 x-2y+2=011. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 不定积分 解题分析 由题设，分母 x2-6x+13 对 x 求导得 2x-6由此, *12.已知 ，
14、则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 多元函数的偏导数 解题分析 在 z=*的两边取对数得到 lnz=*再在其两边对 x 求偏导数，有* 即 * 将(x，y)=(1，2)代入，可得 *13.微分方程(y+x 3)dx-2xdy=0 满足 yx=1= （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点提示 一阶微分方程 解题分析 将题设所给方程化为如下形式 * 则由一阶微分方程之通解公式，得 * 由已知 x=1 时，y=*，代入上式可求得 C=1，所以*14.y=2x的麦克劳林公式中 xn项的系数是_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析
15、：考点提示 麦克劳林公式 解题分析 由题设，根据麦克劳林公式，x n的系数为 *三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：9.00）_正确答案：(本题可采取以下两种方法计算： (1)* (2)*)解析：考点提示 等价无穷小、洛必达法则16.已知 f(x)是周期为 5 的连续函数，它在 x=0 的某个邻域内满足关系式f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+a(x)，其中 a(x)是当 x0 时比 x 高阶的无穷小，且 f(x)在 x=1 处可导求曲线 y=f(x)在点(6，f(6)处的切线方程（分数：9.00）_正确答案：(题设要求的是切线方程，因此只需知道切点坐标
16、及该点处切线斜率即可由已知 f(x)是周期为 5 的连续函数，因而求 f(6)及 f(6)就等价于求 f(1)及 f(1)由关系式 f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+a(x)， 有* 再根据导数的定义，有 * 其中 f(1)可由下述步骤确定：在原关系式中令 x0 并结合 f(x)的连续性，可得 f(1)-3f(1)=0， 即 f(1)=0，则由 * 因此 f(1)=2由周期性知 f(6)=f(1)=2，f(6)=f(1)=0 所以待求切线方程为 y=2(x-6)，即 2x-y-12=0)解析：考点提示 切线方程及导数的定义17.设 F(x2-1)=ln*，且 f(x)=lnx，求
17、(x)=lnx,求(x)dx.（分数：11.00）_正确答案：(因为* 所以* 于是* 从而* 因此*)解析：考点提示 利用函数关系与自变量的表示符号无关，求出 f(x)的表达式，从而得 f(x)然后解出 (x)，再求积分(x)dx 评注 本题主要考查函数的概念和不定积分的运算，属于基本题。18.求微分方程 xlnxdy+(y-lnx)dx=0 满足条件 y x=e=1 的特解（分数：11.00）_正确答案：(先化为一阶线性微分方程的标准形式 * 由一阶线性微分方程的通解公式，得 * 代入初始条件 y x=e=1，得 C=* 所以所求特解为 y=*)解析：考点提示 求微分方程的特解19.已知
18、A，B 为 3 阶矩阵，且满足 2A-1B=B-4E其中 E 是 3 阶单位矩阵； (1)证明：矩阵 A-2E 可逆； (2)若 B=*，求矩阵 A（分数：10.00）_正确答案：(由题设， 2A-1B=B-4E *2B=AB-4A*AB-2B=4A*(A-2E)B=4A-8E+8E *(A-2E)B=4(A-2E)+8E*(A-2E)(B-4E)=8E * 因此 A-2E 可逆，且(A-2E) -1=*(B-4E)，同时 A=2E+8(B-4E)-1 由已知 * 则* 且(B-4E) -1可求初等行变换求得，为* 所以*)解析：考点提示 矩阵方程20.已知向量组*与向量组*具有相同的秩，且
19、3可由 1， 2, 3线性表示，求 a，b 的值.（分数：11.00）_正确答案：(由题设， * 则矩阵 A=( 1， 2， 3)，有 * 利用初等行变换化 A 为行简化阶梯形，得 * 即 r(A)=2因此 1， 2， 3的秩为 2 且 1， 3线性无关， 3=3 1+2 2 1， 2， 3与 1， 2， 3具有相同的秩，因此 1， 2， 3线性相关，有 1 2 3=0，即 * 可推出 a=3b又由已知条件 3可由 1， 2， 3线性表示，从而 3可由 1， 2线性表示，因此有 1 2 3=0，即 * 由此解得 b=5，因而 a=15)解析：考点提示 向量组的秩、线性表示 注 本题还可由以下方
20、法求解由已知 3可由 1， 2， 3线性表示，等价于方程组 * 有解通过对其增广矩阵施行行初等变换化为行简化阶梯形，得 *由方程组有解的条件，知*=0，即 b=5从而由原解法同样可算出 a 的值21.设有齐次线性方程组 * 试问 a 取何值时，该方程组有非零解并求出其通解（分数：11.00）_正确答案：(由题设，方程组系数矩阵为 * 经初等行变换可化为 * 当 a=0 时，r(A)=14，则方程组有非 0 解，同解方程组为 x1+x2+x3+x4=0不难求得基础解系为 * 所以原方程组通解为 x=C1 1+C2 2+C3 3，其中 C1，C 2，C 3为任意常数 当 a0 时，系数矩阵 A 可
21、由初等行变换化为 * 由已知原方程组有非 0 解，则 a=-10，且 r(A)=34，同解方程组为 * 则基础解系为 =*，所以原方程组通解为 x=C，其中 C 为任意常数)解析：考点提示 线性齐次方程组 注 本题在求 a 的取值时，也可通过分析系数矩阵的行列式A，即由方程组有非零解，则A=0，可求得 a=0 或 a=-10余下步骤与原解法中相同22.设 f(x)在区间a，b上具有二阶导数，且 f(a)=f(b)=0，f(a)f(b)0证明：存在 (a，b)和(a，b)，使 f()=0 及 f“()=0（分数：11.00）_正确答案：(详解 1 (用反证法)若不存在 (a，b)使 f()=0，
22、则在区间a，b内恒有 f(x)0 或f(x)0不妨设 f(x)0(对 f(x)0，类似可证)，则 * 从而 f(a)f(b)0，这与已知条件矛盾，即在(a，b)内至少存在一点 ，使 f()=0再由 f(a)=f()=f(b)及罗尔定理，知存在 1(a，)和 2(，b)，使 f( 1)=f( 2)=0 又在区间 1， 2上，对 f(x)应用罗尔定理，知存在 ( 1， 2)*(a，b)，使 f“()=0 详解 2 不妨设 f(a)0，f(b)0(对 f(a)0，f(b)0 时类似可证)，即 * 由极限的保号性，知存在 x1(a，a+ 1)和 x2(b- 2,b)，使 f(x1)0 及 f(x2)0
23、，其中 1， 2为充分小的正数显然 x1x 2，在区间x 1，x 2上应用中值定理，存在 x 1，x 2*(a，b)，使 f()=0 以下证明类似详解 1)解析：考点提示 本题关键是证明存在 (a，b)，使 f()=0，因为再由 f(a)=f(b)=0，根据罗尔定理易证存在 (a，b)，使 f“()=0而证明 f()=0 可用反证法或连续函数的中值定理 评注 要证明存在一点 ，使 f“()=0，要么证明 f(x)在三个不同点上相等，要么证明 f(x)有两个不同的零点23.利用导数证明：当 x1 时，有不等式*成立（分数：11.00）_正确答案：(详解 1 要证当 x1 时， * 因此只需证(1
24、+x)ln(1+x)-xlnx0 令 f(x)=(1+x)ln(1+x)-xlnx，则 f(x)=1n*0, 所以在1，+)内，f(x)为增函数 又 f(1)=21n20，所以在1，+)内有 f(x)0，即 (1+x)ln(1+x)-xlnx0 即在(1，+)内有* 详解 2 只需证明 f(x)=xlnx 在 x1 时单增 因为 f(x)=lnx+10(x1)，所以 f(x)在 x1 时单增， 从而 (1+x)ln(1+x)xlnx.详解 3 因 lnx 在(1，+)内单增，所以 ln(1+x)lnx0 又 x+1x1，从而(1+x)ln(1+x)xlnx.)解析：考点提示 将不等式变形后再利用单调性证明 评注 先将不等式适当变形，便于求导，再构造辅助函数，是证明不等式的常用方法
