1、考研数学二-205 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.以下四个命题：(i)在闭区间a，b上定义的连续函数 f(x)其值域必为闭区间(ii)若在闭区间a，b上定义的函数 f(x)其值域是闭区间，则 f(x)是a，b上的连续函数(iii)若 f(x)在点 x=x0两侧异号，则 x=x0是 f(x)的极值点(iV)若 f“(x0)=0 且 f(x)在 x=x0两侧异号，则 x=x0是 f(x)的极值点其中正确的是 ( )(A) (i)(ii) (B) (i)(iii) (D) (ii)(iii) (D) iV（分数：4.00）A.B.
2、C.D.2.若 A0，B0 为常数，C 1，C 2为任意常数，则微分方程 y“+k2y=cosx 的通解具有形式 ( )（分数：4.00）A.C1coskx+C2sinkx+Asinx+BcosxB.C1coskx+C2sinkx+AxeosxC.C1coskx+C2sinkx+AxsinxD.C1coskx+C2sinkx+Axcosx+Bxcosx3.曲线 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 ，则 F(x)等于 ( )（分数：4.00）A.B.C.D.5.曲线 (x0)在点 P 处作切线，使该切线与曲线 及 x 轴围成平面图形面积 ，则切点 P 的坐标为 ( )（分数：4.00）A.
3、B.C.D.6.设 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，则必有 ( )（分数：4.00）A.A+B 可逆B.|A|=|B|C.A 经过行的初等变换可变为 BD.7. 等于 ( )（分数：4.00）A.B.C.D.8.设 A 为正交矩阵，则下列矩阵中不一定是正交矩阵的是 ( )（分数：4.00）A.ATB.A2C.A*D.kA(k0)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 ，则 在点(2， （分数：4.00）填空项 1:_10.曲线 在 （分数：4.00）填空项 1:_11.将一根长为 l 的铁丝分为两段，分别构成圆形和正方形，若记圆的面积为 S1，正方形的面积为 S2，则当 S1+S2最小
4、时， （分数：4.00）填空项 1:_12. （分数：4.00）填空项 1:_13.设 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_14.A=(aij)33满足 aij=Aij(i，j=1，2，3)，且 a110，则|A|等于_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求曲线 （分数：10.00）_16.求极限 （分数：11.00）_17.(i)设曲线 y=f(x)0(xa，b)在a，b上的曲边梯形垂直立于某种液体(比重为 )中，y 轴与液面相齐，求液体对曲边梯形的侧压力(ii)取 ，f(x)=sinx 时，求相应曲边梯形的侧压力（分数：9.00）_18.设 y
5、=f(x)在0，1连续，(0，1)可导，f(0)=f(1)=0， （分数：10.00）_19.计算积分 （分数：10.00）_20.用变换 能够把方程 ，化简为 （分数：11.00）_21.讨论函数 （分数：11.00）_22.将 4 维线性无关向量组： 1=(0，0，1，0) T， 2=(0，0，0，1) T， 3=(1，2，0，-1)T， 4=(0，1，-1，0) T正交化，单位化（分数：11.00）_23.设 A 是 n 阶矩阵，A=E+ T，其中 ， 都是 n 维列向量，且 T=3，求 A 的特征值，特征向量（分数：11.00）_考研数学二-205 答案解析(总分：150.00，做题时
6、间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.以下四个命题：(i)在闭区间a，b上定义的连续函数 f(x)其值域必为闭区间(ii)若在闭区间a，b上定义的函数 f(x)其值域是闭区间，则 f(x)是a，b上的连续函数(iii)若 f(x)在点 x=x0两侧异号，则 x=x0是 f(x)的极值点(iV)若 f“(x0)=0 且 f(x)在 x=x0两侧异号，则 x=x0是 f(x)的极值点其中正确的是 ( )(A) (i)(ii) (B) (i)(iii) (D) (ii)(iii) (D) iV（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 连续函数性质与极值的判定答案解析 (
7、i)不正确，反例：f(x)*1(x0，1)在0，1连续，值为一个点*(ii)不正确，反例：*则 f(x)的值域为0，2，但在 x=0 处间断(f(0 -)=10=f(0 +)(iii)不正确，反例如：(ii)中 f(x)，虽然*，在 x=0 两侧异号，但 x=0 不是 f(x)的极值点，(审定极值点的第一充分条件中 f(x)在 x=x0连续，必须引起注意)(iV)正确，f(x 0)存在，表明 f(x0)在 x=x0连续，且无妨设*，则由于 f(x)在 x=x0连续，f(x 0)=f-(x0)=f(x0-0)0；f(x 0)=f+(x0)=f(x0+0)0，故 f(x0)=0，且 f(x)在 x
8、=x0两侧异号，从而 x=x0是f(x)的极值点选(D)2.若 A0，B0 为常数，C 1，C 2为任意常数，则微分方程 y“+k2y=cosx 的通解具有形式 ( )（分数：4.00）A.C1coskx+C2sinkx+Asinx+BcosxB.C1coskx+C2sinkx+AxeosxC.C1coskx+C2sinkx+Axsinx D.C1coskx+C2sinkx+Axcosx+Bxcosx解析：考点 二阶常系数非齐次微分方程解的结构答案解析 因为相应的齐次微分方程通解为 C1coskx+C2sinkx，因此在四个选项中只需验证哪一个是非齐次方程的特解如果非齐次方程特解形如 y*=A
9、sinx+Bcosx，则表明 k1，代入原方程后，得 A=0，*，即*但题设A0，B0，从而(A)不正确如果 k=1，则特解形如 y*=Axsinx+Bxcosx，代入原方程后，得*，B=0，由此即知应选(C)3.曲线 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 求曲线的渐近线答案解析 由于*，故 x=0 是铅直渐近线，又因为*故 y=0 是水平渐近线同时，有*而*所以，y=x+1 是一条斜渐近线，故曲线共有 3 条渐近线，选(C)4.设 ，则 F(x)等于 ( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 变上限积分求导答案解析 *，所以 F(x)为常数，故有*，选(B)5.曲线 (
10、x0)在点 P 处作切线，使该切线与曲线 及 x 轴围成平面图形面积 ，则切点 P 的坐标为 ( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 导数几何意义与平面图形面积*答案解析 设 P=P(x0，x 01/3)，则过点 P 的切线方程为：*即*，切线与 x 轴交点 Q=Q(-2x0，0)，于是*故 x0=1，从而切点 P=(1，1)选(B)6.设 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，则必有 ( )（分数：4.00）A.A+B 可逆B.|A|=|B|C.A 经过行的初等变换可变为 B D.解析：考点 可逆矩阵的性质答案解析 A，B 可逆时，A+B 不一定可逆，如 A=E，B=-E，则 A+B=
11、D 不可逆，故(A)不正确矩阵可逆时，行列式均不为 0，但不一定相等，如 A=E，*，则|A|=12=|B|故(B)不正确A、B 可逆均呵通过行的初等变换化为 E，从而 A 经行的初等变换可化为 B，即(C)正确可逆矩阵不一定相似，如 A=，则 A，B 不相似(若相似应有相同的特征值)故选(C)7. 等于 ( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 定积分计算答案解析 记*从而*8.设 A 为正交矩阵，则下列矩阵中不一定是正交矩阵的是 ( )（分数：4.00）A.ATB.A2C.A*D.kA(k0) 解析：考点 正交矩阵概念答案解析 已知 ATA=AAT=E，从而 AT也是正交矩阵；
12、(A 2)TA2=AT(ATA)A=ATA=E 即 A2也是正交矩阵；又从AT=E 知|A| 2=1，而 A*=|A|A-1=|A|AT，于是(A *)TA*=(|A|AT)T(|A|AT)=|A|2AAT=E，即 A*也是正交矩阵(kA)T(kA)=k2ATA=k2E当 k2=1 时，kA 是正交矩阵；k 21 时，kA 不是正交矩阵应选(D)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 ，则 在点(2， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 二元函数在一点处的二阶混合偏导数 答案解析 由于在点*处 u 的二阶混合偏导数连续与求导次序无关，先对 y 求偏导得*，于
13、是*10.曲线 在 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 求函数解析式及在一点切线方程答案解析 *而*即*，于是*，故*，而*，曲线过点*处的切线为*即*11.将一根长为 l 的铁丝分为两段，分别构成圆形和正方形，若记圆的面积为 S1，正方形的面积为 S2，则当 S1+S2最小时， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 微分学在几何中的应用答案解析 设圆的周长为 x，则正方形周长为 l-x，又记圆半径为 r，正方形边长为 a，则由 2r=x，得*；由 4a=l-x，得 a=*，又设 y 表示面积和，则有*，即*令 y=*，得*为唯一驻点，且*，故
14、 x0为唯一极小点，故为最小点，此时*从而有*12. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 求极限答案解析 *注意到 etanx-sinx-1(tanx-sinx)(x0)于是*13.设 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 参数方程定义的函数的二阶导数答案解析 y(t)=e t(sint+cost)=x+y；x(t)=e t(cost-sint)=x-y故*y“(t)=x(t)+y(t)=2x；x“(t)=x(t)-y(t)=-2y于是*14.A=(aij)33满足 aij=Aij(i，j=1，2，3)，且 a110，则|A|等于_（分数
15、：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：考点 求 3 阶抽象矩阵的行列式答案解析 由 aij=Aij，(i，j=1，2，3)，知 A*=AT在 AAT=AA*=|A|E 两边取行列式有|A|A T|=|A|E|，即|A| 2=|A|3从而 |A| 2(|A|-1)=0但*，故|A|=1三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求曲线 （分数：10.00）_正确答案：(参数方程*(t)表示的曲线的曲率有公式*对此曲线有：x=a(1-cost)，x“=asint，y=asint，y“=acost，于是在任意处的曲率为*故曲率半径为：*)解析：考点 求参数方程表示的曲线的曲率半径16
16、.求极限 （分数：11.00）_正确答案：(因为*从而*)解析：考点 涉及二重积分变换累次积分次序的极限问题17.(i)设曲线 y=f(x)0(xa，b)在a，b上的曲边梯形垂直立于某种液体(比重为 )中，y 轴与液面相齐，求液体对曲边梯形的侧压力(ii)取 ，f(x)=sinx 时，求相应曲边梯形的侧压力（分数：9.00）_正确答案：(i)液体深为 h 处受的压强为 P=hy如右图选坐标系，在深度为 x 到 x+dx(x，x+dxa，b)的窄条上，其面积近似于 f(x)dx，故窄条受液体压力微元为 dP=xf(x)dx*于是，所求液体对曲边梯形的侧压力为：*)解析：考点 定积分的物理应用18
17、.设 y=f(x)在0，1连续，(0，1)可导，f(0)=f(1)=0， （分数：10.00）_正确答案：(1)令 F(x)=f(x)-x，则 F(x)在0，1连续，*，F(1)=f(1)-1=0-1=-10，由闭区间连续函数零值定理，存在*使 F(C)=0，于是在0，c上依罗尔定理存在 (0，c)*(0，1)，使 F()=f()-1=0，即 f()=1(2)对任意实数 ，令 (x)=e -x F(x)=e-x (f(x)-x)则 (x)在0，c连续，(0，c)可导，且 (0)=(C)=0，在0，c上对 (x)用罗尔定理，存在 (0，c)*(0，1)，使 ()=0，即e- F()-F()=0，
18、亦即 f()-1-(f()-)=0从而得 f()-(f()-)=1)解析：考点 用微分中值定理作证明题19.计算积分 （分数：10.00）_正确答案：(解法 1：*说明：此题若这样解：*则是错误的，因为右端两个积分都是发散的解法 2：*)解析：考点 计算广义积分20.用变换 能够把方程 ，化简为 （分数：11.00）_正确答案：(由复合函数求导法则，有*于是*令 6+a-a2=(3-a)(2+a)=0，得 a=3 或 a=-2但是 a=3 时有 10+5a0，当 a=-2 时，10+5a=0，从而 a=3 时，方程简化为*)解析：考点 多元函数偏导数21.讨论函数 （分数：11.00）_正确答
19、案：(f(x)是连续函数*的变上限积分定义的函数，因此在定义域(-，+)上连续，可导，且f(0)=0，又因为*即 f(x)为奇函数，其图形关于原点对称*故 f(x)在(-，+)严格单调增加；在(0，+)为凸函数，在(-，0)为凹函数，(0，0)是曲线的拐点*所以 f(x)有水平渐近线*f(x)的图形为下图*)解析：考点 讨论一元函数性态绘出它的图形22.将 4 维线性无关向量组： 1=(0，0，1，0) T， 2=(0，0，0，1) T， 3=(1，2，0，-1)T， 4=(0，1，-1，0) T正交化，单位化（分数：11.00）_正确答案：(先正交化： 1= 1=(0，0，1，0) T， 2
20、= 2=(0，0，0，1) T，二者已相互正交*再单位化，得 1=(0，0，1，0) T， 2=(0，0，0，1) T，*)解析：考点 用施密特方法将向量组正交化，单位化23.设 A 是 n 阶矩阵，A=E+ T，其中 ， 都是 n 维列向量，且 T=3，求 A 的特征值，特征向量（分数：11.00）_正确答案：(令*则有 A=E+C如果 是 C 的特征值，X 是相应的特征向量，设 f(x)=1+x则 A=f(C)于是 +1 就是 A 的特征值，X 是 A 属于 +1 的特征向量因为 r(C)=1从而 C 的特征方程为*即 C 的特征值为 1= 2= n-1=0，*=a 1b1+a2b2+an
21、bn=3又 r(C)=1对应于 =0(n-1)重特征根)的特征向量，即齐次方程组 CX=0 的线性尤关的解，由 n-1 个向量组成，则*C 关于 =0 的特征向量是 CX=0 的基础解系：X1=(-b2，b 1，0，0) T，X 2=(-b3，0，b 1，0) T，X n-1=(-bn，0，0，b 1)T，它也是 A 关于特征值 1 的(n-1)个线性无关的特征向量又因为 C= T=3，即 =(a 1，a 2，a n)T是 C 关于特征值 n=3 的特征向量，从而 也是 A 关于特征值 4 的特征向量于是，A 的特征值是 1(n-1 重)和 4，特征向量是：k1X1+k2X2+kn-1Xn-1+knXn(其中 k1，k 2，k n-1全为 0，k n0)解析：考点 求 n 阶矩阵的特征值，特征向量
