1、考研数学二-439 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：18.00)1.设 f(x，y，z)=e x yz 2 ，其中 z=z(x，y)是由 x+y+z+xyz=0 确定的隐函数，则 f“ x (0，1，-1)= 1 （分数：3.00）2.已知 （分数：3.00）3.设 2sin(x+2y-3z)=x+2y-3z，则 （分数：3.00）4.设 f(x，y)可微，f(1，2)=2，f“ x (1，2)=3，f“ y (1，2)=4，(x)=f(x，f(x，2x)，则 “(1)= 1 （分数：3.00）5.设 （分数：3.00）6.由 x=ze y+
2、z 确定 z=z(x，y)，则 dz(e，0)= 1 （分数：3.00）二、解答题(总题数：26，分数：82.00)7.设 （分数：3.00）_8.设二元函数 f(x，y)的二阶偏导数连续，且满足 f“ xx (x，y)=f“ yy (x，y)，f(x，2x)=x 2 ，f“ x (x，2x)=x，求 f“ xx (x，2x) （分数：3.00）_9.设 （分数：3.00）_10.设 （分数：3.00）_11.设 （分数：3.00）_12.设 z=f(e x siny，x 2 +y 2 )，其中 f 具有二阶连续偏导数，求 （分数：3.00）_13.已知 （分数：3.00）_14. ，f 的二
3、阶导数连续，g 的二阶偏导数连续，求 （分数：3.00）_15.设 z=f(u，x，y)，u=xe y ，其中 f 具有二阶偏导数，求 （分数：3.00）_16.设 z=f(2z-y，ysinx)，其中 f(u，v)具有连续的二阶偏导数，求 （分数：3.00）_17.设 f(u，v)具有二阶连续偏导数，且满足 求 （分数：3.00）_18.设 z=yf(x 2 -y 2 )，求 （分数：3.00）_19.设 z=z(x，y)，由方程 确定(F 为可微函数)，求 （分数：3.00）_20.设 z=xf(x，u，v)，其中 其中 f 连续可偏导，求 （分数：3.00）_21.设 z=f(x，y)是
4、由方程 z-y-x+xe z-y-x =0 所确定的二元函数，求 dz （分数：3.00）_22.设 (u，v，w)由一阶连续的偏导数，z=z(x，y)是由 (bz-cy，cx-ax，ay-bx)=0 确定的函数，求 （分数：3.00）_23.设 z=z(x，y)是由 f(y-x，yz)=0 确定的，其中 f 对各个变量有连续的二阶偏导数，求 （分数：3.00）_24.设函数 z=z(x，y)由方程 x 2 +y 2 +z 2 =xyf(z 2 )，其中 f 可微，求 （分数：3.00）_25.设函数 z=z(x，y)由方程 x=f(y+z，y+x)所确定，其中 f(x，y)具有二阶连续偏导数
5、，求 dz （分数：3.00）_26.若 （分数：3.00）_27.设 z=f(x，y)二阶可偏导， （分数：3.00）_28.设 f(x，y)二阶连续可偏导，g(x，y)=f(e xy ，x 2 +y 2 )，且 （分数：3.00）_29.试求 z=f(x，y)=x 3 +y 3 -3xy 在矩形闭域 D=(x，y)|0x2，-1y2)上的最大值、最小值 （分数：3.00）_30.求函数 f(x，y)=4x-4y-x 2 -y 2 在区域 D：x 2 +y 2 18 上最大值和最小值 （分数：3.00）_31.求函数 z=x 2 +2y 2 -x 2 y 2 在 D=(x，y)|x 2 +y
6、 2 4，y0)上的最小值与最大值 （分数：3.00）_32.求 u=x 2 +y 2 +z 2 在约束条件 （分数：7.00）_考研数学二-439 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：18.00)1.设 f(x，y，z)=e x yz 2 ，其中 z=z(x，y)是由 x+y+z+xyz=0 确定的隐函数，则 f“ x (0，1，-1)= 1 （分数：3.00）解析：1 解 x+y+z+xyz=0 两边关于 x 求偏导得 将 x=0，y=1，z=-1 代入得 2.已知 （分数：3.00）解析： 解 两边关于 x 求偏导得 从而 3.设 2sin(
7、x+2y-3z)=x+2y-3z，则 （分数：3.00）解析：1 解 两边关于 x 求偏导得 2sin(x+2y-3z)=x+2y-3z 两边关于 y 求偏导得 4.设 f(x，y)可微，f(1，2)=2，f“ x (1，2)=3，f“ y (1，2)=4，(x)=f(x，f(x，2x)，则 “(1)= 1 （分数：3.00）解析：47 解 “(x)=f“ x (x，f(x，2x)+f“ y (x，f(x，2x)f“ x (x，2x)+2f“ y (x，2x)， 则 “(1)=f“ x (1，f(1，2)+f“ y (1，f(1，2)f“x(1，2)+2f“ y (1，2) =f“ x (1，
8、2)+f“ y (1，2)f“ z (1，2)+2f“ y (1，2)=3+4(3+8)=47.5.设 （分数：3.00）解析：-2 解 令 ，由 6.由 x=ze y+z 确定 z=z(x，y)，则 dz(e，0)= 1 （分数：3.00）解析： 解 x=e，y=0 时，x=1. x=ze y+z 两边关于 x 求偏导得 代入得 x=xe y+z 两边关于 y 求偏导得 代入得 故 二、解答题(总题数：26，分数：82.00)7.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 得 f(x，y)在(0，0)处连续. 由 得 f“ x (0，0)=0， 由 得 在(0，0)可偏导 令 因为
9、且 ，所以 8.设二元函数 f(x，y)的二阶偏导数连续，且满足 f“ xx (x，y)=f“ yy (x，y)，f(x，2x)=x 2 ，f“ x (x，2x)=x，求 f“ xx (x，2x) （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 f(x，2x)=x 2 两边关于 x 求导得 f“ x (x，2x)+2f“ y (x，2x)=2x， 由 f“ x (x，2x)=x 得 f“ x (x，2x)=x 两边关于 x 求导得 f“ xx (x，2x)+2f“ xy (x，2x)=1， 两边关于 x 求导得 9.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 则 10.设 （分数：3.00）_
10、正确答案：()解析：解 则 11.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 12.设 z=f(e x siny，x 2 +y 2 )，其中 f 具有二阶连续偏导数，求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 13.已知 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 14. ，f 的二阶导数连续，g 的二阶偏导数连续，求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 15.设 z=f(u，x，y)，u=xe y ，其中 f 具有二阶偏导数，求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 16.设 z=f(2z-y，ysinx)，其中 f(u，v)具有连续的二阶偏导数，求 （分数：3.00）
11、_正确答案：()解析：解 17.设 f(u，v)具有二阶连续偏导数，且满足 求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 18.设 z=yf(x 2 -y 2 )，求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 则 19.设 z=z(x，y)，由方程 确定(F 为可微函数)，求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 两边关于 x 求偏导得 两边关于 y 求偏导得 解得 故 20.设 z=xf(x，u，v)，其中 其中 f 连续可偏导，求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 21.设 z=f(x，y)是由方程 z-y-x+xe z-y-x =0 所确定的二元函数，求 dz （分数
12、：3.00）_正确答案：()解析：解 方法一 z-y-x+xe z-y-z =0 两边关于 x，y 求偏导得 故 方法二 z-y-x+xe z-y-x =0 两边微分得 dz-dy-dx+d(xe z-y-x )=0. 即 dz-dy-dx+(e z-y-x -xe z-y-x )dx-xe z-y-x dy+xe z-y-x dz=0， 解得 22.设 (u，v，w)由一阶连续的偏导数，z=z(x，y)是由 (bz-cy，cx-ax，ay-bx)=0 确定的函数，求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 (bz-cy，cx-az，ay-bx)=0 两边关于 x 求偏导得 解得 (bz-
13、cy，cx-az，ay-bx)=0 两边关于 y 求偏导得 故 23.设 z=z(x，y)是由 f(y-x，yz)=0 确定的，其中 f 对各个变量有连续的二阶偏导数，求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 f(y-x，yz)=0 两边关于 x 求偏导得 解得 24.设函数 z=z(x，y)由方程 x 2 +y 2 +z 2 =xyf(z 2 )，其中 f 可微，求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 x 2 +y 2 +z 2 =xyf(x 2 )两边关于 x 求偏导得 解得 同理 故 25.设函数 z=z(x，y)由方程 x=f(y+z，y+x)所确定，其中 f(x，y)具
14、有二阶连续偏导数，求 dz （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 x=f(y+z，y+x)两边关于 x 求偏导得 解得 x=f(y+z，y+x)两边关于 y 求偏导得 解得 则 26.若 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 得 从而 由 z(x，0)=x 得 从而 (x)=1，(0)=0； 再由 x(0，y)=y 2 得 (y)=y 2 ，故 27.设 z=f(x，y)二阶可偏导， （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 得 28.设 f(x，y)二阶连续可偏导，g(x，y)=f(e xy ，x 2 +y 2 )，且 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 由
15、得 由可微的定义得 f(1，0)=0，f“ x (1，0)=f“ y (1，0)=-1. 29.试求 z=f(x，y)=x 3 +y 3 -3xy 在矩形闭域 D=(x，y)|0x2，-1y2)上的最大值、最小值 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 当(x，y)在区域 D 内时， 由 得 在 L 1 ：y=-1(0x2)上，x=x 3 +3x-1， 因为 z“=3x 2 +30，所以最小值为 x(0)=-1，最大值为 x(2)=13； 在 L 2 ：y=2(0x2)上，z=x 3 -6x+8， 由 z“=3x 2 -6=0 得 在 L 3 ：x=0(-1y2)上，z=y 3 ， 由 z
16、“=3y 2 =0 得 y=0，z(-1)=-1，z(0)=0，z(2)=8； 在 L 4 ：x=2(-1y2)上，z=y 3 -6y+8， 由 z“=3y 2 -6=0 得 30.求函数 f(x，y)=4x-4y-x 2 -y 2 在区域 D：x 2 +y 2 18 上最大值和最小值 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 当 x 2 +y 2 18 时， 由 得 x=2，y=-2，f(2，-2)=8； 当 x 2 +y 2 =18 时，令 F=4x-4y-x 2 -y 2 +(x 2 +y 2 -18)， 由 得 当 时， 31.求函数 z=x 2 +2y 2 -x 2 y 2 在 D=(x，y)|x 2 +y 2 4，y0)上的最小值与最大值 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 当(x，y)位于区域 D 内时， 由 得 在 L 1 ：y=0(-2x2)上，x=x 2 ，由 z“=2x=0 得 x=0， z(2)=4，z(0)=0； 在 上， 当 sin 2 t=1 时，z 的最大值为 8；当 时，z 的最小值为 32.求 u=x 2 +y 2 +z 2 在约束条件 （分数：7.00）_正确答案：()解析：解 令 F=x 2 +y 2 +z 2 +(x 2 +y 2 -z)+(x+y+z-4)， 由 得 当 时，u=72；当
