1、考研数学二-94 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：6.00)1. （分数：1.00）2.设 f(x)连续，且 （分数：1.00）3. （分数：1.00）4.设 f(x)连续，则 （分数：1.00）5.设函数 f(x)连续， （分数：1.00）6.由曲线 y=xe x 与直线 y=ex 所围成图形的面积 S= 1 （分数：1.00）二、选择题(总题数：13，分数：13.00)7.设 （分数：1.00）A.依赖于 s，tB.依赖于 s，t，xC.依赖于 t，x，不依赖于 sD.依赖于 s，不依赖于 t8.设函数 记 ，0x2，则 A B C D
2、（分数：1.00）A.B.C.D.9.设 f(x)连续， （分数：1.00）A.B.C.D.10.已知 设 ，则 F(x)为 A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.11.设函数 f(x)连续，则下列函数中，必为偶函数的是 A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.12.设 f(x)是奇函数，除 x=0 外处处连续，x=0 是其第一类间断点，则 （分数：1.00）A.连续的奇函数B.连续的偶函数C.在 x=0 间断的奇函数D.在 x=0 间断的偶函数13.设函数 y=f(x)在区间-1，3上的图形如图所示则函数 的图形为 A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.14
3、.设函数 （分数：1.00）A.x= 是函数 F(x)的跳跃间断点B.x= 是函数 F(x)的可去间断点C.F(x)在 x= 处连续但不可导D.F(x)在 x= 处可导15.曲线 y=x(x-1)(2-x)与 x 轴所围图形面积可表示为 A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.16.由曲线 与 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积为 A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.17.曲线 与 x 轴所围成的图形，绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积为 A B C （分数：1.00）A.B.C.D.18.设 f(x)，g(x)在区间a，b上连续，且 g(x)f(x)
4、m(m 为常数)，由曲线 y=g(x)，y=f(x)，x=a 及x=b 所围平面图形绕直线 y=m 旋转而成的旋转体体积为 A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.19.如图所示，x 轴上的一线密度为常数 ，长度为 l 的细杆，若质量为 m 的质点到杆右端的距离为 a，已知引力系数为 k，则质点和细杆之间引力的大小为 A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.三、解答题(总题数：18，分数：81.00)20.设 x-1，求 （分数：4.00）_21.设 ，其中 x0，求 （分数：4.00）_22.设 xOy 平面上有正方形 D(x，y)|0x1，0y1及直线 l：x+y=t(
5、t0)若 S(t)表示正方形 D位于直线 l 左下方部分的面积(如图)，试求 （分数：4.00）_23.设函数 f(x)在0，+)上可导，f(0)=0，且其反函数为 g(x)，若 （分数：4.00）_24.设 求函数 （分数：4.00）_设 （分数：4.00）(1).证明 f(x)是以 为周期的周期函数；（分数：2.00）_(2).求 f(x)的值域（分数：2.00）_25.设 f(x)是区间 上的单调、可导函数，且满足 （分数：4.00）_26.设函数 （分数：4.00）_27.如图所示，设曲线方程为 ，梯形 OABC 的面积为 D，曲边梯形 OABC 的面积为 D 1 ，点 A 的坐标为(
6、a，0)，a0，证明： （分数：4.00）_28.设 D 是由曲线 y=sinx+1 与三条直线 x=0，x=，y=0 围成的曲边梯形，求 D 绕 Ox 轴旋转一周所生成的旋转体的体积 （分数：5.00）_29.设抛物线 y=ax 2 +bx+c 过原点，当 0x1 时 y0，又已知该抛物线与 x 轴及直线 x=1 所围图形的面积为 （分数：5.00）_30.过点 P(1，0)作抛物线 （分数：5.00）_31.曲线 y=(x-1)(x-2)和 x 轴围成一平面图形，求此平面图形绕 y 轴旋转一周所成的旋转体的体积 （分数：5.00）_32.设平面图形 A 由 x 2 +y 2 2x 与 yx
7、 所确定，求图形 A 绕直线 x=2 旋转一周所得旋转体的体积 （分数：5.00）_33.求曲线 y=3-|x 2 -1|与 x 轴围成的封闭图形绕直线 y=3 旋转所得的旋转体体积 （分数：5.00）_34.设有一正椭圆柱体，其底面的长、短轴分别为 2a、2b，用过此柱体底面的短轴且与底面成 角 的平面截此柱体，得一楔形体(如图)，求此楔形体的体积 V （分数：5.00）_35.设曲线 y=ax 2 (a0，x0)与 y=1-x 2 交于点 A，过坐标原点 O 和点 A 的直线与曲线 y=ax 2 围成一平面图形(如图)问 a 为何值时，该图形绕 x 轴旋转一周所得的旋转体体积最大?最大体积
8、是多少? （分数：5.00）_设 D 是位于曲线 （分数：5.00）(1).求区域 D 绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积 V(a)；（分数：2.50）_(2).当 a 为何值时，V(a)最小?并求此最小值（分数：2.50）_考研数学二-94 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：6.00)1. （分数：1.00）解析：解析 2.设 f(x)连续，且 （分数：1.00）解析： 解析 等式 ，两边对 x 求导，得 3x 2 f(x 3 -1)=1令 x=2 得 12f(7)=1，则 3. （分数：1.00）解析：-3f(cos3x)sin3x解析 由变
9、上限积分求导法可知4.设 f(x)连续，则 （分数：1.00）解析：xf(x 2 ) 解析 令 u=x 2 -t 2 ，du=-2tdt当 t=0 时，u=x 2 ，当 t=x 时，u=0故 5.设函数 f(x)连续， （分数：1.00）解析：2 解析 改写 ，由变限积分求导法得 由 6.由曲线 y=xe x 与直线 y=ex 所围成图形的面积 S= 1 （分数：1.00）解析： 解析 由 xe x =ex 可知 x(e x -e)=0则 x=0 或 x=1 故 二、选择题(总题数：13，分数：13.00)7.设 （分数：1.00）A.依赖于 s，tB.依赖于 s，t，xC.依赖于 t，x，不
10、依赖于 sD.依赖于 s，不依赖于 t 解析：解析 8.设函数 记 ，0x2，则 A B C D （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 当 0x1 时， ；当 1x2 时， 由此可见应选 B f(x)在0，2上可积，则 9.设 f(x)连续， （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 由 10.已知 设 ，则 F(x)为 A B C D （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 所以应选 D f(x)在0，2上可积，则 11.设函数 f(x)连续，则下列函数中，必为偶函数的是 A B C D （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 设 ，则 即 F(x)是偶函数，
11、D 是正确的 类似方法可以证明 A，C 均为奇函数而对 B 中的函数，因为 12.设 f(x)是奇函数，除 x=0 外处处连续，x=0 是其第一类间断点，则 （分数：1.00）A.连续的奇函数B.连续的偶函数 C.在 x=0 间断的奇函数D.在 x=0 间断的偶函数解析：解析 解法 1 取函数 它满足题设条件，则 是一个连续的偶函数，从而排除了选项 A，C，D，故选 B 解法 2 显然 f(x)在任何有限区间a，b上都可积，于是 连续；又因 f(x)是奇函数，则 13.设函数 y=f(x)在区间-1，3上的图形如图所示则函数 的图形为 A B C D （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：
12、解析 根据题中函数 y=f(x)的图形，可知函数14.设函数 （分数：1.00）A.x= 是函数 F(x)的跳跃间断点B.x= 是函数 F(x)的可去间断点C.F(x)在 x= 处连续但不可导 D.F(x)在 x= 处可导解析：15.曲线 y=x(x-1)(2-x)与 x 轴所围图形面积可表示为 A B C D （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 y=x(x-1)(2-x)与 x 轴的交点为 x=0，x=1，x=2，因此该曲线与 x 轴围成的面积为 16.由曲线 与 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积为 A B C D （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解
13、析 17.曲线 与 x 轴所围成的图形，绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积为 A B C （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 18.设 f(x)，g(x)在区间a，b上连续，且 g(x)f(x)m(m 为常数)，由曲线 y=g(x)，y=f(x)，x=a 及x=b 所围平面图形绕直线 y=m 旋转而成的旋转体体积为 A B C D （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 先画草图如图所示，对 x 积分。体积微元 19.如图所示，x 轴上的一线密度为常数 ，长度为 l 的细杆，若质量为 m 的质点到杆右端的距离为 a，已知引力系数为 k，则质点和细杆之间引力的大小为 A B
14、C D （分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 三、解答题(总题数：18，分数：81.00)20.设 x-1，求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 当-1x0 时，原式= 当 x0 时，原式= 21.设 ，其中 x0，求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 ，于是 22.设 xOy 平面上有正方形 D(x，y)|0x1，0y1及直线 l：x+y=t(t0)若 S(t)表示正方形 D位于直线 l 左下方部分的面积(如图)，试求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由题设知 所以，当 0x1 时， 当 1x2 时， 当 x2 时， 因此 23.设函数 f(x)在0
15、，+)上可导，f(0)=0，且其反函数为 g(x)，若 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 等式两边对 x 求导得 gf(x)f“(x)=2xe x +x 2 e x ， 而 gf(x)x，故 xf“(x)=2xe x +x 2 e x 当 x0 时，f“(x)=2e x +xe x ， 积分得 f(x)=(x+1)e x +C 由于 f(x)在 x=0 处右连续，故由 24.设 求函数 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 当 x-1，0)时， 当 x0，1时， 所以 设 （分数：4.00）(1).证明 f(x)是以 为周期的周期函数；（分数：2.00）_正确答案：()解析：证
16、 设 t=u+，则有 (2).求 f(x)的值域（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 因为|sinx|在(-，+)内连续，注意到 f(x)的周期为 ，故只需在0，上讨论其值域 因为 令 f“(x)=0，得 ，且 又 因而 f(x)的最小值是 ，最大值是 ，故 f(x)的值域是 25.设 f(x)是区间 上的单调、可导函数，且满足 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 在 两边对 x 求导，得 即 当 x0 时， 故 在题中所给等式中令 x=0 得 ，因 f(x)是 上的单调、可导函数，f -1 (x)的值域为 ，它是单调、非负的，故必有 f(0)=0，从而 ， 于是 解析 (1)本
17、题又一次用到了反函数的基本性质：f -1 f(x)=x； (2) 26.设函数 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 当 0x1 时， 当 x1 时， 所以 而 故 由 f“(x)=0 得唯一驻点 ，从而 为 f(x)的最小值点，最小值为 27.如图所示，设曲线方程为 ，梯形 OABC 的面积为 D，曲边梯形 OABC 的面积为 D 1 ，点 A 的坐标为(a，0)，a0，证明： （分数：4.00）_正确答案：()解析：证 因为 28.设 D 是由曲线 y=sinx+1 与三条直线 x=0，x=，y=0 围成的曲边梯形，求 D 绕 Ox 轴旋转一周所生成的旋转体的体积 （分数：5.00）
18、_正确答案：()解析：解 29.设抛物线 y=ax 2 +bx+c 过原点，当 0x1 时 y0，又已知该抛物线与 x 轴及直线 x=1 所围图形的面积为 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 因为曲线过原点，所以 c=0 由题设有 ，即 则 令 ，得 ，代入 b 的表达式得 又因 及实际情况，知当 30.过点 P(1，0)作抛物线 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 设所作切线与抛物线相切于点 ，因为 故此切线方程为 又因该切线过点 P(1，0)，所以 ，即 x 0 =3 从而，切线方程为 因此，所求旋转体的体积 31.曲线 y=(x-1)(x-2)和 x 轴围成一平面图形，求
19、此平面图形绕 y 轴旋转一周所成的旋转体的体积 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 在1，2上取积分元，体积元素 dV=2x|y|dx 旋转体积的体积 曲线 y=y(x)与 x=a，x=b(0ab)及 x 轴围成的平面图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体体积公式为 32.设平面图形 A 由 x 2 +y 2 2x 与 yx 所确定，求图形 A 绕直线 x=2 旋转一周所得旋转体的体积 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 A 的图形如图中阴影所示，取 y 为积分变量，它的变化区间为0，1，A 的两条边界曲线方程分别为 及 x=y 相应于0，1上任一小区间y，y+dy的薄片的体积元为
20、于是所求体积为 33.求曲线 y=3-|x 2 -1|与 x 轴围成的封闭图形绕直线 y=3 旋转所得的旋转体体积 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 作出图形如图所示 的方程为 y=x 2 +2(0x1)， 的方程为 y=4-x 2 (1x2) 设旋转体在区间0，1上体积为 V 1 ，在区间1，2上的体积为 V 2 ，则它们的体积元素分别为 dV 1 =3 2 -3-(x 2 +2) 2 dx=(8+2x 2 -x 4 )dx dV 2 =3 2 -3-(4-x 2 ) 2 dx=(8+2x 2 -x 4 )dx 由对称性得 34.设有一正椭圆柱体，其底面的长、短轴分别为 2a、2b
21、，用过此柱体底面的短轴且与底面成 角 的平面截此柱体，得一楔形体(如图)，求此楔形体的体积 V （分数：5.00）_正确答案：()解析：解法 1 底面椭圆的方程为 以垂直于 y 轴的平行平面截此楔形体所得的截面为直角三角形，两直角边长分别为 故截面积 ,楔形体的体积 解法 2 底面椭圆方程为 ，以垂直于 x 轴的平行平面截此楔形体所得的截面为矩形，其边长分别为 及 xtan,故截面面积 ，楔形体的体积 35.设曲线 y=ax 2 (a0，x0)与 y=1-x 2 交于点 A，过坐标原点 O 和点 A 的直线与曲线 y=ax 2 围成一平面图形(如图)问 a 为何值时，该图形绕 x 轴旋转一周所
22、得的旋转体体积最大?最大体积是多少? （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 当 x0 时，由 解得 ，故直线 OA 的方程为 旋转体的体积 令 ，并由 a0 得唯一驻点 a=4 由题意知此旋转体在 a=4 时取最大值，其最大体积为 设 D 是位于曲线 （分数：5.00）(1).求区域 D 绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积 V(a)；（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 所求旋转体的体积为 (2).当 a 为何值时，V(a)最小?并求此最小值（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 令 V“(a)=0，得 lna=1，从而 a=e当 1ae 时，V“(a)0，V(a)单调减少； 当 ae 时，V“(a)0，V(a)单调增加，所以 a=e 时 V 最小，最小体积为
